一题两解的启示

九年级数学练习题中有一道题为:如图,△ABC中,∠C=90.,AB=c,A C=b,BC=a,求其内切圆⊙O的半径r. 解法一:根据三角形面积求连结AO、BO、CO. ∵SΔAOC=1/2AC·r SΔBOC=1/2 BC·r S△AOB=1/2AB·r ∴SΔABC=1/2AC·r+1/2BC·r+1/2AB·r=1/2r(a+b+c) 又S△ABC=1/2BC·AC=1/2ab ∴1/2r( a+b+c)=1/2ab ∴r=ab/a+b+c 解法二:利用切线长性质求 作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,则四边形DCEO为正方形.     

一道2012年北大自主招生试题的多解与探究

2012年北大自主招生数学试卷的第4试题:如果锐角△ABC的外接圆的圆心为O,求O到三角形三边的距离之比,一、试题的多解解法1:如图1,设锐角△ABC中三边长为a,b,c,△ABC外接圆的圆心为O,显见0在△ABC内,设外接圆半径为R,OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,OG⊥BC于G,△OBC中,S_△OBC=1/2OG×a,S_△OBC=     

一个例题的引申变化与拓展应用

一、原题如图,(?)O 是ΔABC 的内切圆,切点分别为 D、E、F,设ΔABC 的周长为 l.求证:AE+BC=1/2l. 证明:连结 OE、OF、OA.∵⊙O是△ABC 的内切圆,E、F 为切点,∴∠AEO=∠AFO=Rt∠.又∵OE=OF,OA=OA,∴△AOE≌△AOF∴AE=AF.同理,BD=BF,CD=CE.     

神奇的勾股定理——一道中考数学压轴题评析

一、试题及简解题目如图1,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是AB上的一个动点(不与A、B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.(1)当BC=1时,求线段OD的长;(2)在DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不     

三角形六点共线

定理　在△ABC中 ,D、E、F和X、Y、Z分别为边BC、CA、AB上的中点和高的垂足 ,ZD与FX交于L ,ZE与FY交于M ,DY与XE交于N ,则L、M、N三点都在△ABC的欧拉线上 (图 1 ) .证明 :如图 2 ,设O、H分别为△ABC的外心和垂心 ,我们来证明L在OH上 ,设△ABC外接圆半径为R ,设直线ZC、FX交于P ,连结OF、HL、OL .因OF⊥AB ,PZ⊥AB ,OF∥PZ ,∠OFL =∠P ,F为Rt△AXB斜边AB的中点 ,FX =FB ,∠B =∠BXF =∠CXP ,∠P =∠PZF -∠ZFP =90°-2∠B .在△CPX中 ,应用正弦定理 .可算出PC =XCsin∠CXPsinP =CHcos∠HCX…     

巧用角平分线性质证明

角平分线是指把一个角分成两个相等的角的射线.关于角平分线具有如下重要的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.对于一些含角平分线条件的证明问题,巧用这个性质,能简化解题过程,达到事半功倍的效果例1如图,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,垂足为E、F,求证:EB=FC.证明:∵AD平分∠BAC,又DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE=DF.在△BDE和△CDF中,∵∠DEB=90°,∠DFC=90°,DE=DF,BD=CD,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC例2如图,△ABC中,O为∠A、∠B平分线的交点,OD⊥BC于D,OE⊥…     

一个章头图形的探究用其应用

现行高中数学教材 (试验修订本 ·必修第二册上 )第六章不等式中有一个章头图 ,它是不等式的一个基础图形 .本文对此图形给予解释并作进一步探究 ,然后适当推广运用 ,仅供教学参考 .为行文方便 ,图形字母略有变动 .1　章头图形的几何意义如右图所示 ,以AB为直径作⊙O ,作CD⊥AB ,OE ⊥AB ,且CF⊥OD .在Rt△OEC中 ,CE >OE ,在Rt△COD中OD >CD ,OE、OD为⊙O半径 ,故OE >CD .在Rt△FDC中 ,CD >DF ,综合起来有CE >OE >CD >DF . ①设b>a >0 ,在图中取AC=a ,BC=b ,于是有半径OE =a +b2 ,在⊙O中 ,根据圆的相交弦定理有C…     

谈一个几何定理及其应用

我们知道:三角形的内心,外心,重心,垂心等都有其独特的性质,这里,我们将介绍一个三角形外心与垂心相互联系的等式。即定理:三角形任一顶点至垂心的距离,等于外心至对边距离的二倍。已知H是△ABC的垂心,O是外心,OD⊥BC于D,OE⊥AC于E,OF⊥AB于F, 求证:AH=2OD,BH=2OE,CH=2OF。证明:分两种情况讨论     

数学问题与解答

271.△ABC的内切圆⊙O切BC、CA、AB于A′、B′、C′,过O点分别作△A′B′C′各边的平行线,它们在BC、CA、AB上截得的线段分别为EF、MN、PQ,试证: EF/BC+MN/CA+PQ/AB=1。证:如图1,连OC、QE、MF。由EN∥A′B′和OC⊥A′B′得OC⊥EN。但OC平分∠ECN,故ON=OE。同理,OM=OQ,所以,△OMN≌OQE,EQ(?)MN。同理得到FM(?)PQ。于是有△QBE∽△ABC∽△MFC。于是 MN/CA=QE/CA=BE/BC,     

两个有趣的几何性质

定理 1:若△DEF是△ABC的垂足三角形,则△DEF的三边长分别为acosA、bcosB、CcosC.(如图1) 证明:因为BE⊥AC,CF⊥AB,所以∠BEC=∠CFB=90°,所以B、C、E、F四点共圆.所以∠AEF=∠ABC,又因为∠EAF=∠BAC.所以B△AEF∽△ABC,所以EF/BC=AE/AB,在Rt△ABE中,cosA=AE/AB,所以EF/BC=cosA,所以,EF=acosA,同理可得DF=bcosB,DE=ccosC     

巧用面积法解(证)平面几何题

有些平面几何 ,本身虽然与面积无关 .若从面积的角度来考虑 ,往往具有思路明快 ,过程简捷 ,现举例如下 .一、用面积证明线段相等例 1　如图 1,在△ A BC中 ,BE⊥ AC于 E,CF⊥AB于 F,且 BE =CF,求证 :AB =A C.证明 :在△ A BC中 ,由三角形面积公式 ,得S△ ABC=12 A B .CF =12 A C .BE∵ BE =CF,∴ AB =AC.图 1图 2二、用面积法证明线段不等例 2　如图 2 ,在△ A BC中 ,BC >A C,AD⊥ BC于D,BE⊥ AC于 E,求证 :BE >A D.证明 :∵ S△ ABC =12 BE .A C =12 AD .BC,∴ BEA O=BCA C,又∵ BC >AC,∴ BE >AD .…     

一九九八年全国高中数学联合竞赛加试试题及解答

一、(本题满分50分)如图,O、I分别为ABC的外心和内心,AD是BC边上的高,I在线段OD上.求证:△ABC的外接半径等于BC的旁切圆半径.注:△ABC的BC边上的旁切是与边AB、AC的延长线以及边BC相切的.证明 设AI的延长钱交圆ABC于K点,半径OK记为R.因为OK⊥BC,所以OK∥AD,从而AI/IK=AD/OK=c·sinB/R=2sinBsinC①AI/IK=S△ABI/S△KBI=[1/2AB·BI·SINB/2]/[1/2BK·BI·SIN(A B)/2]=AB/BK·[sinB/2/(cosC/2)]     

射影定理的一个推论及其应用

现在我们先给出射影定理的一个推论:直角三角形两条直角边平方的比等于它们在斜边上的射影的比。已知:如图(1),在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,求证:AC2BC2=ABDD。证明:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,∴△ADC∽△ACB,△BDC∽△BCA,∴ACAB=AACD,BACB=BBCD,即AC2=AB×AD……①,BC     

两圆外切的若干性质及其应用

人教版九年义务教育初中几何第三册p .14 4页有这样一道例题 :已知 :如图 1,⊙O1 和⊙O2 外切于点A ,BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线 ,B、C为切点 .求证 :AB⊥AC .图 1解题过程不难理解 ,关键在于作出两圆的内公切线 ,下面简证如下 :证明 :过点A作⊙O1 和⊙O2 的内公切线交BC于点O ,因为OB、OA是⊙O1 的切线 ,所以OB =OA .同理OC =OA ,所以OB =OC =OA .即OA =12 BC ,所以AB⊥AC .这个例题的基本特点是△ABC构成了直角三角形 ,我们不妨称△ABC为切点三角形 ,容易证明切点三角形具有如下性质 :( 1)切点三角形是以两圆的公共点…     

一道赛题的另证

题目对于任意一个△ABC,记其面积为S,周长为l,P、Q、T依次为△ABC内切圆在边BC、CA、AB上的切点.证明:(第23届韩国数学奥林匹克)证明如图1.设△ABC的外接圆、内切圆半径分别为R、r.易知,BC=2Rsin A,TQ=AOsin A     

一道考题的解法研究

题目 如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于点F,OE⊥OB交BC边于点E．     

一个几何命题的证明

命题:二角形的外心至三边距离的和等于它的外接圆半径与内切圆半径之和。已知:O为△ABC的外接圆的圆心,OD、OE、OF为由O至BC、CA、BA的距离,R为它的外接圆半径、r为它的内切圆半径。求证:OD+OE+OF=R+r 本题见于几何辞典(日本,长泽龟之助著,薛德烱等译,新亚书店出版)第293页第1425题。原书的证明是这样的:命△ABC的面积为△,则R=abc/4△,r=△/s=△/(1/2)(a+b+c)     

巧用面积守恒法求内切圆半径

<正>苏科版教材九年级上册《中心对称图形(二)》中有这样一道练习题:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB、BC、CA的长分别为5、3、4.求△ABC的内切圆半径r.分析连结OA、OB、OC,将△ABC分成三个小三角形△ABO、△BCO和△ACO(如图2).这三个三角形都具有下列特征:即分别以△ABC的三边AB、BC、AC为底,其边上的高都为内切圆的半径r,则可用面积守恒来解决问题.     

三角形内角平分线定理在几何题中的应用

1.证明线段成比例 例1 在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥C,∠ABC的平分线交AD于F,交AC于E,求证:DF:FA=AE:EC.(初中《几何》第二册总复习题18题)。 思路:如图1,由本题结论特点,可寻找第三个比:分别在△ABD和△ABC中应用三角形内角平分线定理,得DF/FA=BD/AB和AE/EC=AB/BC.如果BD/AB与AB/BC相等,问题即解决。由直角三角形比例中项定理可得AB~2=BD×BC,即BD/AB=AB/BC.     

垂边三角形性质的再探

如图,过△ABC的顶点A作A1B1⊥AB,过B作B1C1⊥BC,过C作C1A1⊥CA,交出的△A1B1C1叫做△ABC的垂边三角形.经过探讨,笔者现已得到:性质1若△A1AC、△B1BA、△C1CB、△ABC的面积分别为S1、S2、S3、S,且△ABC的三边长为a、b、c,则有S1 S2 S3=a4 8bS4 c4.证明由∠A1 ∠A1AC=90°,∠A1A