若干平面几何命题向立体几何的移植

将平面几何命题向立体几何中移植是件十分有意义的工作,这既能充分展现几何问题的内在结构的相似性,又能促使人们去通过类比“发现”一些新的几何命题,完成平面几何到立体几何的自然过渡,推进学习立体几何的进程．平面几何问题向空间移植这一课题由来已久,本文不打算研究它的历史渊源,而从若干平面几何命题探索出相应的立体几何命题,并揭示平面几何命题与相应立体几何命题证明间的相互联系,给读者提供一条证明相关立体几何问题的方法,并期望读者能从中领悟到一些立体几何命题的由来．在此,我们仍然遵循平面几何向立体几何移植中的…     

一个平面几何命题的空间移植

<正>本文将从一道平面几何命题出发,对于其多种证明方法予以分析,探索该命题移植到空间的可能性,同时我们试图揭示一种平面几何命题如何向空间移植的方法,共感兴趣的读者品评.1问题在△ABC中,点M、N分别在AB、AC上,且满足BM/AM+CN/AN=1,求证:MN过△ABC的重心.题目解说:2016年全国高中数学联赛山西赛区预赛第二大题.方法透析:要证明MN过△ABC的重心,只需证     

平面几何教学浅谈(续)

三、突出培养学生的论证能力平面几何一开始就接触到论证,以后无论是学习定理还是解几何计算题、作图题都离不开论证,可见论证是由全部几何学里最重要的部分,突出培养学生的论证能力是学好平面几何关键。在教学中培养、提高学生的论证能力,应注意以下几点:     

初中平面几何总复习概要(续)

课题九梯形复习目的:使学生掌握梯形的性质,并能将梯形问题通过添辅助线,转化为三角形与平行四边形的问题.例31 已知:梯形ABCD中,AB∥DC,且AB+DC=BC,M是AD的中点,求证:BM⊥CM.目的:复习梯形中位线性质。说明:本题若添中位线MN,则可根据三角形一条边上的中线等于这一条边的一半,判定这个三角形是直角三角形。本题若延长CM交BA延长线于E,将梯形转化为三角形,联     

高考数学命题研究(续)

(3)从考试时间和题量看。数学科考试时间为120分钟,但覆盖面要求较大,数学科有近130个知识点,为达到60％～70％的覆盖面,以每题平均2～4个知识点论,要有近30个题,显然靠增加解答题是不可能很好地实现考查目的的,因此必须增加选择题的数量以增加全卷题目数量,提高覆盖率。同时也可以提高考试的信度和效度,使解答题真正发挥其考查综合分析、逻辑推理等复杂思维过程的功能。 (4)从阅卷来看,尽管现在对选择题的功能还存在着很大的争论,但我们不能不承认选择题阅卷速度快、误差小、效率高的特点,我们更不能不面对我国每年有近300万考生这样的事实,为解决评卷工作量大、劳动强度高、误差控制要求严、时间紧迫等问题,只有增加选择题的比例,采用机器阅卷,减轻评卷教师工作量,以提高阅卷的速度和质量。     

平面几何与立体几何的类比探究

类比是一种数学思想方法,将生疏的问题和熟知的问题进行比较,对生疏的问题作出猜想,并由此寻求问题的解决途径或结论。正如波利亚所说：“对平面几何和立体几何作类比,是提出新问题和获得新发现取之不竭的源泉”。下面谈一谈自己运用类比思想对平面几何与立体几何进行探究的教学过程：     

立体几何与平面几何的交汇创新

空间图形与平面图形之间有着密切的关系.同学们既要善于把立体几何问题转化为平面几何问题,通过截面、射影、展开等途径将空间图形转化为平面图形,从而有效、合理地运用平面几何知识和方法解决问题,又要善于通过折叠、旋转等途径把平面图形扩展为空间图形,从而在更高、更深的层面上分析和处理问题.     

平面几何与立体几何的类比探究

类比是根据两种事物之间已知的某些相似的属性，推断出它们其他的属性也可能相似的一种推理方法．近年来高考数学命题出现了不少类比性探究题，其结构新颖，思维灵活，不少同学感到难以把握．本文以平面几何与立体几何的类比探究为例，对这类问题的解题结论和解题方法作一些简单的研究．     

一个平面几何命题的应用

（本讲适合高中） 本文给出一个有关三弦共点的命题,此命题在处理有关圆的问题时应用广泛,特别是在证明三线共点或三点共线时,常发挥重要作用．     

谈平面几何命题的结构

平面几何命题(这里主要指平面几何定义、公理、定理、推论等)是平面几何学基础知识的核心。每个命题都是平面几何知识系统中的一个知识点或多个知识点的复合。正确认识每个命题的结构特征,是深刻剖析其本质属性、揭示其内涵和外延的前提,也是帮助学生从不同的侧面分析、理解命题,深化命题教学的有效手段。“平面几何学是研究平面图形的形状、大小和位置关系的一门科学。”这一论断早为人们所熟知。通过对平面几何命题结构的研究、分析,我认为:每个平面几何命题的题设或结论都是由一个或若干个度量关系或位置关系构成的。所以说平面几何命题是揭示几何元素之间的度量关系(相等,不等,成比例等等)和位置关系(平行,垂直,结合——点共线、线共点、点共圆等等)的思维形式。当我们确知某个几何图形的形状以后,便可以依据命题     

提高学生立体几何证题能力的尝试(续)

三、关于巧添辅助线和辅助面由于在空间中研究问题总不如在平面上研究问题来得简单方便,因此,在研究立体几何问题时常想办法将平面与平面的位置关系问题转化成直线和平面的位置关系问题,进而再转化成直线和直线的位置关系问题(这种处理问题的方法叫“降维法”)。     

关于中学平面几何中“圆”的教学(续)

6. 圆和角的关系这一项目的教学是研究了圆和一条直綫的位置关系、圆和圆的位置关系之后的进一步发展。这里包括着两个主要内容: 1)以圆周角的度量定理为基础来说明和圆有关的角的度量定理; 2)应用这些定理来解的几个重要作图题——圆的切线,两圆的公切綫,在已知綫段上作含有已知角的弓形。在教学中首先要使学生掌握“与圆有关的角”这一概念。教师可以先向学生指出,在研究了圆和一直綫的位置关系后,现在进一步来研究圆和两条直綫的位置关系。由此领导学生进行以下的分析: 1)两条直綫本身的位置关系有两种可能:     

浅谈立体几何与平面几何的类比学习

“类比是一个伟大的引路人”（波利亚）．“每当理智缺乏可靠论证的思路时。类比这个方法往往能指引我们前进”（康德）．所谓类比,就是根据两个对象在某些方面的相同或相似,推出它们在其他方面的相同或相似点的一种推理方法,其思维过程如下：     

一个平面几何命题的应用探讨

如图,P为△ABC内任意一点,过P分别作DE∥BC,FG∥CA,HK∥AB,得△GDP,△PEK,△PHF,易知:△GDP∽△KPE∽△PHF∽△ABC,不仅如此,这四个三角形还有更密切的联系。定理设图中的△GDP、△KPE,△PHF与△ABC的相似比分别为k_1、k_2、k_3,则有k_1 k_2 k_3=1。证明∵k_1=GD/AB, k_2=KP/AB=AG/AB,k_3=PH/AB=BD/AB。∴ k_1 k_2 k_3=(GD AG DB)/AB=1。由上述定理,还可得到:     

对平面几何第二章三角形中等量问题教学的意见(续)

第三单元:全等三角形本单元教材,主要是运用三角形全等的性质,集中地研究了几何图形的等量关系,就是将线段的相等,角的相等……综合的研究扩展为三角形全等的过程。通过本单元的学习,一方面为今后进一步研究三角形的边角关系及多边形的性质打下基础,同时也进一步培养着学生逻辑思维的能力。因此本单元教材,是具有承上启下的作用,在平面几何中占有极重要的地位。怎样进行本单元的教学,这里提供下面几点意见: 1.怎样讲清全等三角形中有关的概念:     

平面几何(之7)

4．量角器也叫做半圆仪．它是在半圆板上,刻了0°,1°,2°,…,179°,180°等标志线,用它可以量出一个角的大小,精确到1°．如图1．5．锐角、钝角     

平面几何(之30)

前面,我们比较详细地讲了勾股定理,勾股定理的逆定理及其应用.下面讲直角三角形的另外两个定理,它们的重要性虽然不及勾股定理,但是很有用.这两个定理中更有用的一个是     

平面几何(之9)

这里讲到的每组的两条线段“之间的距离处处相等”是两条线段平行的根本条件,也就是说,考察两条线段是否平行,要看距离是否处处相等．在这里,距离是一个重要的概念,因此,先要比较详细地说明一下．就平面几何这个范围来说,只有三个距离概念: 1．两个点之间的距离     

在立体几何教学中联系平面几何的必要性

中学立体几何课程的内容,主要包括空间直线和平面间的一些重要性质,和一些几何体(多面体和旋转体)的侧面积和体积的计算法。就学习的程序来看,旋转体教材的学习是以学会多面体的教材为基礎的;而多面体的教材的学习则是建筑在学会有关直线和平面的概念和它们的主要性质等基礎上的。出此可见,在开始学习立体几何直线与平面这一章的时候,树立起清晰的明确空间     

平面几何的初等变换(中)

三、变换的乘积 在几何中,把接连施行两次变换称为变换的乘法,其结果叫做变换的积. 变换的乘法满足结合律. 容易验证8(g)8(g)=I, C(O)C(O)=I, I每一个以O为旋转中心,旋转角为0的旋转可以看作两个反射的积.两反射轴都过O点,其中第一条轴可以任意选取,第二条轴便随之而定:从第一轴转向第二轴的指向与旋转方向相同,第一轴与第二轴之间的夹角恰等于旋转角的一半. T(v)T(一v)二I, R(0,0)R(0,一0)=1. 对于变换的乘法,我们只介绍有关合同变换的乘法的几个定理. 定理1对于两次反射的积S(g,)S(g:) (i)若91与g:重合,则 S(g,)S(g:)二I;(ii)若g:…