一类与自然数有关的数学命题的证明

先给出两个定理 :定理 1　定义在自然数集的函数ｆ(ｎ)与ｇ(ｎ) ,若　 (ｉ)ｆ( 1) =ｇ( 1) ;(ｉｉ)ｆ(ｎ 1) -ｆ(ｎ) =ｇ(ｎ 1) -ｇ(ｎ) ,则对任意的自然数ｎ都有ｆ(ｎ) =ｇ(ｎ) .定理 2　定义在自然数集的函数ｆ(ｎ)与ｇ(ｎ) ,若　 (ｉ)ｆ( 1)≥ｇ( 1) ;(ｉｉ)ｆ(ｎ 1) -ｆ(ｎ) >ｇ(ｎ 1) -ｇ(ｎ) ,则对任意自然数ｎ都有ｆ(ｎ) >ｇ(ｎ) .以上两个定理均可用数学归纳法加以证明 .这里就不再赘述 .下面就定理的应用举例如下 :1　证明与自然数有关的等式或恒等式这类问题通常用数学归纳法、拆项法、差分法等方法证明 ,但若用以上定理证明 …     

再谈一类与自然数有关命题的证明

对于一类与自然数有关的等式或不等式的证明题 ,“文 [1]给出了二个定理 ,方法虽好 ,但却增加了记忆负担 ;文 [2 ]给出了不借助辅助定理直接证明的方法 ,虽然操作起来更容易 ,但其关键步骤 (即构造相关的不等式或等式 )不易想到” [3];文 [3]所述方法是以数学归纳法证题思路入手 ,先假设ｎ- 1时命题成立 ,再看ｎ时要探讨什么 ,据此“分析”一步 ,再行证明 ,也不轻松 .能否在文 [1]、[2 ]所述求解思路的基础上 ,提出一种既不“增加记忆负担” ,又非“不易想到” ,且较 [3]简便、易于操作的方法呢 ?其实 ,利用众所周知的命题“对于数到 {ａｎ}…     

有关自然数命题的非数学归纳法证明

与自然数有关的数学证明问题,第一思路是数学归纳法,但是,有些问题用数学归纳法证明并不是最佳方法.如果抛开定势思维,根据命题的具体结构与特点,另辟思路,往往可以收到出奇制胜、事半功倍的效果.下面,笔者将分类阐述这一问题.     

与自然数有关的命题的几种证明方法

学过数学归纳法以后,遇到与自然数有关的命题,总是自觉或不自觉地想用数学归纳法去证明.其实,与自然数有关的命题的证明。除了数学归纳法外,还有许多巧妙的,行之有效的方法,下面结合实例介绍几种证明方法.     

谈与自然数有关命题的非数学归纳法证明

谈与自然数有关命题的非数学归纳法证明河北省涿州职教中心孟海港大家知道，数学归纳法常常用于证明与自然数有关的命题．但它不是证明与自然数有关命题的唯一方法，也并不一定是最佳选择．解题时要根据题目条件灵活取舍．本文举例说明几种与自然数有关命题的其他证法．一...     

利用数列模型证明某些与自然数有关的数学命题

众所周知 ,数学解题的过程是一个思维不断变更的过程 ,也是一个不断化归转化的过程 .因此 ,在解题中 ,我们既要发挥思维定势的积极作用 ,善于进行习惯性思维 ,又要消除思维定势的消极影响 ,善于由此及彼进行创造性思维 .基于以上认识 ,在数学归纳法教学之后 ,我又引导学生就有关例题和习题 ,通过构造数列模型给出新的证法 .这样不但重新点燃起学生兴趣的火花 ,而且使他们尝到学会创造、追求真知的乐趣 .同时 ,对教学也产生了意想不到的效果 .证明某些与自然数有关的代数恒等式例 1　证明12 +2 2 +32 +… +ｎ2 =ｎ(ｎ+1) (2ｎ +1)6 .证明　设…     

一类与自然数有关的命题的一种证法思路

贵刊文 [1]、[2 ]实际上探讨了一类可用数学归纳法证明的与自然数有关的命题的非数学归纳法的证明方法 ,文 [1]给出了二个定理 ,方法虽好 ,但却增加了记忆负担 ;文 [2 ]给出了不借助于辅助定理 ,直接证明的方法 ,虽然操作起来更容易 ,但其关键步骤(即构造相关的不等式或等式 )不易想到 .受文 [1]、[2 ]的启发 ,笔者以这类问题的数学归纳法证明中探寻出一种非数学归纳法的证明方法思路更清晰 ,操作更容易 .例 1　求证1 11 2 … 11 2 … ｎ =2 - 2ｎ 1.　　分析　用数学归纳法证明该式时 ,在第二步 ,假设对ｎ- 1时等式成立 ,即等式 1 11 2…     

用构造法证明与自然数n有关的一类恒等式

在中学数学教学中与自然数n有关的恒等式的证明方法历来都是采用数学归纳法。本文介绍一种构造性证明方法。此法简单自然。并具特色。以下以几例说明这种方法。     

活用导数证明与自然数有关的不等式

证明与自然数有关的不等式是高中数学教学的重点、难点、热点．在用数学归纳法及放缩法证明与自然数有关的不等式时,如果思维受阻,不妨改变思维的角度,尝试将自然数集上的不等式看作实数集上的不等式,巧妙构造函数,发挥导数的优越性,用导数方法证明,不仅有利于开辟新的证明思路,而且有利于化繁为简,化难为易．     

用定积分证明与自然数有关的不等式

<正>证明与自然数有关的不等式sum from k=1 to nf(k)g(n),是高中数学中的一类常见问题,也是数学教学的难点.在高中数学中增加     

3．与自然数有关命题的非数学归纳法证明（高二、高三）

与自然数有关的命题一般用数学归纳法来证明，但是用数学归纳法证明不是唯一的方法，也不一定是最佳方法．在证题过程中，要适当地避开思维定势，根据题目的特点，选择恰当的证法．本文对此作一些介绍，供同学们参考．     

关于与自然数有关的命题的两个问题

一、与自然数有关的命题是否都可以用数学归纳法证明? 高中代数(甲)第二册指出:“对于由归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们常常采用下面的方法来证明它们的正确性,……这种证明方法叫做数学归纳法。”可见与自然数有关的命题并不是都可以用数学归纳法证明的。数学归纳法并非是“万应灵丹”。但是,如果教     

与自然数有关的不等式的非数学归纳法证明

数学归纳法虽然常用于证明与自然数有关的不等式命题,但不一定是最佳选择。下面例说其它一些方法。     

与自然数有关的不等式的非数学归纳法证明

与自然数有关的不等式问题．集数列的抽象性和证明不等式的灵活性于一身．是同学们最感困难的问题之一,同时也是高等学校入学考试或高中数学竞赛的热门试题．遇上这类问题．同学们总是自觉或不自觉地想到用数学归纳法证明．其实它并非唯一的或最佳的方法,有时甚至还行不...     

构造不等式证明两类与自然数有关的不等式

证明与自然数有关的不等式一般用数学归纳法,但数学归纳法步骤呆板僵化,过程繁琐冗长.若构造不等式来证明与自然数有关的不等式.则构思奇巧,过程简洁明了,令人拍案叫绝.而且本文所介绍的两类不等式的证明方法也有章可循.     

一类中值命题的证明技巧

本文是借助于几个基本定理(洛尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理),利用构造函数的方法,解决了一类中值命题的证明.     

一类几何命题的构造证明

形如111abc =几何命题,其证明的灵活性较强,难度较大.本文把111abc =的几何命题通过构造角平分线,把它们化归为一个基本的几何图形,然后加以证明. 1 基本图形及其结论 如图, △ABC中, BD平分ABC,DE∥ BC则111ABBCDE =. 证明 如图所示,易得BEDE=, 又AEDEABBC=ABDEDEABBC-? ABBC     

一类中值命题的证明技巧

本文是借助于几个基本定理(洛尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理)，利用构造函数的方法，解决了一类中值命题的证明。     

一类命题的常规证明及几何本质证明

在讲、解竞赛题和研究改造新题时,教师往往会选择一类具有几何背景的命题．