正四面体的一个性质

定理　正四面体四个顶点分别在一组 ( 4个 )平行平面上 ,相邻平面距离为ｈ ,则表面积为 1 2 3ｈ2 .证明 :设棱长为ａ的正四面体ＡＢＣＤ的顶点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ在Ａ的这个平行平面上的射影分别为Ａ′、Ｂ′、Ｃ′、Ｄ′(如图 ) ,则Ａ′Ｃ′=Ｂ′Ｄ′=ａ2 -4ｈ2 ,Ａ′Ｄ′=Ｂ′Ｃ′=ａ2 -9ｈ2 ,Ａ′Ｂ′=Ｃ′Ｄ′=ａ2 -ｈ2 .由于Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是矩形 ,可知(ａ2 -4ｈ2 ) 2 (ａ2 -9ｈ2 ) 2 =(ａ2 -ｈ2 ) 2 ,ａ2 =1 2ｈ2 .四面体表面积为4· 34 ａ2 =3·1 2ｈ2 =1 2 3ｈ2 .正四面体的一个性质$湖北省黄石二中@杨志明…     

数量积与正四面体的一个有趣性质

向量是高中数学新教材中的重要内容之一,由于向量能有效的将繁复的几何证明问题转化为较简单的代数计算问题,因此,灵活应用向量知识解决有关的几何问题,常能收到化繁为简,化难为易之功效.本文应用空间向量的数量积得到了用传统方法难以得出的正四面体的一个有趣性质,现简述如下,供大家参考.     

正四面体性质探微

正四面体是一种最简单的几何体，它蕴涵着极为丰富的线面的位置、数量关系．在近年来各类考试中，正四面体备受命题者青睐，命题者常以正四面体中的线面问题为载体，借以考查学生的数学思维能力和思维品质．因此，应对这个几何体引起足够的重视．笔者在长期的教学中对正四面体进行了深入研究、潜心挖掘，得出了一些优美、简洁的结论．下面给出正四面体的相关结论，以期能对同学们学习立体几何有所启示．     

数量积与正四面体的一个有趣性质

向量是高中数学新教材中的重要内容之一，由于向量能有效地将繁复的几何证明问题转化为较简单的代数计算问题，因此，灵活应用向量知识解决有关的几何问题，常能收到化繁为简，化难为易之功效．本文应用空间向量的数量积得到了用传统方法难以得出的正四面体的一个有趣性质，现简述如下，以供参考．     

正四面体的几何性质

正四面体即六条棱长都相等的正三棱锥,除了具有正三棱锥的所有性质外．还具有以下很重要的性质,正确理解、熟练掌握以下性质,对我们解决有关正四面体的问题将会带来极大方便．设正四面体A-BCD的棱长为a,则:     

正四面体的性质及其应用

<正> 四面体是空间中最基本的几何图形,也是最重要的几何体之一,它在立体几何中的地位相当于平面几何中的三角形.而正四面体又是特殊的四面体,它有着许多优美性质.在多年的高考与竞赛试题中,以正四面体为背景的题目更是频频出现.因此,适当掌握正四面体的有关性质,显得尤为重要.现就正四面体的性质及其应用作一归纳,供参考.     

正四面体的几个性质

文[1]给出了正三角形的一个如下性质:正三角形各顶点到其外接园上任一点的切线的距离之和为定值,本文对这一性质在空间的推广进行探索.定理　设正四面体的棱长为a,则(1)正四面体的各个顶点到其外接球的任一切面的距离之和为定值6a.(2)正四面体的各棱中点到其外接球的任一切面的距离之和为定值362a.(3)正四面体的各面中心到其外接球的任一切面的距离之和也为定值6a.证　(采用解析法)在棱长为a的正四面体ABCD中,建立如图所示的空间直角坐标系.设棱AB,BC,CA,AD,DB,DC的中点依次为E,F,G,H,M,N;底面ABC的中心为O1,连结DO1,则|DO1|=63…     

正四面体中的一个等式

设P为正△ABC所在平面上一点 ,PA =a ,PB =b ,PC =c ,以∑表示循环和 ,则△ABC的边长t满足t2 =12 (∑a2 + 6∑b2 c2 - 3∑a4) .类似地 ,我们有定理　设正四面体ABCD棱长为t ,P为空间一点 ,且PA =a ,PB =b ,PC =c ,PD =d ,则t2 =13(∑a2 + 8∑a2 b2 - 8∑a4) .( )证明 :建立坐标系 ,设顶点坐标A(0 ,0 ,0 )、B(t,0 ,0 )、C(t2 ,3t2 ,0 )、D(t2 ,3t6 ,6t3)、P(u ,v ,w) ,如图 ,由距离公式 ,得u2 +v2 +w2 =a2 ,(u -t) 2 +v2 +w2 =b2 ,(u - t2 ) 2 + (v - 3t2 ) 2 +w2 =c2 ,(u - t2 ) 2 + (v - 36 t) 2 + (w - 63t) 2 =d2 ,解得u =a…     

正四面体中的几个性质

<正>在立体几何中,正四面体是一种特殊的正三棱锥,它有一些很重要的几何性质.回顾近几年的高考试题,我们可以发现有关正四面体的问题是考查的一个热点.命题者往往以正四面体为载体出题,考查立体几何中有关角和距离的知识点,因此我们很有必要系统地整理出它的几何性质,这样有关正四面体的几何问题就能迎刃而解.     

数学题集锦——1.正四面体的一个有趣性质的证明

正四面体具有这样一个有趣的性质:四条高相交于一点。以往的证明都是用几何法,过程比较复杂,下面笔者用解析法给出其简易证明。     

正四面体有趣性质的简单证明

本刊文(1)中给出了正四面体的一个性质：定理正四面体的各个顶点到其外接球面上任何一点的切面的距离之和为定值．     

正四面体的两个性质及应用

我们熟知:正四面体是和谐,对称的几何体,它有很多的优良性质.本文就人们熟知的性质外,再给出正四面体的两个性质,虽然它的适用面小,但对启迪人们的思维是有益的,且在解题过程中能充分体现出这两个性质的优越性.     

正四面体的一个不等式的解析证法

《中学数学》一九九一年第一期发表了浙江丽水师专周彩英同志“关于正四面体的一个不等式”一文,该文作者已应用立体几何及代数的知识给出了如下命题的证明。命题设P是正四面体ABCD内一点,分别作P关于平面BCD,CDA,DAB,ABC的对称点A_1,B_1,C_1,D_1.并设四面体ABCD,A_1B_1C_1D_1的体积分别为V,V′,则有V′≤8/(27)V.等号当且     

正四面体的置换群

文章计算了正四面体的自同构群,设G是自同构群,则G≌S4,其中S4是4阶置换群。     

浅谈正四面体的中心

在平面几何里,我们知道“三角形的三条中线相交于一点,并且这点将每一条中线都分成2:1的两段(从顶点算起)”.在立体几何里,四面体也有类似的性质.     

认识正四面体结构

正四面体是具有高度对称性的最简单的正多面体,不少化学物质的结构中都可以见到这一美妙几何构型的踪迹,常见的有空心正四面体结构和体心正四面体结构。1 空心正四面体结构白磷分子(p4)结构是这类结构的典型代表。各磷原子以三个共价单键与另外三个磷原子相结合, 四个磷原子构成一个空心的正四面体型分子,P-     

正四面体的简易折迭

迄今,各类化学教学书刊所介绍的纸折空间构型的模型,一般均需利用作图工具,事先绘制出各平面图形,经剪接、粘贴而成．这种传统的纸折法比较费时．本文介绍一种正四面体（如CH。、NHZ、SO才等）的简易折送法,它只需信封和剪刀,便可在一分钟内迅速完成．故适于学生在课堂上即兴制作,有利于增强对空间、对称性、平面与立体关系方面的理解．具体制作方法如下：1．如图1,将信封平放,以AB为底边,左右对折,折出中心线．固定A点,将右下部分向上折,使B点落在中心线上,其对应点为C．2．将右下部分复原,过C点折中心线的垂线,与信…     

正四面体的伴随正方体

1．由来 人教版高二（下）第52页有这样一道习题： 从一个正方体中,如图1那样截去四个三棱锥后,得到一个正三棱锥A—BCD,求它的体积是正方体体积的几分之几．     

高考数学试题中的正四面体

正四面体是最为简约而又优美的多面体,它有4个顶点、4个面、6条相等的棱,它是一种特殊的正三棱锥——底面边长等于侧棱长。在历年的高考数学试题中,多次出现正四面体的有关计算问题,主要有三种类型：(1)正四面体的计算；(2)正四面体与正方体的计算；(3)正四面体与球的计算。由于可以把正四面体补成正方体,而正方体与球的关系又甚为密切,因此在正方体中研究正四面体的有关性质,确实掌握正四面体与其外接正方体,正四面体与其外接球、内切球之间的关系是快速而正确解答正四面体有关问题的基础。     

"品味"正四面体

初次接触正四面体是在教科书中,彩绘的埃及金字塔,充满神秘.从小学、中学,笔者对它的认识越来越深刻.它看似简单,实际却魔力无穷.它特有的稳定结构更是力量的象征.高中立体几何的教学,让笔者进一步体验到了正四面体的魅力,正四面体值得品味.