欢庆1985年

1.求证:5‘“.”+6’“吕石<7‘““” 证5‘。“”+6’。吕5<7‘“.“<铸)(早)‘。.“+(,争)‘。.6相似文献   

数系对数学命题和谐性的影响

先看一道思考题:已知二+三 刁,+三 少名 一一一一 y忿 ++l一xl一y=z+送, 工之 X +1一z且x、y、z两两不等,求证: x,,.名.=1。 证由已知条件得①②③X一y=y一Z=才—X二二二y一忿 义夕Z—.艺 夕名X一y 忿龙①x②x⑧得:(x一y)(y一z)(z一x)=①② 厂y一z)(z一x)(x一7) 扩y.zl 丫x、扒z两两不等. .’.(x一y)(y一z)(z一x)护0, x勺、,=1.证毕. 另一方面,若将题设中三式相加有: 1二1二1二2.,x ,丁州卜y十月了个z十二丁宁X=x十二二二十夕宁二二 X一yZ之)一yZ+之+之, Z之一二.砂+少+砂一卿一x之一yz_八枯理得二-‘一已‘一二‘二一一-二‘‘-‘二‘…     

错在哪里

一、湖南省式冈二中钟介澎来稿 题已知:x、y〔R,且尸十犷蕊1,求之=!x+,}+}y+1}一卜12y一x一4}的最值。 解:由已知可得,一1‘x成1,一1(夕(1,所以万十1)O,2万一x一4<0,并且一2成x十y镇2。 :=l、+万!+万+1一(2夕一二一4) =lx+万卜x一y+弓当x十,)0时, 之二x十夕十x一y+弓二Zx十5镇7当x十对簇O时, 之二一(x+互)+x一y+5 =5一翔)3故z的最大值是7,最小值是3。 解答错了!错在哪里? 错误的原因是把正方形区城A二{(芜,,)l一l‘工毛1,且一1镇;簇1}看作与圆面区城‘B={(x,夕)1扩+犷(1,二、万〔R}是等价的,而实际上是姓。B。 正确的解法是:%+对)O尸+对…     

用拆项法求分数项数列前n项和

1.直接拆项求和i一犷 + 劣 了气例1.求和尽。钊:+立一)+ 歹十。。。一卜 1‘留”十丽一解(劣,鱿=l) 夕一1军”(军一1),(公二1,夕戈1)S”==劣(]一劣n)一r 1.,1一工(x今1,夕,1)毛些卫丝斗1一劣 参一1夕”(今一1)(劣戈1,夕戈1.)2.用部分分式拆项求和~盆_。_、_。1”IJz·水利巧”二不可嘴’万l十 1+一丽不万灭而石犷’/..、114解S,=之).,11\十、—一尸二户少 5日+。二十(一生一-一-二一)一4几一34界+1〕 几石万‘ 一般地,若a:,aZ,数列,a,戈0,花=1,2,得: 一生一+卫匕+.” 口x口2口2口3a,,…为等差公差为d,则易 1十一 口”口”+l 件一一, G工…     

倒数型分式及无理方程的简解

我们很容易得出下列结论: 1,一,、,,,二。“土万阴阴很分利足xl=2(厂“ 1) 工十l 兔琴: xZ 16(万一卜1) xZ 1方程 1X士二了= —汤原方程化为 3(x一卜1)C,X;方程 a a义士一 X a_~~J-_一‘二一的两根.万不一r十子不丁一“2十经 名i一e 一 一一分别是x,二:,x,二士一一C丫石一卜1万 1。八犷‘ 13乙,—一二==丁 X十1艺 直接利用上面倒数方程的性质解倒数型分式及无理方程十分简捷.兹举数例供参考. 例1解关于、的方程、 一早丁一。 ,一,、,”、,,一工一1分别解得x,,:=1士了万,x3,;=3士了1了 咬经检验,它们都是原方程的根。 1十-一花犷 a一1 (…     

一个不等式的证明及应用

·习i-l 二 习a,艺b ‘.1‘一iO‘一— 丙.a. b‘·名产先着两个题目:,)已知:名二‘二。,。及为均为实数,‘一,,2,…, 一盔令今。.求习二‘(,一x’)的最大值.‘一12)i己知正数二、.、:满足艺a汁名b‘,一l,.j{ 戈甘.朴之.之戈_飞厂罗了,,r代万苏下~二二门~二于二于~二一乙万十U石U个“‘宁轰x十U十考=3。哈冲求二、夕、之. 为了求解这类题目,本文给出一个不等式: 定理设a. 认>。(i二1,2,…,的,则 . (艺二)’ 二1 二习。‘ 名6‘二l二1《习瓦编万嘴二乡》(习。‘)’·习曰方恶、、i一1名。.名b‘一1‘一I .(一 6,,艺。.军飞, ‘一l(一)根据…     

数学练习题(十四)解答

润.设a与夕为尸一8x+1一。的二根,习之初;a“十声‘(儿为自然数)为一不能被7整除的整数. 证由根与系数白;关系知:a十刀一8,a·夕~1.当:二二1,2,3时,a+口一sa卫+夕“一(。一考一夕)“一Za·刀一64一2二62 。乙+‘月一‘己,尽,3一3·“,岁·(a十尽)一8:一犷_一逃88,命题显然成立.没当:<左时命题成立,则当九二k时十尸一2)二8(a七一‘十少“‘)一(a“一2+刀‘“2)…a充+夕‘=(a+夕)(a“一‘+夕是一‘)一a月(a‘一’+①以介一1易k有:护一’+尸一’一创砂一“十歹‘一“)一(砂一3十尸““)…②以②代入价担:、乏一L尸一63(a‘一2十尸““)一8(a走…     

a~2—b~2公式的应用一例

曰泊‘旧‘匕毖爵三,下才,、J.例:化简下列乘式: g (3“+1(3“+1) 1)(3“+1)(3“ (1)+1)……,、*二一,1,。20,、、,、,/,、辛娜卜:奋用·洲是工、:1一~万一戈O一12粼狱匕人忆1/工、1 乙原式一要(3‘。一,)(32 石…(3“+1) 12+z)(3“+i)(3“卜1)一妻(3·‘一1)(3’ ‘ 2+1)(3“+1)…32 1,。:=.下犷气O- 石+1)一1)(32+1)…“·(32+1)一李(3,“丫‘一, 乙底数为二( 1+1)(xZ劣>1)+1)(护,化简:十1)…… +1)。将该式乘以1 1一无二i、人一上2’广护护推((解原式一卫(二2。一i)(xZ‘+z)(二2‘+z)(x,’+i) 义一1、……(护 12‘2二二:——一气人 X…     

美国数学竞赛题和解答

第四届(1975年) 1.(a)敲明 〔5刘弓一〔5川坏13洲一刃十〔3夕 刘,这里、,夕二0.其中「“〕表示不大于“的最大整数(例如〔丫丁]二1). (乙)利用(召)或不利用(a),敲明 (5,,2)乞(sn)1 而,:万汉不石呼一。)汉3,千石乃。’对任何正整数。,n均为整数。征(a)实际上我仍可以征明〔5刘十〔5夕〕)〔3、十y〕 厂3夕十劣〕详一〔万了 厅」 (1)祀了一二一〔刘,犷一,一[列,’那么O泛二‘<1,o《,‘(1. [5、〕 !5夕〕一[5[二] 5、,」 [5[y〕 5夕,〕 一5 tx}」一!5二‘〕 51,〕十15,‘〕, 〔3、十夕〕一于〔3夕斗一二〕 「劣〕 「夕〕 二3〔x} 〔y] 13.、‘ …     

函数与不等式

例.求证x釜一卜‘矛月一嘴 1,多丁、汇‘十气 万3)“。考虑函数,一xZ右x,,尤:__丫,1,__尤只专口」下二气再1 j x:十x:)处的他,由于6(十x。 x3), Xi一3犷十x孑十x蒙少)为乞4Bq为重心,其中,x荃),刀(x:夕x子),乙(x。,x孟)在曲线上.设GM垂直x轴交曲线于N1,__丁、不’十从 x3),合‘x! xZ 工。) 合(万f ‘’十“’梦),则‘M‘NM·即鲁(Xl一十‘3”,.’.x户十x老 ,,梦合“1十‘2 xs)’.类似可证生十XI生十i夕x 2 x32十x3(x:,x:,x,任R );价咚·了 1/*0 .r.二二、夏之‘ 汤(父>0夕b>0,a十b=1)等.应用函数夕=x“和凸n边形Al,…,,·的重,。G(畏:…     

巧用方差性质解题

设夕为一组数二,,x:,…牙一工(xl+x:+…十x,),,x二的方差,则。。1二,。“一万L又工, +(x。一牙)2+(x,一牙),+…一王)’〕工〔(x,青〔(x工+x:十x:十…十x尸)一,尹] 1工十’“十毛一夕一万气xl+xZ十…+x”)“」.n 11易知夕一0<二争x,一x:~···一‘一x.巧用这一性质,可以简解一些非方差问题.(关)例1已知:a十b十c+d~8,矿+夕十产+毋一16,求abc+。‘d十bcd+abd的值.解52=设夕为数组a、b、‘、d的方差,则粤仁(aZ+,,+。,+、2)一李(‘+,+‘+J):」任一任1416一粤x 52 4 一0. 由(,)式知。一b一c一d一2,故ab‘+。‘d+bcd+二bd一2 X 2 X 2 X4一32. …     

数学问题与解答

又设AD=劣,B刀二夕,DC=a一夕,则1984年第3期问题解答n。,,,~二,1,口,L,,=J’l,=丈‘L,+刀l’,百L劣+,一。,+音‘二+a一,一“) 41.已知函数f(幻=a公十b,且加,十6醉=3,证明:对于任意:任〔一1,1],!f(:)}镇粼百. 1,。=甲二~(之汤+a一O一C) 艺、证明:~:·6b2一3,...(得)’·(、。)z=‘·代入前式得三竺互互=三(勘+a一b一c),化简为丫哥一i·一滤· 犷,rl二—Lp一劣) 肠①,(p表示△ABC的半周)召万乙=eo,夕,in夕,b=COS夕 另一方面,2(S。,,。+S。,。,)=犷:(c+工+夕)+犷2(b+劣+a一今)=,,(a+乙+e+器)=价i〔p+劣)…②,2S“eo=Zp犷…于是,(·。=…     

代数设参法证明不等式

例1 证明 已知a十b c- 矿十护 挤) d，求证 有 所以 b一x十1，a一y 1， 共 口—l 夕 a一1 _(夕 1)，l(x 1)， ——一r— 矛一3’ 设a 1 ~二丁d十X，口 j 1 一气犷a十y， 口 ，2 (止 兰)十(垫十 \Jy/、工 X 2工 \.11 .1\ 1十l一十一1 ，、工y， 1，.~ c一气犷a十z，主土x十y十z     

狗年趣题三则

1994年将至,以1994年为题材,编拟趣题三则,向《数学教学通讯分各编委及广大读者恭贺新年。 1 99毛:.甲}工一了 ‘.J 1…1一11一2}十12计“:认黑,一桨 1l一l”‘十J 1994一595~l一1_ 1 995一3.设非零复数x、y满足护+xy十犷 1 319941995 二Oy+并 yX+解:‘:1卜二1求:(‘,9‘+(,9,‘之值。J解:.11济石不:102”199) 9:令y一二x,切yl,代入了+二y十犷~ 22…2 1 994个2 原式-1电竺i二!) 90,则1+二+、2一0,…(1一w)(l+w+wZ一O,w,二1,1十切2一一叨.‘阮协蔽仁一2一1厕汤V甘一一:.原式一(__毛)‘9,‘+(: 沈门广y工y、z,,;令(1。,,,‘一1)一王(99…9…     

对一个三角不等式的再探讨

·本文对〔D中的不等式加以推广,有定理1设x夕y,:,却〔R千,角a 口 丫 日“(2无 1)汀(k〔Z),则劣5 ina 万sin夕 :51。丫 留sin口一/l(:, 之脚)(,: :,)(zx 。,)毯:f,性空丝一上竺竺兰兰芝生止一竺竺匕二生竺一二兰竺2, J劣百ZW(1)当且仅当xeosa=,eos夕=zeos了=留eose时,等式成立。 通过将。=xsina 夕sin夕,”=:sin丫 。sin夕两边平方,及(万eosa一yeos夕)’》0,可证得cos‘· “,‘丝兴产,c。“丫 “,‘今恙二少.由a 夕 了 0=(Zk 1)二,即得xZ 犷一砂 Zxy.之2 留2一”2十一2之留)0, 匕(亡土犷{ 2脚劣y.之, 留2十—z一奋U一X 口Uf n只=(夕君…     

一题多解辨析

题目:求麟。一。了绍撰猛的值域,以下各种思路及解法都来目脸生.思路一:化为“能认(二+们十b”型. 工劣/劣解法一:。一‘S’n二i些空仁l兮{渔世功‘了2· 二一51且,艺 兀、吸X月~-几下少一 4笋一1.也即红” 5 In火COS义l+5 ijl工eos:变型为*华女叮劣一卜岛义、2夕后取值应去掉g井一1.,引n着cos香+ZcOSZ着所‘”域应为!了2十1 2一])U(一1,.戈.乙cos百“In劣/。x万气COS“万一5 111:,\ Z/2005普(s‘。普(S‘”讼一十cos云)了2一1 2〕思路二:解法三:化为“f(才,妇~。”型. _劣.大\co‘丁一“’且丁) 劣拦宜卜十犷了丫“52二,进行万帐于…     

第33届IMO预选题解答

1.首先,二一y一l是一组解.其次,如果(二,y)是一组解,有y)x,那么,考察整数对(x:,y),其中 犷+从~x·‘T 1.(二)显然.由(,)可知,二,与y的任何公约数都是m的约数,又由(2)知,该公约数亦为,的约数,因此,有 (Jl,夕)=1. 此外,由(2)和(*)可知 二2(x}+m) 一(犷+m)’+尹m ~犷十Zn理2+m(‘扩+胡)是y的倍数.由于(二,y)一1,因此·(一二、,y)满足题设条件(1)一(3).再由(二)知.二,>y,因而这一过程可无限多次进行下去,使我们私l到无穷多组合乎条件的整数. 2.记j一’‘’(、)=j’(f‘””(x)),其中,,一1,2,…,且 f‘“‘(x)~、r,f‘”(,)=f(二).利用这些记号…     

完全平方公式的变形应用

兮 沙协岑不汀认匕\卜 完全平方公式(“士l))夕一乙:2士Zal,一卜尸.不难将公式作如下变形: (1)aZ 犷一(a b)“一Zab (2)a“ /)z一(a一乃’“ 2‘Zb忍 (3)(‘:一卜b)艺十(a一乃)卫=2(“2 乙竺) (4)(“一!一占)2一(a一b)2=4‘,,争 若能灵活运用上述变形公式解题,贝弓使解题过程简捷明快,收到事半功倍的效果.现略举几例说明. 例1已知尸 犷一枪,.、一干y一4,求抑的值. 解:由上述变形公式(l)得:2二少一(二 y)2一份召十少)一工6一12一4.o’.笼少一2· 例2已知扩l)2十矿十犷 l一如b.求“、八的值. 解:由变形公式(2),已知等式可化为、2少 流一乙)2…     

巧增参量 妙求最值(高二、高三)

题已知x,y,z均为正数,求函数u(x,y,z)_xy yz二二,二、一~歹一万一不厂不一一万U,洲凡办口让儿. 工-一广y一州卜Z-当且仅当护一myZ,ny_,。。_拓一z一,肠卜瑟一飞犷y,z一 J(第9届98年“希望杯”高二培训)攀,时等号成立,故Uma一 12丫万于i_杯 2’一般解法是:推广已知x,y,z均为正数,求函数u(x,y,u(x,y,z)J洲 yz xZ 少十护xy yz_、_mxy nyz,,八、二二硬L、‘2一刃不万砚百乎、~于口2“”取入悦‘/。.1。\./1。.。\lx“十下一少)十t二了犷十才)、自/、二产‘一xy 巡一鳗 一‘/夕,、,川目/9,,,艺 丫曰内J、丫曰少‘*。。、。_万、、口二一月~曰…     

关于线性正算子的逼近阶

本文推广B.M。。d[‘],B.M。。d和R.犷asod即叻t:]的结果于二维空间,高维空间可类似推得设X为C(D)或C,(D),D二〔a,b〕x〔e,d〕,/(二,夕)〔X的连续模为tOI 。(f;占;,占:)二Sop!f(,、,夕、)一f(二:,夕:)!,】二:一二:}(占:,!y:一y:{《占:(二:,y:)〔D.(戈:,yZ)〔D偏连续模为。(f;占,,0)二SoP y口(f,0,占:)=SoP Sop,f(二1,y)一f(二:,y)I,!二;一,:l《占1 Su尹!f(二,夕,)一f(,,夕:)1,!夕:一夕:】《占2一,连续函橄用线性正算子序列逼近的阶引理设f(二,夕)〔C(D),则 !f(。,。)一f(二,夕)!《(i+久,+久:)。(f;占:,占:),其中,,二!」一丫lD,…