探究数学创新试题命题的六种途径

创新意识的激发、创新思维的训练和创新能力的培养是素质教育中最具活力的课题。 2 0 0 1年中考数学命题中 ,这类创新意识试题的数量和质量都大大高于往年 ,一批既不超越大纲 ,又不拘泥于大纲的新颖试题 ,遍布各地试卷 ,多姿多彩 ,美不胜收。本文试通过 2 0 0 1年的考题 ,谈谈创新意识试题命题的六种途径。一、从课本例、习题中改遍开放型试题例 1　如图 1, ABCD中 ,AQ、BN、CN、DQ分别是∠ DAB、∠ ABC、∠ BCD、∠ CDA的平分线 ,AQ与 BN交于 P,CN与 DQ交于 M,在不添加其它条件的情况下 ,试写出一个由上述条件推出的结论 ,并…     

第九章 开放型

开放型试题大体分为条件开放、解法开放、结论开放三种 ,解法不同 ,出现的结果也可能不同 ,但这些结果都是正确的 .同学们在解题时应不拘一格进行思考 ,才能获得完美的结果一、例题解析图 2 - 9- 1DANMPQCB例 1　如图 2 - 9- 1, ABCD中 ,A Q、BN、CN、D Q分别是∠ D AB、∠ ABC、∠ BCD、∠ CDA的平分线 ,A Q与 BN 交于 P,CN与 DQ交于M,在不添加其他条件的情况下 ,试写出 ·一 ·个由上述条件推出的结论 ,并给出证明过程 .(要求 :推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件 )解 :( 1)由题设条件可得出 :△ …     

对一道中考数学压轴题试题的研究

【题目】2006年江西省课改试卷的第29题问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中,得到如下两个命题:如图1,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60°,则BM=CN.图1图2如图2,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90°,则     

数学奥林匹克问题

本期问题 初183 在△ABC中，∠ABC与∠ACB均为锐角，点D、E分别在边AB、AC上，DF⊥BC于点F，EG⊥BC于点G，设BE交DF于点M，CD交EG于点N，BN与CM相交于点P。求证：AP⊥BC。     

两道题的引伸

将两道竞赛题抄录如下题 1　如图 1,已知 E、F分别是正方形 ABCD的边 BC、CD上的点 ,AE、AF分别与对角线 BD相交于 M、N,若∠ EAF=50°,则∠ CME ∠ CN F=.　图 2图 1题 2　如图 2 ,正方形 ABCD外作一正三角形ABE,BD、EC相交于 F ,则∠ AF D的大小是 (　　 )(A) 6 0°.　 (B) 5     

一道竞赛题的另两种证法

题目如图1,在⊙O中,弦CD垂直于直径AB,M是OC的中点,AM的延长线交⊙O于点E,DE与BC交于点N．求证：BN=CN．     

一道国外竞赛题的推广

题目 在△ABC中,设∠A、∠C的角平分线交于点I,且分别与CB、AB交于点A1、C1,与△ABC的外接圆交于点A2、C2,K是A1C2与A2C1的交点,KI与AC交于点M．证明：AM=MC．     

一道白俄罗斯竞赛题的简证

题目　已知CH是RtABC的高(∠C=90°),且与角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.证明:通过QN、PM中点的直线平行于斜边AB[1].(第52届白俄罗斯数学奥林匹克(决赛A类))这里给出此题的一个简证.图1证明:如图1,令E、F分别为QN、PM的中点.联结CE、EH.由∠C=90°,CH⊥AB得∠BCH=∠BAC.于     

数学问题与解答

2012年第6期问题解答856.ΔABC中,点E、F分别在边AB、AC上,使∠FBC=∠ECB=1/2∠A,BF与CE交于点P.过点P作PM∥AC交AB于点M,作PN∥AB交AC于点N,求证:BM=CN.(401515重庆市合川太和中学袁安全供题)证:如图1,连结MN、MC、NB.     

一道IMO平面几何题溯源

正原赛题如图1,△ABC为锐角三角形,AB≠AC.以BC为直径的圆分别交边AB和AC于点N和M.记BC的中点为O,∠BAC和∠MON的角平分线交于R.求证:△BNR的外接圆和△CMR的外接圆有一个公共点在BC边上.证明:如图1,连结MN、BM、CN,则∠BMC=∠CNB=90°.记BM与CN的交点为H(△ABC的垂心),即知A、M、H、N四点共圆(记为⊙O_3).设∠BAC的角平分线交BC于点W,则AW经过     

等角共轭点一个性质的推广

定理　设P、Q为△ABC内两点 ,则AP·AQAB·AC +BP·BQBA·BC+CP·CQCA·CB≥ 1 . ( )等式当且仅当P、Q为△ABC等角共轭点 (即∠PAB=∠QAC ,∠PBC =∠QBA ,∠PCB =∠QCA)时成立 .证明 :如图 ,顺次以BC、CA、AB为对称轴作△PBC、△PCA、△PAB的对称图形 ,分别为△A′BC ,△B′CA ,△C′AB ,连结A′Q、B′Q、C′Q ,则易知 (以S△ 表示面积 ) :S△AC′Q+S△AB′Q=12 AC′·AQsin∠C′AQ +12 AQ·AB′sin∠B′AQ =12 AP·AQ(sin∠C′AQ +sin∠B′AQ)=12 AP·AQ·2sin ∠C′AQ +∠B′AQ2　·c…     

构造全等三角形解题一例

题目 如图1,ΔABC中,∠B：90°,点M为AB上一点,使AM=BC,点N为BC上一点,使得CN=BM,连接AN、CM交于P点,求证：∠APM=45°． 分析 考虑题设条件中线段的相等,可构造全等三角形,故有下面的几种解法．     

一个相似模型的应用

1一个相似模型图1模型:如图1,△ABC中,AB=AC,D为BC上一点.以D为项点作∠EDF,使∠EDF=∠B,并且∠EDF的一边与AB交于E点,另一边与AC(或延长线)交于F点.则有△BDE∽△CFD.证明因为AB=AC,所以∠B=∠C.又因为∠B=∠EDF,所以∠BED ∠BDE=∠BDE ∠FDC,所以∠BED=∠FDC.所以△BDE∽△CF     

一道奥数训练题的溯源和探究

1．原题与溯源《中等数学》08年第6期数学奥林匹克高中训练题（13）一试第5题：设抛物线的顶点为A,焦点为F．过点F作直线l与抛物线交于点P、Q,直线AP、AQ分别与抛物线的准线交于点M、N,问：直线l满足什么条件时,三直线PN、QM、FA恒交于一点？     

三道国内数学竞赛题的另解

题1 如图1,PA、PB为⊙O的切线,点C在劣弧AB上(异于点A、B),过点C作PC的垂线l,与∠AOC的平分线交于点D,与∠BOC的平分线交于点E.证明:CD=CE.[1] (2013,中国西部数学邀请赛)     

一道赛题的多种解证思路

题目与分析 1994年杭州市第六届“求是杯”初中数学竞赛的压轴题是这样的一道题:如图1,△ASC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC.AM与BN相交于点P.求证:∠BPM=45°. 由于条件给出的是线段的等量关系,求证的却是角度等式,二者不易沟通.但由于条件中有直角和线段相等,因此,既可想到构造等腰直角三角形,又可利用勾股定理去引伸出新的等量关系,于是有下面的两种途     

一个相似模型的应用

模型：如图1，△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，以D为项点作∠EDF，使∠EDF=∠B，并且∠EDF的一边与AB交于E点。另一边与AC（或延长线）交于F点，则有△BDE∽△CFD。     

一道不够严谨的题解与立体图

一些书刊上有这样的一道题与其解法: 过二面角a—l—β内一点P分别作PA⊥平面a、PB⊥平面β,点A、B为垂足,已知∠APB=60°,PA=a,PB=b,求点P到二面角的棱l的距离。 [解]:如图.过PA、PB作平面γ,设它与二面角的棱l交于Q,连结AQ、BQ和PQ。     

圆内接四边形的一个性质

命题　圆内接四边形ABCD中,AD与BC交于点P,AC与BD交于点M,则PM2=PA·PD-AM·MC.证明:如图1,易知∠PMD>∠MBC=∠MAD.延长PM到H,联结AH,使∠PAH=∠DMP.则PDMPHA.于是,PDPH=PMPA,即　PA·PD=PM·PH.①又∠MPB=∠DMP-∠MBP=∠PAH-∠PAM=∠MAH,所以,A、H、C、P四点共圆,即有PM·     

一道CMO题的加强

题目 如图1,锐角△ABC内接于圆Γ,AB＞AC,M为圆Γ上的劣弧(BC)的中点,K为圆Γ上点A的对径点.过圆厂的圆心O作OD//AM,与AB交于点D,与CA的延长线交于点E.直线BM与CK交于点P,直线CM与BK交于点Q.证明: ∠OPB+∠OEB = ∠OQC+∠ODC.