三角形内接三角形的周长

命题设△D刀F为△ABC的内接二角形,BC=、.C几=乙,刀B=:,l为△D刀尸r认周长,叮l,} l一口c。:魂{一乙cosB十cc。:C.(1)其中等号当且仅当八ABC为锐角三角形,且△D刀F为垂足三角形时成立. 证设R为△ABC外接圆的半径,其它字母含义如图示,则 (a, 夕; ,7) (a: 口: 了2)F刀尸厂声」 =36     

数学问题与解答 1989年第1期问题

176.△ABC中,a b e=,(定值),匕A=0(定值),试求△ABC面积的最大值. (四川周余孝供题) 177.若三角形三边成等比数列,求证:以这三角形三条高为边的三角形相似于原三角形.(湖南高成香、陈万龙供题) 178.设A B C二二,二笋>O,求证:‘。。S’普 ,一粤 二。。,誓 (工刀 嘴 z劣)2咬一. 4劣夕z (浙江李世杰供题)‘79·△ABC中,求证:以。。:普、·。一粤、·。二号(”<俨<2,为三边长亦能构成一个三角形.(江苏罗纬供题) 180.设△ABC的内心I到顶点A、B、C的距离分别为二、夕、:,△ABC、△ABI、△刀口了、△〔少月I的外接圆面积分别是S、S:、…     

二元代换巧解无理方程

例1解方程了乏万二飞一了歹干丐~1(初中《代数》三尸131例1).解:设厂狂二飞~。,丫牙干丐-a一b一1,aZ一bZ~(Zx一4)一(之 5)二(2)十(1),得a十b由(1)、(s)得a~三~x一9,一82b.则 (1):x一9, (2) (3)x一8 2解得二:一4,x:~20.经检验,x:一20是原方程的根.例2解方程丫9一Zx 丫3一Zx二3罕/丁.解:设存=不~a,召了二花呀~b.则a b~3护厄~,(:aZ一bZ~(9一Zx)一(3一Zx)=6,(:(2)十(1),得a一b=了了,由(l)、(3)得a一2杯万:.丫可=丽二2了万~,:.212’经检验,二一音是原方程的根·例3解方程了3二2一sx十7一了3x“一7x十6二解:设了3扩一5x十7一a’丫3x“一7x 6,b…     

解斜三角形

☆基础篇诊断检测一、选择题1.在△ABC中,B=60°,b=76,a=14,则角A的值是()(A)75°.(B)45°.(C)135°或45°(D)30°2.三角形的三边之比为3∶5∶7,则其最大角为()(A)π2.(B)2π3.(C)3π4.(D)5π6.3.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边依次为a,b,c,若cosAcosB=ba,则△ABC是()(A)等腰三角形.(B)等边三角形.(C)直角三角形.(D)等腰或直角三角形.二、填空题1.若三角形三个内角之比为1∶2∶3,则这个三角形三边之比是.2.在△ABC中,已知角A,B,C成等差数列,且边b=2,则此三角形的外接圆R=.3.在△ABC中,S△=a2+b2-c243,则角C=.4.已知锐角三角…     

1992年四川省初中数学联赛

初赛一、选择题1.若ial~一a,则]2a一丫石万}等于 ). (A)a(B)一a (C)3a(D)一3a2.在△ABC中,AC,AB3.已知4x一3y一6二一O,x十Zy一7一0(x,y,二尹0).则2了,+3少尝+6二,尸+5犷+722的值等于一1,2,匕A的内、外角平分线分别为AE和AF,则面积S△通犷,S△,刀:S△,,r等于(). (A)3:2:4 (C)3盆l:4 3.(7+4丫厄) 4.如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,且Ac一5,BD一5粤.则 j,广\、。BC三、设关于x的方(B)3:2:6(D)2:l:4专一(7一4了~百.)合的值为程(,+号)2一5一粤一6有两根相等试求a的值.(A)14了丁(C)了不(B)2/-丁灯D)4丫万 4.若方程(1992二)’一1…     

利用15°的三角函数值巧解竞赛题

150的三角函数值可根据含300角的直角三角形推出.如图1,已知在△ABC中,艺C一9护,匕ABC一300,延长CB到D,使BD一AB,连结A刀,求乙D的三角函数值. 解.:艺ABC一300,BD-AB,…艺D一1 50.设AC一1,则AB一2,Bc一厅汪)C一2+、万.图1AD一祝蔽乡平西万玉一丫1+(2+.万)2一丫8+4了、 一丫(、万十丫万):一厅+、厄.一点点滴滴一sin 150 1护百+V厂牙 2+了万丫厂百+侧气矛丫万一护乏 4eos 15。丫污-+丫万 4tg 15。= 2+eot 150=2十丫万丫一了2一丫万 1999年全国初中数学竞赛题填充第10题,1996年全国初中数学联赛第一试填充第4题,若利用15“的三角…     

ctgA/2 ctgB/2 ctgC/2=ctgA/2ctgB/2ctgC/2的应用

国内、外数学竞铸试{‘互中,书常出现三角形边角关系的等式和不等式、本文应用△ABC中!你巨等式 (2)△是此 方..己十“tg万十ctg萝二 且』力,CC工g下丁c 19不了clg.石~ ‘山‘ “be 百干刁=亡 五“卫 召一厂· [例题工」已知。、乙、。是三角形阴三边一长,三角形的面积,求主刁- 。2 乙2一卜口乡4丫丁△。且一2 g 书L C和△ABC的边长公式 方Cc tg万 ctg万 C,Ctg万 ctg(I)(I) /_且c=不又‘Lg丁 证明不失一股性设:~”_班意注方C》3了了,△=且BC‘ aZ一卜l,之 eZ=(B C、“一卜、C 二哎)2 十厂江 B), =过2 BZ十CZ十〔月之 刀2月一CZ…     

1990年湖北省黄冈地区初中数学竞赛试题及解答

一、选择题 1.若a,b,c三数满足关系a<右<0<:且};!>。,则 la ‘卜了砂干户十。2 Zab一Za‘一2乙e等于(). (A)Za 右.(B)Zc一西- (C)乃一2 e.(D)一Za一b. 2.设M二了示不石乏不~产,其中a,b为相邻整数,‘=a·b,则M()。 (A)必是偶数.(B)必是奇数. (C)为无理数。 (D)可能为奇数,也可能为偶数. 3.△ABC的三边分别为a二2,乙=2了万,。“亿百 侧万,则能覆盖住这个三角形的最小圆纸片的面积是(). (人)2二。(B)4厂.(C)2侧丁军。 (D)(2 训丁),- 4.已知19;=1.02,则0.010·“‘的值是(). ,一__‘1叹A)“·弋b)IUa·(乞)16云.(D)一1 5.暗室里红、绿…     

05年中考数学模拟试题(4)

一、选择厄 9.如图1所示,在△八刀C中,AB一AC- 1.在下列实数:琴,。,600,。,万,要,一3, J乙 D是BC上的一点,且 一1,则BD·仪了的位 几AD刃 五n300中,无理数有() (A)1个.(B)2个.(C)3个.(D)4个 2.下列计算正确的是() (A)xZ·x3=x6.(B)(xZ)3=xs (C)护一护一x一1. (D)3x2一Zx(x l)-一xZ一Zx. 3.当a相似文献   

关于垂足三角形的一个对偶恒等式

文[1]给出了一个涉及垂足三角形内切圆半径的恒等式:设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,p=(a b c)/2,△ABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为?、R、r,若△AEF、△BDF、△CDE的内切圆半径依次为rA、rB、rC,则cot cot cotA2B2C2r A r B rC=?r??R.(1)本文给出(1)式     

集锦——与内心有关的两个不等式

文[1]给出如下结论:在△ABC中,设I是它的内心,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,R是△ABC的外接圆半径,则有AI BI CI≤ab bc ca.(1)1AI 1BI 1CI≥3R.(2)bcAI caBI abCI≥33.(3)本文给出两个更一般的结论:定理　在△ABC中,设I是它的内心,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,对于正数x,y,z有xAI yBI zCI≤abx2 bcy2 caz2.(4)xAI yBI zCI≥333xyzabc.(5)证明　设s,R,r分别是△ABC的半周长、外接圆半径、内切圆半径.易知:AI=rsinA2=2rcosA2sinA=4RrcosA2a,同理　BI=4RrcosB2b,CI=4RrcosC2c.所以　xAI yBI zCI=4Rrabc(xbcc…     

数学奥林匹克初中训练题(1)

Q白h、、尹、声BC/‘、r‘、第试!<合,二<夸,,<合,y<夸, _h之<下二甲 一、选择题(本题满分48分,每小题6分) 1.下列各式的结果中最大的是().(A)5、厂丁一7。(B)7一5丫厄几(C)衬一3会.(D)2十了厄一(2一斌子诱一)一,. 2.己知关于x的方程了一之2扩一48x一23一。和a~函/万+丫尹万十气/万,b一勺厄.十侧万‘一厂了,‘一了万一夕/毛一十抓石一,、d一丫厄~一了了.一jZ万.则下列四个结论中正确的是()二‘<言(D)x ,h,人岌万,y岌飞一, ,h份(-一~4‘ 7.如图,在△ABC中,匕A,匕B的外角平分线AD,BE分别交对边的延长线于点D,E,且AD~AB~BE.则匕A的…     

培养学生全面、准确地分析和解决问题

在中学数学教学中,我们常常会发现学生出这样那样的差错,有时甚至一个班级的大部分学生都会这样,有的学生甚至会一而再、再而三地出现同类性错误。这里略举数例,试加分析。例1.已知三角形三边之长为2、3、4(单位:cm),求能复盖住这三角形的最小圆的面积。学生往往这样想,能复盖住三角形的最小圆必须是其外接圆,所以千方百计地去求外接圆半径,再得出圆面积。这个解法是错误的。对于锐角或直角三角形,满足条件的圆的确是外接圆,但本题的三角形是钝角三角形,复盖住它的最小圆只需是以最大边为直径的圆,它的面积应当是4πcm~2。     

1990年南昌市初中数学竞赛试题及解答

=:△D。二贝},卜匕值畜贾等于1,。、—.叱l〕,3-4工5.7.刃 D2一5一、选择题1.设二<0,一1a乙>a.(B)ab>a>ab2. (C)a>a乙>a乙“.(D)a乙>a乙“>a.2.下列四个等式:3作“了一多噜,斌西丁名7面二训功一3,(A)(C) 1 9 215=2191弓,错误的有(). (A)一个. (Q)三个. 3.能使2二一1,Zu 4一2(Zn) 2(2” 3)(B)二个.(D)四个. 4二 5,20一二这三个7一8 一一D丑数作三角形三边的整数二共有(). (A)二个.(B)六个. (C)十二个.(D)十八个.,,。、二J。二舌二、、二。。。国,,离二1气守妆山直刀州,膝理刀七厄网长阴万’自底边上任意一点P引…     

三角形的半内切圆及其性质

与三角形的外接圆相内切,又与三角形的两条边相切的圆,称为三角形的半内切圆.本文将探讨三角形的半内切圆的一系列有趣性质.预备知识 △ABC的外接圆的半径为R,内切圆的半径为r,则r=4Rsin A/2 sin B/2 sin C/2.(证略)下面讨论三角形半内切圆的性质.     

用椭圆性质求解“希望杯”赛题(高二、高三)

对椭圆牛+共一1(。>。>。),有性质 a曰O“12一3tl(丫4t2+4.12 }x+yl镇丫护+护.这条性质在解竞赛题很有用处. 1.证明 设‘:=acos夕,夕一bs艺n夕(O毛0<2二),则 !x+y}一}acos夕+bsin川 一}丫护+夕五n(夕+叻l镇了护+夕. 2.应用 例!已知a丫1一萨十b丫1一护一1, 求证护十护一1.(第三届92年“希望杯,’). 证明由于即解得0镇‘簇亏 例3已知a,b〔R,且a+b+1=O,求(a一2)2+(b一3)2的最小值 (第十届99年“希望杯”高二) 解设(a一2)“+(b一3)“=t,则(a一2)2.(b一3)2十一下厂一~一1aZ+bZ aZ(1一bZ).bZ(1一aZ)一-了--六不厂-十-一百-一一-下- l一口曰1一…     

八年级数学单元测试题（人教版）

一、选择题(1~4题,每题2分,5~10题,每题3分,共26分.) 1.要使根式丫万平丁有意义,字母x必须满足的条件是() A .x)1 B.x>一1 C .x》一1 D.x>1 2.当a相似文献   

1990年全国初中数学联赛试题

第一试一、选择题 1 1一粼丁 1十一,----,气‘二二月一 l十粼3 21十侧丁的值是()。 (A)1.(B)一1.(C)2.(D)一2. 2.△ABC中,AD是高,且AD“二BD·CD,那么,匕BAC的度数是(). (A)小于900.(B)等于900. (C)大于900.(D)不确定. 3.方程7丫2一(k 13)万 无“一k一2=0(k是实数)有两个实根a,吞,且0相似文献   

“若ab=0,且a≠O,则b=0”的应用(初二、初三)

我们知道: 若ab一0,且a并O,则b一0. 这个命题十分简单,在数学竞赛中,有非凡的作用. 1.求值 例1满足等式:二万+y石一了吸灭了二石{一丫2003夕+丫2003习=2003的正整数对(二,夕)的个数是() (A)1.(B)2.(C)3.(D)4. (03年全国初中联赛) 分析根据等式的特征,可考虑运用分解因式的方法化难为易使问题获解.由已知等式分解因式得 (抓石一丫厄丽互)(存+石+丫丽丽)一。,因为石+石+了厄玩万并。,所以抓石一抓丽丽一。,得却一2003,而二,y都是正整数,2003是质数,于是 (y例2瑞。3或{立一2003,选(B).已知实数a,b,‘,d互不相等, 1“十万一b+工一一d十 1 —…     

1990年芜湖市初中数学竞赛试题及解答

一、选择题 1。如图,AD,BE,高线,则图中直角三角形的个数是(). (A)石. (B)8. (C)10.乏 (D)12 .BC尸是△ABC三条BC二5,现将它折叠,使B点与C点重合,则折痕长是_____. 2.若tga“3(0相似文献