巧用圆的特性求解综合题

<正>圆,是到定点等于定长的点的轨迹.圆的这一特性,使得圆在求解很多看似与圆毫无关系的综合题中起到了巧妙的作用.一、解决丢解问题例1 如图1(1),在Rt△ABC中,∠C=90°.将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C,旋转角为α,在旋转过程中,点B′可以恰好落在AB的中点处,如图1(2).(1)求∠A的度数;(2)当点C到AA′的距离等于AC的一半时,求α的度数.分析与解 (1)∵△ABC绕点C逆时针旋转得到△A     

巧用圆的一个几何性质,速解一类立体几何题

我们知道:在圆中一条弦(在弦的同侧)所对的圆周角大于圆外角.本文将利用这个性质先证明一个定理,再举例说明该定理的应用.图1定理如图1,若PA⊥平面ABC,则∠BAC>∠BPC.证明作△ABC外接圆,又因为BP>BA,CP>CA,所以若将△PBC翻折到与△ABC共面,则A点在圆上,P点必在圆外,且A点、P点在弦BC的同侧.由圆的性质可知:∠BAC为圆周角,∠BPC为圆外角,且这两个角都在弦BC的同侧,故∠BAC>∠BPC.下面举例说明该定理的应用.图2图3例题如图2所示,A是△BCD所在平面外一点,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,E是BD的中点.(1)求证:平面AEC⊥平…     

每期一题

题△ABC中,一个以O为圆心的圆经过顶点A及C,又和线段AB及线段BC分别交于点K及N,K与N不同。△ABC和△BNK的外接圆恰相交于B和另一点M。求证;∠BMO=90°。(第26届国际数学奥林匹克试题第七题。本刊1986年第3期载有吴雪庐同志用位似变换证明这题的两种方法,又《科学画报》1986年第1期上载有两种方法。这里再介绍与上述方法不同的八种方法,以供参考。编者) 证法一如图1,延长BM至H,连接     

关于圆外切闭折线的诸线切圆定理

众所周知,在三角形中,以内心与奈格尔点连线的中点为圆心,内切圆半径的一半为半径的圆,称为三角形的斯俾克圆.它有如下美妙性质:[1] 定理 0 设△ABC 的三个顶点与奈格尔点连线的中点分别为 M1、 M2 、 M3 ,三条边的中点分别为 N1、N2 、N3 ,那么△ABC 的斯俾克圆必内切于△M     

2009年全国高中数学联赛加试题另解

第一题如图1,M、N分别为锐角△ABC（∠A〈∠B）的外接圆网Г上弧BC、AC的中点．过点C作PC／／MN交圆Г于点P,I为△ABC的内心,联结P,并延长交圆Г于点T.求证：     

2005年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 如图1，在△ABC中，设AB〉AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心、AC为半径作圆分别交线段AB于点D，交直线l于点E、F．证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心．     

题库(八)

1.已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切,点C在l上,设一条 过点P且斜率为-3~(1/3)的直线与该动圆的圆心的轨迹相交于A,B两点, (1)问:△ABC是否能为正三角形?若能够,求出点C的坐标;若不能;请说 明理由: (2)当△ABC为钝角三角形时,求点C的纵坐标的取值范围, 2.如图1,已知圆A、圆B的方程分别是 ,动圆P 与圆A、圆B均外切,直线l的方程为:x=a(a≤1/2).     

2009年全国高中数学联赛加试题（B卷）

一、（本题50分）如图1,M、N分别为锐角△ABC（∠A〈∠B）的外接圆Г上BC、AC的中点．过点C作PC//MN交圆Г于P点,I为△ABC的内心,连结PI并延长交圆Г于T点．     

构造圆,求面积(高一、高三)

题 如图1,等腰△ABC中,AB—AC一3,BC2,//B的内角平分线交BC的平行线于D,交ACt E.永S～ⅦD. 分析 求三角形的面积有多种方法.此题只给出了△ABC的边、角,显然与△ABD相距较远.但是由么ABC的内角平分线使得AD—AB—AC.则从A点出发的三条线段AD、AB、AC等长,于是B、C、D三点在以A点为圆心,以AB为半径的圆上.所以,构造出一个圆,就能根据圆中的条件去寻找△ABD的边角条件,求得面积. 解 如图2,以A为圆心,以AB为半径作圆,则c、D两点都在圆上.连结CD. 令么ADB—a,么BDC一卢,所以因为所以即所以图1么ACB—y,么BAC一目, 目…     

赛题另解

题1 如图1,BE、CF为锐角△ABC的高,以AB为直径的圆与直线CF交于点M、N,以AC为直径的圆与直线BE交于点P、Q.证明:M、P、N、Q四点共圆.[1] (第19届美国数学奥林匹克) 证明由BE、CF为锐角△ABC的高知 ∠CFB =∠CEB =90° ?B、C、E、F四点共圆. 若以A为反演中心、A关于四边形...     

2012中国数学奥林匹克第一题另证

题目如图1,在圆内接△ABC中,∠A为最大角,不含点A的弧BC上两点D、E分别为弧ABC、ACB的中点．     

对一道美国国家队选拔考试题的探究

题目 已知不等边锐角△ ABC的外接圆为⊙O,T为直线BC上一点,且满足∠TAO=90°.以AT为直径的圆与△BOC的外接圆交于A1、A2两点,OA1＜OA2.类似定义点B1、B2、C1、C2.证明: (1)AA1、BB1、CC1三线共点; (2)AA2、BB2、CC2三线共点,且该点在△ ABC的欧拉线上.[1] (...     

平面几何中三点共线的常见解法

(本讲适合高中) 证明三点共线是数学竞赛中的一种常见题型.本文结合近几年国内外数学竞赛中的典型例题介绍几种常见的解题方法. 1利用梅涅劳斯定理的逆定理 例1 已知△ABC的三条中线AA'、BB'、CC'与其九点圆分别交于点D、E、F,直线BC、CA、AB上的点L、M、N分别为△ABC的三条高线的垂足,九点圆上以D、E...     

中国台北第一届数学奥林匹克

第一天“992一05一03)一兴< d。匕 12十丫万‘ 1.设A,B是已给圆上的两点,M是AB的中点.记此圆在A点的切线为l,C是从B向l引垂线的垂足.又圆在M点的切线分别交万云及石乙于A’及B’.证明:若之BAC<晋,则(△ABC,<2(△A‘B‘C‘,· 证明如图,设已给圆O的半径为R,记a~匕BAC.由题设BC土AC, O.,_A‘C从四,-顶下二一1一 司气七AA‘AC)鱿~匕互之 2十了歹‘ .了厄一一2因M是AB的中点,故A‘B‘// AB.所以△ABC的△A于是, (△A‘B‘C‘.B‘C)(△ABC) ,A‘C、,_1~L一万于二)“尸夕不丁 Z性七乙有 AC~ABeosa·又AB ~ZRsin匕AOM …     

证明直线与圆相切的两种方法

证明直线与圆相切主要有以下两种方法: 一、根据切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知直线与圆有公共点时,常用此法．辅助线是连结公共点和圆心,只要设法证明直线与半径垂直即可．例1 (2004年江苏省淮安市中考题)已知:如图1,在△ABC中,∠BAC的平分线AD 交△ABC的外接圆☉O于点     

一道课本习题的教学探讨

<正>苏科版教材九年级上册《圆》中,有这样一道练习题:如图1,BD、CE是△ABC的高,M为BC中点.试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上.     

“圆内接三角形是锐角三角形的概率”的探究

问题：设圆上的点是等可能分布的,作圆内接△ABC,求△ABC是锐角三角形的概率．     

对"圆内接三角形是锐角三角形的概率"问题的探究

问题设圆上的点是等可能分布的,作圆内接△ABC,求△ABC是锐角三角形的概率. 分析设"△ABC是锐角三角形"为事件A,先固定A点,不妨设A、B、C三点在圆弧上按逆时针方向排列,设圆的半径为1,圆心为O,如图1,利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系知,当∠AOB、∠BOC、∠COA均小于π时、∠ACB、∠BAC、∠CBA均小于π/2,则事件A发生.     

费尔巴哈公式的代数证法

文[2]、[3]介绍了莱布尼兹公式及九点圆等有关知识,本文在此基础上将给出费尔巴哈公式的一种代数证法,以弥补冗长的几何证法。 假设△ABC既不是直角三角形,又不是等腰三角形,则九点圆的半径为R/2,九点圆的圆心P是OH的中点;O、H和I分别是△ABC的外心、垂心和内心;R、r分别表示△ABC外接圆和内切圆的半径,则有     

数学问题与解答

476.如图1,⊙O_1交⊙O_2于P、Q,点A在⊙O_1上,点D在⊙O_2上,射线PA、QA、PD、QD各交圆于B、C、E、F,证明:△ABC与△DEF的外接圆是等圆。