换元法在无理方程中的应用

换元法在代数学中是一种常用的方法。它采用变量替换的方法 ,使复杂的问题简单化、明朗化 ,从而降低题目的难度。换元的方法应随具体问题而灵活选择 ,有整体代换、多元代换、倒代换、均值代换、局部代换等。一、整体代换例 1 .2 x2 3x- 5 2 x2 3x 9 3=0。分析 :注意到根号外未知数的二次项、一次项系数与根号内未知数的二次项、一次项系数相同 ,我们可以通过整体代换作如下换元 :令 2 x2 3x 9=y,则有 y2 - 5y- 6=0 ,从而使复杂的无理方程转化为简单的有理方程。解 :令 2 x2 3x 9=y,∴ y2 - 5y- 6=0 ,∴y1=6,y2 =- 1 ,∵y≥ 0 ,…     

妙用不等式“A/x+B/y≥(A~(1/2)+B~(1/2))~2/(x+y)”智取一类最值

各类资料都有如下一类二元极值:题目1已知x,y∈R~+,且1/x+4/y=1,求4x+9y的最小值;题目2已知x,y∈R~+,且2x+9y=5,求2/x+1/y的最小值.此类最值,我们老师采用如下方法,以题目     

分式通分的七种技巧

分式运算经常涉及到通分 ,若能根据分式的结构特征 ,采取相应的通分方法和技巧 ,则不仅可驭繁为简、化难为易 ,而且可减少出错率 ,达到事半功倍之效。本文通过课本习题介绍分式通分的七种技巧。一、分解因式 ,约后通分例 1 .计算 :x2 2 xy y2x2 y xy2 - x2 - 2 xy y2x2 y- xy2 。解 :原式 =( x y) 2xy( x y) - ( x- y) 2xy( x- y)=x yxy - x- yxy=2 yxy=2x。二、通盘考虑 ,整体通分把题目中的多项式视为一个整体进行通分 ,比逐项通分计算量小、速度快。例 2 .计算 :x3x- 1- x2 - x- 1。解 :原式 =x3x- 1- ( x2 x 1)=x3 - ( x- 1) ( x2 x …     

妙用不等式“A/x＋B/y≥（√A＋√B）^2/x＋y”智取一类最值

各类资料都有如下一类二元极值: 题目1 已知x,y∈R ,且1/x 4/y=1,求4x 9y的最小值; 题目2 巳知x,yE R ,且2x 9y=5,求2/x 1/y的最小值.     

和初一新生谈谈“整体思想”

初一新同学在解决代数问题时,习惯上盯着某个局部特征,总想各个击破,分而治之.而有时这样做把问题弄得很复杂,无从下手.这里我向同学们介绍一种重要的数学思想方法——整体思想,也就是着眼于问题的整体结构,从大处考虑,由整体入手,突出问题的整体结构的分析和改造,这样做往往能收到理想的效果.下面举例谈谈整体思想在解题中的运用.一、求值中运用“整体思想”例1　已知x2+x-1=0,求2x3+4x2+3的值.简析:由已知,得x2+x=1,将x2+x视作一个“整体”代入求值式,得2x3+4x2+3=2x(x2+x)+2x2+3=2x+2x2+3=2(x2+x)+3=2×1+3=5.例2　若(3x+1)5=ax5+bx4+cx3…     

整体思想应用例说

整体思想简单地说就是注重问题的整体结构,对问题进行整体处理的数学思维方式。对于一些问题,作整体处理,常会收到明朗快捷的解题效果。江西省泰和县第四中学廖章荣｛x+y=90①y+z=110②z+x=120③｛x=50y=40z=70｛x+2y=62y+3z=83z+x=4一、整体加减例1解方程组分析:先消去一未知数化为二元一次方程组求解,较麻烦,这里采用整体加减。解①+②+③,得x+y+z=160④④-①,得z=70④-②,得x=50④-③,得y=40故原方程组的解是练习1:解方程组二、整体代入例2已知a-b=1000,c-a=-999,求(2a-b-c)(c-b)2的值。分析:先由已知求出c-b的值,另注意到2a-b-c=(a-b)-(…     

赏析一道材料阅读题

题目:阅读材料,解答问题. 用图象法解一元二次不等式:x2-2x-3＞0. 解:设y=x2-2x-3,则y是x的二次函数. Qa=1＞0,∴抛物线开口向上.     

活用整体思想,优化解题过程

整体思想体现在数学解题中,不是急于分析问题的各个组成部分,而是将要解决问题看作一个整体,整个地考察问题的性质和条件,通过研究问题的整体形式、整体结构或作种种整体处理以后,往往化难为易,化繁为简,达到顺利而又简捷地解决问题的目的,下面举例说明如何通过活用整体思想,提高解题效率.一、整体观察,化繁为简例1　已知函数f(x)=x21+x2,那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=.分析与解:对于这个题目,如果一一求值,计算量较大.现在我们从整体考虑:由f(x)+f(1x)=x21+x2+11+x2=1,可知,f(2)+f(12)=1,f(3)+f(13)=1,f(4)+f(14)=1,于是原式…     

聚线性方程、排列组合、二项式定理于一题

从生活中一趣题谈起. 题目有10块相同的巧克力糖块,若苗苗每天至少吃1块,直到吃完,有多少种不同的吃糖方法. 分析一天吃完,一种吃法. 二天吃完,关键是余下的8块糖如何吃.实际上等价于求二元线性方程x1+x2=8的非负整数解的问题:x1+x2=8,当x1=0时,x2=8,x1=1时,x2=     

代入法求分式值的几种途径

分式的学习中,经常遇到含条件的求分式值的问题,们,要注意根据题式和求式的特点,灵活利用代入法. 一、整体代入 1 例1 若x2+x-2=0,那么x2+x- =摇摇摇 摇. x2+x 解:视x2+x为一个整体. 1 1 ∵x2+x-2=0,∴x2+x=2, = . x2+x 2 3 则求式= . 2 二、公式代入 1 1 例2 设x- =1,则x2+ =摇摇摇 摇摇. x x2 1 1 解:由x- =1,得 (x- )2=1. x x 则求式=( x- )2+2·x·1 1 x x =3. 三、倒数代入 1 1 2 ab 例3 已知 - = ,…     

数形结合解一类易混淆的综合题

在求解某些题目的过程中,经常会遇到事是而非的问题,从而导致学生出现了许多不应该出现的错误结果,下面列举数例予以说明.例1已知x1是方程x lgx=3的根,x2是方程x 10x=3的根,则x1 x2=()(A)6(B)3(C)2(D)1解析:此题若直接由解方程x lgx=3和x 10x=3而得到x1与x2,进而求x1 x2,则势必     

怎样解分式求值竞赛题

分式的条件求值是数学竞赛中常见的问题.解这类竞赛题目,常用到以下几种方法.一、求值代入法例1已知x满足方程1/{2001-(x/x-1)}=1/2001,则x3-2001/x4+29=_____.(2001年北京市中学数学竞赛初二试题)解:由已知方程可得x/(x-1)=0,则x=0.∴x3-2001/x4+29=-2001/29=-69.二、整体代入法例2若1/m=1/n+1/3,则3m-5mn-3n/m-mn-n=_____.(2002年全国中小学生数学公开赛初三试题)     

能这样反设吗?——一道试题的讲评

题目:用反证法证明:不论x,y取任何非零实数,等式1/x 1/y=1/x y总不成立. 证明:假设不论x、y取任何非零实数,等式1/x 1/y=1/x y总成立. 则有x2 y2 xy=0即(x y/2)2 3/4y2=0. 但当y≠0时     

习题引出的思考

题目:阅读问题与解答,然后回答问题: 关于x的方程k2x2+2(k-1)x+1=0有实数根。(1)求k的取值范围; (2)如果这个方程的两个实数根的倒数和的平方等于8,求k的值。解:(1)△=[2(k-1)]2-4k2=-8k+4>0,所以k<1/2     

运用整体思想解题

整体思想是一种重要的数学思想 ,其思维方法是指在思考问题时 ,把注意力放在问题的整体上 ,把一些看上去彼此独立 ,实质上紧密联系的量 ,作为一个整体来考虑 ,达到顺利解决问题的目的 ,现举例说明 ,供参考 .一、整体代入例 1　已知 x2 + x - 1=0 ,求 x3 + 2 x2 + 2 0 0 1的值 .分析 :若解方程 x2 + x - 1=0 ,求出 x,再代入 ,计算求值 ,思路自然 ,但计算繁难 .若将所求代数式分解变形 ,运用整体思想 ,则可化难为易 .解 :原式 =( x2 + x - 1) ( x + 1) + 2 0 0 2 .∴当 x2 + x - 1=0时 ,原式 =2 0 0 2 .二、整体固定例 2　化简 2 ( 5- 3)4 - 1…     

为什么出错

题目:已知,函数y=ax~2-ax 3x 1的图像与x轴有且只有一个交点,请求出a的值及交点坐标。错解:令y=0,得ax~2-ax 3x 1=0,整理得ax~2-(a-3)x 1=0,由题意得     

探析一道函数值域问题的多种错解

题目求函数y=xx2 x 1的值域.错解1:当x=0时,y=0(以下解法均省略这一步的讨论).当x≠0时,两边平方可得y2=x2 xx2 1=11x2 1x 1=1x 1212 43,则0相似文献   

一道不妥的竞赛题及其错误解法

美国初中数学竞赛有一道题,我认为解法是错误的,现抄录如下,和同行们切磋. 题目已知??=2,求x的值. 解:??=2,∴x~2=2,x=2~(1/2) 若把题目更改如下:     

一个容易被混淆的问题

笔者最近从几本不同的复习参考书中都看到一道题目 ,此题及解答如下 :问题　已知关于 x的方程 :log2 (x 3)- log4x2 =a的解在区间 (3,4)内 ,求实数 a的取值范围 .解　原方程可化为log2 (x 3) - log2 x=a,因此原方程等价于x 3>0 ,x≠ 0 ,x 3=2 ax x>- 3,x≠ 0 ,(2 a- 1) x=     

数学填空题的几种快速解法

一、打破常规、直观求解例 1　若 x 1x=c 1c,则 x=(　　 )。分析 :条件化简之后 ,是一个一元二次方程 ,故 x的值有两个。由观察可知 x1 =c与 x2 =1c满足原方程。故 x=c或 1c。说明 :要提高解题速度 ,有时必须打破常规 ,不要被基本的运算顺序所束缚。二、整体把握 ,巧妙求解例 2　若 x2 x- 1 =0 ,则 x3 2 x2 1 999=(　　 )。分析 :若先求 x2 x- 1 =0的根。再代入计算则十分繁杂。通过变形 ,运用整体代换 ,能化难为易。解 :∵ x2 x- 1 =0 ,∴ x2 x=1。∴ x3 2 x2 1 999=x3 x2 (x2 x) - x 1 999=x(x2 x- 1 ) (x2 x) 1 999=2 0 0 0。…