几个函数不等式及其应用

上面的结论表明f(x)具有如下一条重要规律:当两个变量处的函数值之算术平均值不小于两个变量算术平均值处的函数值时,那么n个变量处的函数值的算术平均值就不小于n个变量的算术平均值处的函数值。如果我们抓住这段话中的几个重要字眼一 算术平均值仔细琢磨一下,由此进行类比联想,可能会发现许多意外的收获。例如Jensen不等式所述的算术平均值改为几何平均值时,结论会怎样?     

沟通2种“和” 由它来搭桥

柯西不等式的一种特殊形式： a1＋a2＋…＋an/n≤√a1^2＋a2^2＋…an^2/n, 即n个非负数的平方平均值不小于它们的算术平均值．     

算术—几何平均值不等式两种新证法

算术——几何平均值不等式的内容是“若干正数的算术平均值不小于它们的几何平均值”。即 1/n(a_1+…a_2+…+a_n)≥(a_1a_2…a_n)~1/n。     

平均值不等式的证法分析——数学兴趣小组活动材料之一

在现行高中课本第二册的教学参考书中,介绍了平均值不等式的下列比较一般的形式: 平均值不等式:设a_1,a_2,…,a_n皆为非负实数,则其算术平均数A,必不小于其几何平均数G_n,即     

如何求解中学物理习题中的极值问题

中学物理习题中，常遇到求极值的问题。由于数学知识的制约，无法用高等数学求极值的方法求极值，而只能用初等数学的方法求极值。根据具体的不同问题，通常涉及到的数学知识有：点到直线的距离最短，两数的几何平均值小于等于它们的算术平均值，二次函数求极值的方法，因式分解法，三角函数法，几何作图法，有关圆的知识等等，举例如下：     

正定矩阵的算术几何平均值不等式和调和几何平均不等式

本文给出了正定矩阵的算术几何平均值不等式和调和几何平均不等式.     

算术-几何平均值不等式的证明

分别利用初等数学及高等数学知识进行算术-几何平均值不等式的证明。     

用算术几何平均值法求单摆周期近似解

采用算术几何平均值法研究了单摆周期的近似解,得出了简洁而严密的单摆周期近似解计算公式,并与其它的近似解进行了比较。结果表明:采用算术几何平均值法计算的单摆近似解比其它近似解有较高的精确度。该方法也适合其它涉及椭圆积分的物理问题的求解。     

算术——几何平均值定理的一种新证法

文章介绍算术——几何平均值定理的一种新颖的证法,证法简单,又有启发性     

也谈算术——几何平均值定理的证明

本文通过引入极限,完善了张启桂《算术——几何平均值定理的两种证法》中的证法一的证明。     

一道集训题的巧证

(原证请参见本刊1994年第4期P18) 证 当x_i>1时,由算术几何平均值不等式得     

小议高中物理中的平均值

<正>高中物理教材中涉及不少物理量的平均值问题,但大多数同学对平均值的理解往往只停留在n个数的算术平均值上,而高中物理所接触到的平均值问题很多是对变量的平均问题,因此同学们在解决这些问题时经常会出错,笔者就从下面两个例题来谈谈对平均值的一些认识。     

算术——几何平均值定理的推广图式

n个非负实数a_1,…,a_n的算术平均数与几何平均数之间有这样的关系: (a_1+…+a_n)/n≥(a_1·…·a_n.)~(1/2) (1)其中“=”当且仅当a_1,=…=a_n时成立。这就是著名的算术——几何平均值定理。这个定理的证法很多,在此就不再赘述了。本文主要介绍算术——几何平均值定理的一个推广图式,以及它在证明不等式中的应用。为便于叙述,我们记     

对数凸函数的积分型Jensen不等式及其应用

建立了对数凸函数的积分型Jensen不等式及其加权推广形式,举例证明了函数的算术、几何、调和平均值不等式.     

两个重要不等式的一般化

对于任意两个正数a和b,它们的算术平均值A、几何平均值G、调和平均值H三者之间有如下关系A≥G≥H,即式中等号当且仅当a=b成立.这两个重要不等式是中学生熟悉的.将这个结论推广到任     

平均值的统一处理——基于一有启发性的几何模型

在“数学教师”杂志的一篇文章中(Ercolano1973),作者要人们注意两个正数的调和平均值及其对这两个数的算术平均值和几何平均值的关系.他说明了如何用几何方法构造出这些平均值,但是人们仍希望对这样一个平均值能有一个解释或例子.事实上,除了 a 和b 的算术平均值外,那些完全不明白为什么要引入其他的平均值的学生,对这些平均值的理解看来是模糊的.     

一堂算术课

上学期在我校高级部算术教学中存在着这样的一个问题:新授一种方法时,儿童是算得来的,等到另外教了一种新方法或者隔了一个时期儿童就忘掉,必须从头学起。所以教师常感到算术科难於提高学生的成绩,学生也感到算术最难学懂。九周初,校中举行算术观摩教学。教材是六年级算术第二十五面分数约法化法中关於把分数形式的高级     

学生不仅需要“帮助”还需要“呵护”

冀教版《算术平方根》教学片段： 师：同学们还有哪些不明白的地方？ 生A：老师,算术平方根一定小于被开方数吗？ 师：哪位同学帮助他解决这个问题？[第一段]     

平均值法在解题中的应用

<正> a1+a2+…+an/n称为n个数a1,a2,…,an的算术平均值.对于某些数学问题,若能巧妙借助其平均值法来解,可以收到化难为易、化繁为简的效果.试看以下四例:     

等差数列一个性质及应用

性质:设{a_n}为等差数列,则(1) 1/(2k-1)sum from i=1 to (2k-1)(a_i=a_k).(2)1/2k sum from i=1 to 2k(a_i=(a_k a_(k 1))/2).此性质可叙述为:等差数列奇数项的算术平均值等于中间一项;等差数列偶数项的算术平均值等于中间两项的算术平均值.证明:设d为等差数列{a_n}的公差,则a_i=a_k (i-k)d=(a_k-kd) id(i=1,2,…)应用这个性质,可给出一些高考数列题的简解.例1.在等基数列{a_n}中,若a_3 a_4 a_5 a_6 a_7=450,则a_2 a_8的值等于( ).(A)45,(B)75,(C)180,(D)300.(1991年上海高考题)