从勾股定理谈起

我们知道在直角三角形ABC中,已知∠A=90°,则有AB~2 AC~2=BC~2,这是数学中最基本的定理,叫做勾殷定理,其证明方法有300多种.其几何意义是以直角三角形ABC的三边分别为边向三角形外作正方形ABMN、ACPQ、BCLK,则两直角边上的两个正方形面积之和等于斜边上的正方形面积,即     

活用勾股定理 探究一题多变

<正>一、应用勾股定理探究图形面积例1如图1,在直线l上有三个正方形,面积分别为a,b,c,若a=5,c=11,则最大正方形的面积b是多少?思路点拨:根据“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△BED,则BC=ED,由勾股定理易得b=a+c=16.变式1:如图2,以Rt△ABC的三边为斜边,分别向外作等腰直角三角形BFC、等腰直角三角形AHC、等腰直角三角形AEB,面积分别为S₁,S₂,S₃,则S₁+S₂=S₃.(请同学们尝试证明)     

有相同面积和相同周长的三角形是否全等?

若两个三角形有相同的面积和周长,这两个三角形全等吗?我们从直角三角形开始研究.引理设 ABC 和 RST 是直角三角形,若三角形 ABC 的面积等于三角形 RST 的面积且三角形 ABC 的斜边长等于三角形 RST 的斜边长,则三角形 ABC 全等于三角形 RST.证明由假设三角形 ABC 和 RST 是直角三角形,则在三角形 ABC 中,a~2 b~2=c~2.在     

对一道课本题的探究与思考

正原题再现:如图,在方格纸上任意画一个顶点都在格点上的直角三角形ABC,并分别以这个直角三角形的各边为一边向外部作正方形,试探究3个正方形面积之间有怎样的数量关系?数学模型:以BC为边的正方形面积记为S_1,以AC为边的正方形面积记为S_2,以AB为边的正方形面积记为S_3,则3个正方形面积之间的关系为S_1+S_2=S_3.解决问题:所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角     

等腰直角三角形内接正方形的问题

<正>本文约定:若正方形的两个相邻顶点在三角形的同一条边上,其余两个顶点分别在三角形的另两条边上,则称该正方形为三角形在该边上的内接正方形.显然,等腰Rt△ABC中,∠A=∠B=45°,∠C=90°,AC=BC=a,则S_(△ABC)=a²/2.关于等腰直角三角形内接正方形一般有两种情形:(1)当正方形PMNQ为等腰Rt△ABC斜边AB上的内接正方形时,如图1.     

面积公式的妙用

在数学学习中,同学们常常会利用特殊平面图形面积公式来解决一些一般平面图形的面积问题。你可知道,我们还可用这些面积公式来解决一些其它数学问题。图1一、利用面积可以验证勾股定理例1如图1,我们知道在Rt△ABC中,两条直角边与斜边有如下关系:a2+b2=c2即在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。图2将四个全等的直角三角形拼成图2,利用计算小正方形的面积可以验证勾股定理。S小正方形=S大正方形-4SRt△即c2=(a+b)2-4×12·a·b=a2+2ab+b2-2ab∴c2=a2+b2.二、利用面积可以求出直角三角形斜边上的高例2如图3,在Rt△ABC中,BC…     

三角形的计算考点过关检测卷

一、填空题 1．已知直角三角形两条直角边分别为6,8,则斜边上中线的长为——． 2．已知等腰直角三角形斜边的长为2cm,则这个三角形的周长为——． 3．如图,由RtΔABC的三边向外作正方形,若最大正方形的边长为8cm,则正方形M与正方形N的面积之和为cm^2．     

变出习题的新景象

华东师大版八年级数学第19章《解直角三角形》中有如下两道习题:1.分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形,然后以这三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆,试探索三个圆的面积之间的关系.2.以Rt△ABC的三边为直径向外作三个半圆,试探索三个半圆的面积之间的关系.若用P、Q、R分别表示上面两道题中两直角边与斜边上所作图形的面积,则有P Q=R.对这两道题,教师不能停留于此,可作进一步的变化,得到:3.若分别以直角三角形三边向外作正三角形,其面积分别用P、Q、R表示,试确定P、Q、R之间的关系,并加以证明.4.若分别以直角…     

问题的再思考

例题如图,四边形BMDF和四边形ADEN都是正方形。己知△CDE的面积为6cm2,则阴影部分△ABC的面积为_____．解析显然可利用三角形面积公式S△ABC=1/2AC·BF。图中两个正方形的边长为a、b所以AF=b-a,     

八年级数学单元测试题（课标人教版）

一、填空题(每小题2分,共20分)1.如图1,64、400分别为所在正方形的面积,则图中字母所代表的正方形面积是.2.满足a2 b2=c2的三个正整数,称为.3.三角形的三边长分别是15、36、39,这个三角形是三角形.4.已知甲往东走了4km,乙往南走了3km,这时甲、乙两人相距.5.在△ABC中,∠C=90°.若a=2、b=3,则c=;若a∶c=3∶5且c=20则b=.若∠A=60°,且AC=7cm,则AB=cm,BC=cm.6.直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于cm.7.在△ABC中,如果a∶b∶c=1∶$#3∶2,那么∠A=,∠B=,∠C=.8.已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为cm…     

关注过程 回归本源——PISA框架下的数学试题分析

<正>真题呈现 (宁波市2019年初中学业水平考试12题)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载,如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出( )(A)直角三角形的面积(B)最大正方形的面积(C)较小两个正方形重叠部分的面积(D)最大正方形与直角三角形的面积和PISA 项目是目前国际学生学     

直角三角形的妙用

<正>本文结合实际例子,阐明直角三角形在解题中的妙用.一、隐藏的直角三角形例1在5×5的正方形网格中,ABC的顶点都在格点上,如图1所示,求BC边上的高是多少?ACB图1%分析与思考计算边长后我们可以判定ABC是直角三角形.这样我们就可以再利用面积求出斜边BC上的高来了.易得BC边上的高是h=槡102.此例中我们必须首先判断出ABC是直角三角形,即把隐藏的直角三角形     

2010年全国初中数学联赛江西省初赛

第一试一、选择题(每小题7分,共42分) 2.△ABC是等腰直角三角形,四边形DEFG是其内接正方形,H是正方形的对角线交点,则由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形有( )对.     

“勾股定理”与“实数”自测题

一、填空题1.已知两条线段长分别为5cm,12cm,则当第三边平方为时这三条线段构成直角三角形.2.如图1,一个直角三角形与一个半圆拼接在一起,其中,半圆的直径等于直角三角形斜边长,直角三角形两条直角边都等于4,那么半圆的面积=3.图.(2结是果20保02留年π)8月在北京召开的国际数学家大会的会标,它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形边长是13cm,小正方形边长为7cm,则每个直角三角形较短的一条直角边的长是cm.4.某人骑自行车从A地出发,向南行20km到达B地,再向西行21km到达C地,此时C,A两地间的距离的平方…     

一个四边形的面积引发的思考

<正>原题如图1,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE,△BFC都是等边三角形,求四边形ADFE的面积.分析由已知得△ABC为直角三角形,由等边三角形的性质易得△DBF≌△ABC≌△EFC.解法1最外沿大五边形等于一个正三角形+两个直角三角形,故可求其面积;用大五边形面积减去三个三角形面积即可求得结果(△ABD、△ACE、△ABC);     

图形的切拼

一、情景引入2001年3月10日由中央电视台播出第八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第一道试题是:“2002年将在北京召开国际数学家大会.图1如图1所示,这是大会的会标图案.它由四个相同的直角三角形拼成.已知两直角边的长为2和3,求大正方形的面积.”显见,大正方形面积等于四个直角三角形与中间小正方形面积之和.每个直角三角形面积是3.四个直角三角形面积是12,中间小正方形的边长为3-2=1,面积是1.所以大正方形的面积是3×4+1=13.这道试题向广大青少年传播了2002年将在北京召开国际数学家大会的信息,并介绍了大会会标的图案,其中还蕴涵着勾…     

运用化归思想求图形面积

化归思想是极其重要的数学思想方法,在与图形面积有关的计算问题中,灵活运用化归思想可以有效解决许多问题,现举例分析如下:一、运用旋转变换化归例1如图1是一块直角三角形的土地,现在要在这块地上挖一个正方形的鱼塘AEDF,若已知剩余的两直角三角形两条斜边长分别为20cm和30cm,问剩余的两直角三角形土地面积和是多少?解因为四边形AEDF为正方形,所以点E可以看成是点F绕点D旋转90°后的对应点,若C点也绕着点D旋转90°得对应点C′(如图2),则有Rt EDC′≌Rt FDC,故所求两三角形的土地面积即为Rt BDC′的面积.∴S=21BD·DC′=21BD…     

勾股定理(八年级人教旧版几何第二册下)

一、填空题1. 观察下图,假设每一个小方格表示1平方厘米,那么可以得到:正方形P的面积S1= cm2正方形Q的面积S2= cm2正方形R的面积S3= cm2发现:三个正方形P、Q、R的面积之间存在的关系是.猜想:如果直角三角形ABC的三边BC、AC、AB的长度分别是a、b、c,那么它们之间存在的关系是.2. 如图,若AB=16cm,AC=12cm,BD=25cm,那么BC=cm,CD= cm.3. 根据传说,古埃及曾用“拉绳”的方法画直角. 现有一根长24厘米的绳子,请你也尝试着去做一做,利用它折出一个周长为24厘米的直角三角形. 那么根据你的设想折出…     

一道“希望杯”竞赛题的探索

原题:如图1,一个面积为51cm2的正方形与另一个小正方形并排放在一起,则△ABC的面积是___cm2.(第十届希望杯赛题)探索:设大正方形的边长为a,小正方形边长为b,则a2=50.法1特殊值法.由题意知S△ABC与b的大小无关(b相似文献   

此题内涵丰富多彩(初二、初三)

题目如图1,直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=3,以AB为一边向三角形外作正方形ABEF,正方形的中心为O,且OC=4(2~(1/2)),那么BC的长为( )