一个有趣三角形系命题的别证

“如果给定实数m与n，且n≠0，4m-n~2＞0，那末对于任意实数x，存在三边长为4x~2 4m n~2的三角形，它的面积与x无关”．对于这个命题，本刊92年第二期王敦明老师运用解几知识，给出了一个构造性证明．本文利用海伦公式的一个变式，给出易为初中学生接受的简单证法．证首先导出海伦公式的一个变式．设a、b、c是三角形的三边长，由海伦公式可得如果三角形的三边为再把（2）、（3）代入（1）式得：所以这样的三角形的面积与x无关．“如果给定实数m与n，且n≠0，4m-n~2＞0，那末对于任意实数x，存在三边长为4x~2 4m n~2的三角形，它的面积与x无…     

一个命题的推广及简证

贵刊1999年第9期载《关于并集的一个命题》,读后颇受启发．这里就中命题加以推广,并给一简洁证法．     

一个命题的简证及应用

如图1,设P是AABC内任意一点,么CPA的角平分线与对边交于D,并记∠BPC,∠CPA,∠APB的内角平分线长分别为wa,wb, wc,     

一个命题的简证

文[1]中有如下: 引理 设设0<γ,μ<1,对任意的a,b∈R_ ,均有F(λ,μ) =(λμ)/((λa) (μb)) ((1-λ)(1-μ))/((1-λ)a (1-μ)b))≤1/(a b)。 当且仅当λ=μ时等号成立。 原证明较繁,本文给出此题的一个简单证明。 证明 ∵(λa μb)(a/λ b/μ)=a~2 b~2 (λ/μ μ/λ)ab     

一个不等式的别证及推广

在课本、习题集及许多资料中,经常可以看到这样一道习题: 已知:a、b、c(R,且a+b+c=M(M=1是它的特殊情形),求证:a~2+b~2+c~2≥(M~2)/3。它的证法很多,常见的有:构造二次函数法,利用柯西不等式、平均值代换法、利用等式:3(a~2+b~2+c~2)=(a+b+c)~2+(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2等     

一个不等式的别证

文[1]中提出并证明了一个不等式:已知正数a,b满足a+b=1,m,n是正数满足m+n≥4,求证:(1/a^m-a^n)(1/b^m-b^n)≥(2^m+n-1/2^n)^2(1).进而提出一个加强式:已知正数a,b满足a+b=1,k是整数且k≥3,求证:(1/a-a^k)(1/b-b^k)≥(2^k+1-1/2^k)^2(2).     

一个向量命题的简证及应用

笔者从正弦定理的向量证法中受到启发,引入直线的法向量并做数量积运算来证明下面的命题.此证法简捷.S_△表示三角形的面积.     

再证一个推广命题

再证一个推广命题苟保国（甘肃省白银市西北铜加工厂中学７３０９００）《中学数学月刊》１９９７年第１期第４０页刊登了李金宽老师对一道推广命题的证明,本文对此命题再做一个推广,并给出一个更为简洁的证明．命题若实数ｘ,ｙ满足Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＝Ｄ（其中Ｂ...     

一个比赛命题的巧证

题 已知O为△ABC的外心,AO或AO的延长线交BC于M,求证:BM:MC=sin2C:sin2B。 此即《首届全国数学奥林匹克命题比赛精选》中的一题,本刊1995年第6期给出了简证,其实还有更绝的证法如下: 证 作BE⊥AM于E,作CF⊥AM于F,显然∠AOC=2B,∠AOB=2C,OA=OB=OC=R,∵△BEM∽△CFM,∴BE/CF=BM/MC,sin2C/sin2B=((1/2)R~2sin∠AOB)/((1/2)R~2sin∠AOC)=S_△AOB/S_△AOC=BE/CF,     

一个常见不等式的别证

题设a>0,b>0,a b=1,求证: (a 1/a)~2 (b 1/b)~2≥25/2 该题在不少数学参考书上都有出现,但其证法繁杂,现给出以下两种证法,供读者参考。     

一个几何不等式的别证

设 P 为△ABC 内一点,a≤b≤c 为△ABC 的三边,则PA+PB+PC≤b+c.(1)这是单增老师书[1]§3的例题6,后又作为书[2]第36讲的例9;在证明时,前者用到了椭圆的性质,后者用到了向量的知识,都属于高中数学的范畴.     

一个三角不等式的别证

在△ABC中,求证cosAcosBcosC≤(1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)（1）(《数学通报》1997年2月号问题1057） 这里,笔者给出这个三角不等式的一个新证明。 证 不妨设△ABC为锐角三角形（不然,(1)式显然成立）,则cosA,cosB,cosC均为正数。 ∵cos（B-C）≤1,     

一个分式不等式的别证

<数学通报>2004年第2期"数学问题解答"栏第1472题是: 已知a,b∈(0, ∞),a b=1,求证:     

正多边形的一个性质的别证及推广

命题1 若P为正△ABC的外接圆劣弧(?)上任一点,则有PA+PC=PB. 这一有趣结论现已推广到正(2n+1)边形之中,即有 命题2 若P为正(2n+1)边形A_2A_2…A_(2n+1)的外接圆劣弧     

关于平行四边形的一个命题简证

《数学教师》1995·3期发表了《一个四边形满足什么条件是平行四边形》的译文。读后颇有感触,它将平行四边形判定定理的条件,进行适当组合,构造出一些新的命题,给我们提供了一种构造变式题的方法。文中对命题“一组对角相等,且连结这两个角顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形”的正确性的证明,思路比较难想,现给出一种简证,供参     

对一个不等式的别证及进一步研究

利用数学归纳法、放缩法和基本不等式法给出《数学教学》2009年第12期问题783的几种新证法,联系一道类似的上海高考试题,提出问题的延伸思考.     

一个并集命题的简证

命题若A∪B＝（a1，a2，…，an｝，则A，B可能的组数是3n组．本刊1999年第9期张同语老师给出了该命题的一种证法．此外，笔者给出上述命题的另一种简单别证：证明如图，将集合AnB，万nB，An三看成三个盒子，只须同时将由，a。，…，a。放入这三个富于中的一种放法对应着一组A和从而出有3种效法，a。有3种放法，…a。有3种放法，故由乘法原理，不同的放法有3”种，即A和B的组数共有3“组．一个并集命题的简证@张文俊$陕西省户县一中!710300     

一个不等式的别证与拓广

'98高考数学理科压轴题的解答中需要证明这样一个不等式     

一个不等式的别证及其推广

题目已知实数a＞1,b＞1, c＞1.求证: a3/b2-1+b3/c2-1+c3/a2-1≥j9√3/2. (1)当且仅当a=b=c=√3时,(1)式等号成立.     

从一个定理的别证谈起

文[1]给出了求函数f(x)=√ax √b d-cx的值域的定理. 定理设f1(x)=ax b,f2(x)=d-cx(a、c＞0,(d/c)＞-(b/a)),则函数f(x)=√ax b √d-cx的值域是[√[f1(x) f2(x)]min, √f1((d/c)) f2(-(b/a))].