算术——几何平均值不等式的几则数学归纳法证明

《高中数学第三册教学参考书》给出了算术——几何平均值不等式的两种归纳法证明。(其中一种是用反向归纳法)。但是,这两个证明都比较繁、从历史角度来看(参看[1]),用通常的数学归纳法来证明这一不等式也是较困难的事。因此,在这里我们介绍它的一些较简单的归纳法证明,供大家数学时选用,参考。算术——几何平均值不等式指: 定理当a_i,i=1,2,…,n,为正数时,有 (a_1 a_2 … a_n)/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/n) (1)式中等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时成立, 为了方便,今后我们使用下列记号: A_n=(a_1 a_2 … a_n)/n,G_n=(a_1a_2…a_n)~(1/n) 当a_1=a_2=…=a_n时,(1)式中等号成立是显然的。故下面我们只须证明,当a_1,a_2,…,a_n不全相等时,必有A_n>G_n,即达目的。     

算术平均值——几何平均值定理的一个新证明

在高中数学第三册中我们已知下面的重要定理: 定理 n个(n是大于1的整数)正数的算术平均值不小于它们的几何平均值,即如果a_1,a_2,…,a_n为n个正数,则(a_1+a_2+…+a_n/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/n)式中等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n成立. 由于这个定理的重要性,人们对它作出了各种各样不同的证明,这些证明体现了很多巧妙的想法.其中很多种证法都使用了数学归纳法,最常见的是法国著各数学家Cauchy提出的两种数学归纳法证法(即《高     

巧用函数解不等式

不等式是中学数学教学的重点和难点,各种杂志已介绍了不同的方法,本文将通过构造函数,巧妙地解决某些不等式问题. 例1 设a_k>0(k=1,2,3,…,n),且a_1a_2…a_n≥1。求证: (a_1 a_2 … a_n)/n n/(a_1 a_2 … a_n)≥≥(a_1a_2…a_n)~(1/n) 1/(a_1a_2…a_n)~(1/n)≥1,     

赏析如出一辙的两道高考数列题

2007年高考山东理科数学第19题(以下简称试题1):设数列{a_n}满足a_1+3a_2+3~2a_3+…+3~(n-1)a_n=n/3,n∈N~*(Ⅰ)求数列{a_n}的通项;(Ⅱ)设b_n=n/a_n,求数列{b_n}的前n项和S_n.时隔仅二年,2009年高考湖北卷文科数学     

剖析利用“均值定理”求极(最)值的几类错误

我们知道:如果a_i∈R~+ i=1,2,…,n,则((a_1+a_2+…a_n)/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/n)当且仅当a_1=a_2=a_3…=a_n时取“=”号),被称为“均值定理”。许多极(最)值问题,利用这个平均值不等式常常很简洁地得到解决,本文通过数例。对利用其求极(最)值时常见错误进行剖析。     

运用方程思想解决数列问题

方程思想是数学解题中常用的基本思想方法之一.注意到方程思想在数列问题中的应用.常可以简洁处理一些其他思想方法难以解决的数列问题.本文就此举例如下:例1 设数列{a_n}中,a_1 3a_2 5a_3 … (2n-1)a_n=(2n—3)2~(n 1),求 a_n及分析:本题的一般思路是通过已知条件,取特殊值 n=1,2,3,4…求出 a_1,a_2,a_3,a_4…进而再由归纳猜想最后用数学归纳法证明从而获解,     

一题多解 提高能力

题目在数列{a_n}中,a_1=1/6,a_n=1/2a_(n-1) 1/2·1/(3~n)(n∈N~*且n≥2),求数列{a_n}的通项公式.解法1:观察法.∵a_1=1/6=1/2-3/1,a_2=1/(2a_1) 1/2·(3~2)/1=5/(36)=5/(4×9)=1/4-1/9,a_3= 1/2a_2 1/2·1/(3~3)=(19)/(216)=(19)/(8×27)=1/8-1/(27),     

等比恒等式与等差恒等式

两恒等式a_n=a_1·(a_2/a_1)……(a_n/a_(n-1))及a_n=a_1+(a_2-a_1)+…+(a_n-a_(n-1))分别被称之为等比恒等式与等差恒等式。在处理很多数列问题时,若能恰到好处地利用这两个恒等式,则会给求解带来很多方便,下面略举几例。 例1 (2002年浙江等21省市高考题)设数列{a_n}满足a_(n+1)=a_n~2-na_n+1,n∈N~+。 (1)当a_1=2时,求a_2、a_3、a_4,并由此猜想出a_n的一个通项公式。 (2)当a_1≥3时,证明对所有的n≥1有: (i)a_n≥n+2; (ii)1/(1+a_1)+1/(1+a_2)+…+1/(1+a_n)≥1/2。 简解:(1)略。 (2)(i)用数学归纳法:①当n=1,a_1≥3=1+2结论成立。     

双等比数列的性质初探

定义 若数列{a_n}满足关系 a_(2n)/a_(2n-1)=u_1,a_(2n 1)/a_(2n)=u_2,(n=1,2,…)其中u_1,u_2为非零常数.则称数列{a_n}为双等比数列,称u_1为第一公比,u_2为第二公比.当u_1=u_2时,{a_n}称为等比数列. 例如数列: 1,2,2/3,4/3,4/9,8/9,8/27,16/27,…它满足a_(2n)/a_(2n-1)=2,a_(2n 1)/a_(2n)=1/3 所以它是一个双等比数列. 定理1 双等比数列{a_n}的通项公式为     

归纳法的发现作用与中学数学教学

1982年高考数学试卷(理科)第九题是: 已知数列a_1,a_2,…,a_n,…和数列b_1,b_2,…,b_n,…,其中a_1=p,b_1=q,a_n=pa_(n-1),b_n=qa_(n-1) rb_(n-1)(n≥2),(p,q,r是已知常数,且q≠0,p>r>0)。 (1)用p,q,r,n表示b_n,并用数学归纳法加以证明; (2)求limb_n/(a~2 b~2)~(1/2) 。该题(1)解题过程有以下几个步骤: 1.尝试:∵a_1=p,a_n=pa_(n-1),∴a_n=p~n,b_1=q,b_2=qa_1 rb_1=q(p r),b_3=qa_2 rb_2=q(p~2 pr r~2)…… 2.观察:b_1、b_2、b_3的表达式都是q和p、r齐次式的乘积。 3.猜想:b_n=q(p~(n-1) p~(n-1)1 …… r~(n-1))。 4.论证:(用数学归纳法)从略。这是一个完整的逻辑推理过程,前一半是用简     

由一道例题得到的三个不等式

高中代数下册(必修本)第七页例2: 已知:a、6∈R~+,并且a≠b。求证:a~5+b~5>a~3b~2+a~2b~3 由其指数特征及证明中的差式(a~5+b~5)-(a~3b~2+a~2b~3)=(a~2-b~2)(a~3-b~3)不难得到命题一:若a_1,a_2∈(?)。m,k∈N,m>k, 则 a_1~m+a_2~m≥a_1~ka_2~(m-k)+a_1~(m-k)a_2~k(当且仅当a_1=a_2时等号成立)。证法与上类似。运用命题一又可得到命题二:若a_1,a_2,……,a_n∈R~-,m,k∈N,m>k,则 (a_1~m+a_2~m+……+a_n~m)/n≥(a_1~k+a_2~k+……+a_n~k)/n。a_1~(m-k)+a_2~(m-k)+……+a_n~(m-k)/n(当且仅当a_1=a_2=……=a_n时等号成立)。证明;把对a_1,a_2,……,a_n两两运用命题一得到的n(n-1)/2个不等式:a_1~m+a_2~m≥a_1~ka_2~(m-k)+     

如何求数列的通项

数列{a_n}中,a_1=1,a_(n+1)=1/(16)(1+4a_n+(1+24a_n)~(1/2)),求a_n.解:构建新数列{b_n},使b_n=(1+24a_n)~(1/2)>0,则b_1=5,b_n~2=1+24a_n(?)a_n=(b_n~2-1)/(24).由a_(n+1=1/16(1+4a_n+(1+24a_n)~(1/2)),得(b_(n+1)~2-1)/(24)=     

一个不等式的商榷

本刊86年第一期刊载的“一个不等式的证明”所介绍的不等式,若a_1>0,a_2>1,…,a_n>1,且sum from i=1 to n(a_1)=K,证I_n~K=(a_1 1/a_1)(a_2 1/a_2)…(a_n 1/a_n),则I_n~K≥(K/n n/K)~n。这个不等式在一般情况下是不成立的,例如当a_1=4,a_2=5则K=6,I_2~9=(4 1/4)(5 1/5)=22.1,而(9/2 2/9)~2=22.37 ∴I_2~9<(9/2 2/9)~2。为了指出其错误之处,现将其引理的证明抄录于下。 I_2~K=(a_1 1/a_1)(a_2 1/a_2)=a_1a_2 (a_1~2 a_2~2)/a_1a_2     

算术—几何平均不等式的一个证明

设n是大于1的自然数,a>0。易知a(?)1时,a-1与n-(1+a+…+a~(n-1))总是异号。所以, (a-1)[n-(1+a+…+a~(n-1))]≤0。即(a-1)(n-(1-a~n)/(1-a))≤0。整理,有a(n-a~(n-1))≤n-1。①显然,①式等号成立的充分必要是a=1。如果a_1,a_2,…,a_n是n个正数,在①中令a=(a_1/((a_1+a_2+…+a_n)/n)~(1/(n-1)),则有a_1~(1/(n-1))·(a_2+…+a_n)/(n-1)≤≤((a_1+a_2+…+a_n)/n)~(n~(n-1)),即((a_1+a_2+…+a_n)/n)~n≥≥a_1((a_1+a_2+…+a_n)/(n-1))~(n-1)。②再在①中令a=(a_2/(a_2+…+a_n)/(n-))~(1/(n-2)),重复上述步骤,并结合②,有     

用均值不等式求函数最值的常见错误分析

在中学代数中,均值不等式指的是算术——几何平均值不等式:若a_i＞0(i=1,2,…,n),则(a_1 a_2 … a_n)/n≥(a_1a_2…a_n,)~(n/(a_1a_2…a_n,))当且仅当a_1=a_2=…=a_n时,上式取等号(中学只讲二元、三元均值不等式)。     

三角最值定理及其应用

[定理1] 设a_1,a_2,…,a_n∈(0,π),a_1+a_2+…+a_n=φ_0(定值),则sina_1+sina_2+…+sina_n≤nsinφ_0/n.当且仅当a-1=a_2…=a_2=φ_0/n时取“=”号(n≥2). 证:(1) 当n=2时,sina_1+sina_2=2sin(a_1+a_2)/2cos(a_1-a_2)/2.     

对一道数学高考题的剖析与思考

2007年浙江省高考数学卷理科第21题:已知数列{a_n}中的相邻两项 a_(2k-1),a_(2k)是关于 x的方程 x~2-(3k 2~k) 3k·2~k=0的2个根,且a_(2k-1)≤a_(2k)(k=1,2,3,…).(1)求 a_1,a_3,a_5,a_7;(2)求数列{a_n}的前2n 项和 S_(2n);(3)记 f(n)=1/2((|sinn|/(sinn) 3),T_n=((-1)~(f(2)))/(a_1a_2) ((-1)~(f(3)))/(a_3a_4) ((-1)~(f(4)))/(a_5a_6) ... ((-1)~(f(n 1)))/(a_(2n-1)a_(2n)).求证:1/6≤T_n≤5/(24)(n∈N~*).本题叙述简洁明了,不拖泥带水.题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的,显得平和而贴切.试题一共设置了3个小题,设问角度新颖,梯度明显,体现了浅入深出、简约而不简单的命题风格.本题所包含的主要数学知识有:一元二次方程、数列的通项与前 n 项和、函数的周期性、不等式等;所涉及的数学思想有:分类讨论、归纳与猜想等,考查的主要数学技能有:数学运算、逻辑     

一道不等式问题的多种证法

第48届 IMO 中国国家集训队测试题(四)第1题:设正实数 a_1,a_2,…,a_n 满足 a_1 a_2 … a_n=1.求证:(a_1a_2 a_2a_3 … a_na_1)×((a_1/a_2~2 a_2) (a_2/a_3~2 a_3) … (a_n/a_1~2 a_1))≥n/(n 1)此题题型新颖,结构优美.本文给出了此题的6种证法,下面的证法1是由笔者给出的.证法1 首先由 Cauchy 不等式易得下述引理.引理1 设 a_1,a_2,…,a_n 是实数,x_1,x_2,…,x_n 是     

等差数列奇次方幂和的表示法

设数列{a_n}是公差为d(d≠0)的等差数列。若令a_0=a_1-d,a_(n 1)=a_n d,则① a_1 a_2 … a_n=(1/2d)(a_na_(n 1)-a_0a_1); ② a_1~3 a_2~3 … a_n~3=(1/4d)[(a_na_(n 1))~2-(a_0a_1)~2]。证①∵ a_ka_(k 1)-a_(k-1)a_k=a_k(a_(k 1)-a_(k-1)=2da_k,k=1,2,…。令k=1,2,…,n, 得n个等式,将它们的两边分别相加得 a_na_(a 1)-a_0a_1=2d(a_1 a_2 … a_n)。∴ a_1 a_2 … a_n=(1/(2d))(a_na_(n 1)-a_0a_1)。②∵ (a_ka_(k 1))~2-(a_(k-1)a_k)~2=a_k~2[a_(k 1)~2     

从一个数列的通项公式谈起

高中《代数》教材中有一则数列题:数列{a_n}的项满足a_1=b,a_(n 1)=ca_n d,其中c≠1,说明这数列的通项公式是a_n=(bc~n (d-b)c~(n-1)-d)/c-1,学生常问该结论是如何得出的,下面介绍两种方法。一、归纳法 (上述题解本期已另有文章讨论,本文略——编者) 例1.数列{a_n}:a_1=1,a_(n 1)=4-a_n/3-a_n,求通项