斯坦纳定理推广猜想的证明及再讨论

1997年，赵临龙老师在文[1]中，给出著名的斯坦纳定理(两内角平分线相等的三角形是等腰三角形)的推广猜想：     

Steiner-Lehmas定理的简证及推广

“三角形两角的角平分线长相等,则三角形是等腰三角形”,这就是著名的斯坦纳-莱默斯（Steiner -Lehmas）定理.很多文献上给它作出了许多证明,下面笔者用面积及三角给出一个简单的证法并推广.     

斯坦纳——雷米欧斯定理的推广

1 定理的来源 等腰三角形两底角的平分线相等,这是每个初中学生都能证明的命题．而它的逆命题：两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形,却是一道脍炙人口的几何难题．这个命题是雷米欧斯（Lehmus）于1840年给瑞士著名数学家斯图姆（Sturm）的一封信中提出的,[第一段]     

斯坦纳定理的又一证法

定理 两内角平分线相等的三角形为等腰三角形. 由于此题证法的难度,引起人们的极大兴趣,本刊曾刊文[1～4].今再给出一种新证法. 设△ABC的对边长分别为,ABcBC== ,,bCAa=则角B平分线长BD为: 22BBDtacADDC==-?2222[1]()()abcbacacacac=-=- , 则角C平分线CE长为: 2222[1/()]CCEtabcab==- . 此时,取函数22()[1]()()bfxaxxcax=-?,则()fx为增函数. 于是,当bc时,有 222[1]()bBDacac=- 22[1]()babab? 222[1]()cabCEab-= . 由于,BDCE=,则 2222[1][1]()()bbacabacab-=- 22[1]()cabab=- ,即bc=. 斯坦纳定理的又一证法$陕西安康师专数…     

斯坦纳—莱默斯定理新证

本文以简捷的方法给斯坦纳—莱默斯定理新的证明.     

脍炙人口的“斯坦纳—雷米欧司”定理

“两内角的平分线相等的三角形是等腰三角形”，这就是由雷米欧司提出而由斯坦纳首先证明的闻名全球的“斯坦纳—雷米欧司”定理，1840年，德国数学家雷米欧司在给当时的瑞士大数学家斯坦纳的一封信中说到：“几何题在没有证明之前，很难说它是难还是容易。等腰三角形的两底角平分线相等，初中生都会证。但反过来，三角形的两内角平分线相等，这个三角形一定是等腰三角形吗？我至今还没想出来。”     

跳出“全等三角形”的圈子

<正>由于受思维定势的影响,许多同学一看到“证明线段相等”或“求线段长度”时,就想到用“全等三角形”.其实有些问题用“角平分线”、“等腰三角形”、“垂直平分线”的性质定理来证明(求解),可能会简单得多.因此,同学们应打破思维定势,跳出“全等三角形”的圈子.     

斯坦纳-莱莫定理的λ-推广

对斯坦纳-莱莫定理的历史作简要回顾,给出一般性的推广,并研究了它的若干等价形式.通过构造函数而给出一种新的证明(包括一般形式的).     

角平分线性质定理和逆定理的妙用研究

角平分线性质定理在许多问题的解答中起着十分重要的桥梁作用.如果用角平分线和到角两边的距离或作到角两边的距离来解答,会收到意想不到的解题效果.现举几方面的问题例题说明.     

角平分线定理推广及其应用

本文将三角形角平分线定理作一推广,并探讨其解平面几何题上的一些应用。     

平行四边形的一个判定定理

命题“一组对边相等及一组对角相等的四边形必为平行四边形”是否成立，若成立，则证明之；若不成立，则作出反例．     

对称地处理对称性问题——斯坦纳—雷米欧斯定理的最佳证法

我们知道,等腰三角形两腰上的高相等,中线相等,两底角的平分线相等.其逆命题也成立.这就是对称性.如线段中垂线定理,角平分线定理,平行线及圆的相关定理也都是可逆的.这也是反身性.但是,由于角平分线与高线和中线相比条件明显弱化(没有垂足,中点的具体直观性及其与边的直接联系),导致了Steiner-Lehmes定理证明的难度.但因此也引起数学爱好者的广泛关注,人们潜心于该定理不同证法的探究及形式多样的引申,几十年来趋之若鹜.其中,尤以比例性质、相似、圆幂定理、正弦定理、角平分线定理、面积法(共边定理,共角定理)和繁琐的代数证法     

值得重视的新定理——等对角定理

首先给出一个定义：至少有一组对角相等的四边形叫做等对角四边形．本文给出关于等对角四边形的一个性质,即建立一个新定理——等对角定理．     

“三线合一”性质的应用

等腰三角形有一个重要的性质:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.这就是著名的等腰三角形"三线合一"性质."三线合一"性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两     

一个简证的质疑——兼谈斯坦纳定理的一个纯几何证明

《中学数学杂志》（初中）2010年第2期刊登的“斯坦纳定理的简证及推广”一文（下称文[1]）,用“同一法”证明了平面几何中著名的斯坦纳定理——两内角平分线相等的三角形是等腰三角形,并给出了两个相关命题,阅后较有启发．但对其证明笔者不敢苟同,认为有误．今冒昧提出,不妥之处,请同行赐教．为便于说明,现部分摘录如下：     

共角定理

在三角形中,角与边总是相对的,那么,既然有共边定理,是否存在共角定理呢？答案是肯定的!我们先来看一个常见的题目。     

三角形和四边形

角的平分线 学习提示 i．角平分线的两种定义 （1）把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线；（2）角平分线可以看作是到角的两边距离相等的所有点的集合．2．角平分线的性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．     

等腰三角形“三线合一”定理的应用

等腰三角形性质定理：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,称为“三线合一”定理．它在“三角形”这章及以后的学习中有很多应用,在证明线段垂直平分问题中有着特殊作用．