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本文介绍两个非常有趣的三角形不等式:
命题一 设a、b、c是△ABC的三边,则:
6≤∑(b+c/a+b+a+b/b+c)〈7,其中“∑”表示循环和,下同. 相似文献
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贵刊文[1]将一道课本练习题改造,加强为:设a、b、c为非负实数.则文[2]将(1)式进一步加强为:设a、b、c为非负数,m=min(a,b,c),则现在可以利用(2)式将三角形中著名的Gerretsen不等式加强为:这里,a、b、c、s、R、r分别表示三角形的三边长,半周长,外接圆半径和内切圆半径,m=min{1/2(b+c-a),1/2(c+a-b),1/2(a+b-c)}.证对(2)式作置换a→1/2(b+c-a),b→1/2(c+a-b),c→1/2(a+b-c).这里,后者中的a、b、c构成某一三角形三边长.这样,由(2)式经化简整理(具体过程从略)可得依据三角形中恒… 相似文献
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一、转化方法任何三角形总存在内切圆。为此,将三角形三边a、b、c施行如下变换(如图):a=y+z(*)b=z+x(x,y,z∈R+)c=x+y就可以把关于三角形各元素的不等式转化成关于正数x、y、z的代数不等式。(Ⅰ)设p=12(a+b+c)则p=x+y+zx=p-ay=p-bz=p-c我们用x、y、z来表示时,关于三角形各边长度的限制条件:b+c>a,c+a>b,a+b>c可以转换为如下的表述:p-a>0,p-b>0,p-c>0。因而,对任何x、y、z∈R+,不等式有G(x,y,z)≥0G(p-a,p-b,p-c)≥0。(Ⅱ)为下面叙述方便起见,列出三角形中… 相似文献
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我们以a、b、c表示△ABC的三边,以m_am_bm_c表示a、b、c上的中线,则有: 定理1:三角形的边与中线有以下关系: 相似文献
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构成三角形的三边的长度是互相制约的 ,不是任意三条线段都可构成三角形的。只有满足三角形三边关系定理“三角形两边之和大于第三边”及其推论“三角形两边的差小于第三边”的三条线段 ,才能构成三角形。灵活运用三边关系 ,可简捷地解决以下两类问题。一、判断三条线段能否组成三角形设三条线段的长为a、b、c且c≥a ,c≥b ,这时显然有c +b>a ,c +a >b ,故当a +b >c时 ,三条线段能组成一个三角形。由此可得到判断三条线段能否组成一个三角形的简易方法 :“三条线段中 ,如果较短的两条线段的和大于最长的第三条线段 ,则这三条线段能组成一个… 相似文献
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1987年上海市初中数学竞赛第五题及1987年全国数学冬令营竞赛题的第四题均为关于判定三正数是否可作为三角形的三边的问题。本文介绍几个关于三正数可作为三角形三边的命题。命题1 正数a、b、c可作为三角形三边的充要条件是 a+b>c,b+c>a,c+a>b(1) 这是大家所熟知的结论,故略去证明。命题2 正数a、b、c可作为三角形三边的充要条件是 相似文献
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在初中代数中,二次根式的化简是一类重要题型,其中关于复合二次根式{[a+c(b的平方根)]的平方根}(其中a&;gt;0,b&;gt;0,c&;gt;0)的化简需要一定的技巧,下面举例说明。 相似文献
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判断三条线段能否组成三角形的依据是三角形三边关系的定理:“三角形任何两边的和人于第三边”和它的推论:“三角形任何两边的差小于第三边”.即,若三角形的三边是a,b,c,则有: 相似文献
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课本介绍了三角形的三边关系定理与推论.熟记结论的同时,关键还在于能灵活运用它解决实际问题.就此,本文就常见题型分类例析如下.一、判断三条线段能否构成三角形如果一个三角形的三边长分别为a\b、c,则必有a。b>C,b+C>a,c+a>b反之,三线段a、b、c只有同时满足a+b>C,b+C>a,c+a>b;或者满足la-b<c<la+b],才能构戍一个三角形另外,若已知C是三线段中最长线段,则只带满足a+b>c即可构成三角形(想一想为什么?)例1下列各组线段中,可以是三角形的三条边的一组是)(A)a,3,a3;(B)a,b,a+b;(C)a,… 相似文献
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等与不等是数学小客观存在的一对矛盾.三角形中的不等昆主要表现为边、角的不等关系.提高三角形中不等量关系的证明能力.需要有一定的知识和经验.因为人的思维依赖必要的知识和经验.正如解题研究的一代末帅波利亚所说:“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本.”因此,同学们首先要熟练地掌握下面一些不等式的性质和有关的公理与定理:()若a>b小>c坝ga>c;(2)若a>b.则a+c>b+c;()若a>b.c>d,则a+‘>b+d;(4)三角形任何两边的和大于第三边.任何两边的差小于第三边;(5)三角形的一个外用大于任… 相似文献
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刘经方 《中学生数理化(高中版)》2011,(4):34-35
如果三角形的三边分别为a、b、c,那么对于某一条边c来说,一定有a-b〈c〈a+b(a≥b).一些同学在学习这一结论时常会出现记得扎实,运用起来困难的情况,本文试对三角形三边关系的应用作一归纳,以期对同学们的学习有所帮助. 相似文献
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设整数a,b,c为三角形三边,a b=n∈N,则1≤c≤n-1,不妨设b≥a,有1≤a≤[n/2]。若b≤c,有a b=N>c,a,b,c均可构成三角形;如b≥c,则仅当a c>b时可构成三角形,设a=i,有b=n-i,当 相似文献
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三角形三条边长之间的关系,即"三角形的任意两边之和大于第三边;三角形的任意两边之差小于第三边"是三角形的重要性质.有的同学会认为,只要三条线段的长度a、b、c满足条件a+b>c并且a-b<c,那它们就可以组成一个三角形. 相似文献
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1.共性的提出
如图1,我们称△ABC为平均三角形,如果它的三边满足下列等式之一:
(1)b=a+c/2 (2)b=√ac;(3)b=√(a^2+b^2/2;(4)b=2ac/a+c. 相似文献
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笔者通过对周界中点三角形边长之间的关系的研究,得到下面一个有趣的性质.
命题 设△DEF是△ABC的周界中点三角形,且△ABC的三边长分别为a、b、c,半周长为p,面积为S,外接圆半径为R,内切圆半径为r,EF=a1,FD=b1,DE=c1,∑表示循环和.则 相似文献
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一元二次型问题包括一元二次式(αx^2+bx+c)、一元二次方程(αx^2+bx+c=0)、二次函数(y=αx^2+bx+c)、一元二次不等式(αx^2+bx+c&;gt;0或αx^2+bx+c&;lt;0)这四类.这四类问题都有一个共同点:都含有一个相同的代数式:αx^2+bx+c,但反映的又是不同类型的问题, 相似文献
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设α、b、c&;gt;0,则α+b/2≥√αb,α+b+c/3≥3√αbc(当且仅当α=b=c时取等号),这是均值不等式定理,运用它可解答下面几类高考题。 相似文献