动中求静

在高考试题中,常会遇到有关动点轨迹的解析几何问题.如下题: 例一动圆与两圆扩+少~1和尹+少一sx+12=。都外切,则动圆圆心轨迹为 (A)圆。(B)椭圆。 (C)双曲线的一支。(D)抛物线。 (1993年全国高考题) 对此题,不少同学均是采用如下方法求解的.即: 解法1:由方程尹+犷二l可知,其圆心为O(0,的,半径为1. 由方程x,+夕,一sx+12=0,即(x一4)’+少2=4可知,其圆心为A(4,0),半径为2。 设动圆的圆心为M(x,刃,其半径为r,且OM与00、OA分别外切于点B、C(如图)。则IMA}一}材O}=(I MC}+】CA!)一(l MB}+}刀O}) 一(r十2)一(r+1)一1即!材月!一】材01一1(…     

平面解几中轨迹问题的求解

已知动点的轨迹条件,求其曲线的方程,是中学平面解析几何中的一项重要内容.本文给出一个求轨迹的题目的几种解法,供参考. 题目:一动圆与定圆x~2+y~2=100内切,并且通过点A(0,6),求这个动圆圆心的轨迹. 解法一:如图1,设动圆圆心M的坐标为(x,y),其轨迹就是属于集合 P={M:|MA|=10—|OM|}的点.由两点间距离公式,得     

圆与圆锥曲线的不解之缘——与两定圆相切的动圆圆心轨迹的探索

与具有不同位置关系的两定圆相离、相切、相交的动圆圆心轨迹随两定圆位置的变化而变化.当两定圆C₁,C₂相离时,若动圆C与圆C₁,C₂都外切或内切,则圆心C的轨迹为双曲线;若圆C与圆C₁（C₂）外切、与C₂（C₁）内切,则圆心C的轨迹为双曲线的右（左）支;当两定圆C₁与C₂外切时,动圆圆心C的轨迹是以定点C₁,C₂为焦点的双曲线;当两定圆相交时,动圆C与两相交定圆同时相切,动圆圆心C的轨迹仍是以定点C₁,C₂为焦点的双曲线（或其中一部分）;当两定圆内切或两定圆内含时,动圆C的圆心的轨迹是以定圆圆心C₁,C₂为焦点的椭圆或一条射线.     

解析几何中简化运算的策略

一、活用定义,优化过程例1已知动圆圆心P经过定点O(0,0),且动圆与⊙A:(x-2)2+y2=1外切,求动圆圆心P的轨迹方程.解依题意有｜PA｜-｜PO｜=1<｜OA｜=2.由双曲线的定义知,动点P的轨迹是以点O、A为焦点的双曲线的左支.由2a=1,2c=2得a=12,c=1,∴b2=c2-a2=34,双曲线中心为(1,0).∴点P轨迹方程为(x-1)214-y234=1(x≤12).例2已知椭圆方程(x-6)216+(y-2)212=1,点P(5,-1)是椭圆内一点,试在椭圆上求一点M,使｜MF｜+0.5｜PM｜的值最小(其中F为椭圆的左焦点).解已知椭圆的离心率e=0.5,左准线方程x=-2,∴｜MF｜∶｜MN｜=0.5,即｜MF｜=0.5｜MN…     

动圆圆心的轨迹归类例析

求轨迹或轨迹方程是解析几何中的一个重要问题,而求动圆圆心的轨迹(或方程)贯穿于整个解析几何之中,其轨迹既可以是直线和圆,也可以是圆锥曲线.通过对这类问题的学习,可以帮助学生更好地理解圆锥曲线的定义和性质,帮助学生理清各种多变的动圆圆心的轨迹情形,做到心中有数,胸有成竹.1轨迹是直线若动圆与一定直线相切,且半径为定值时,圆心的轨迹是二条直线.例1一个动圆与直线x+y=0相切,且半径为2,则动圆圆心的轨迹方程是.分析根据直线和圆相切及点到直线的距离公式,不难得到动圆圆心的轨迹方程是y=x±2.2轨迹是圆若动圆与二个给定的同心圆中的…     

如何求曲线的方程

求曲线方程是解析几何中的一个重要课题。如何求曲线的方程,方法较多,因题而异,有必要归纳一下在什么情况时用哪种方法。下面试举例说明之。一.如果动点运动的条件受已知的定点或定曲线限制,这时可考虑直接用动点坐标去表出限制动点运动的条件等式,即得动点的轨迹方程。例1.动圆M与定圆x~2+y~2-4x=0外切,又与y轴相切,求圆心M的轨迹方程。分析:如图1,动圆M(x,y)与定圆     

例谈用圆锥曲线的定义解题

圆锥曲线的定义是圆锥曲线一切几何性质的“根”与“源” ,是建立曲线方程的基础 ,许多涉及圆锥曲线的问题若能巧用定义求解 ,往往能化繁为简 ,达到简洁明快的效果 .1　求轨迹方程例 1　已知定点Ｐ(- 4 ,0 )和定圆Ｑ :ｘ2 + ｙ2 =8ｘ ,动圆Ｍ和圆Ｑ相切 ,又经过定点Ｐ ,求圆心Ｍ的轨迹方程 .　　　　　图 1　　分析　由于相切包含内切和外切 ,而两者的数量关系又不同 ,故须分类解之 .如图 1,Ｑ(4,0 ) ,圆Ｑ的半径为 4 ,设动圆圆心Ｍ(ｘ ,ｙ) ,其半径为ｒ=｜ＭＰ｜ .外切时 ,｜ＭＱ｜ =4 + ｜ＭＰ｜ ,即｜ＭＱ｜-｜ＭＰ｜ =4 .由双曲线定义知…     

2007年第10期《错在哪里》参考答案

人一立、’二与掣一一专一“创’4〔提示:错解将旧:M}一}qM卜3看成日O:M}一}qM】}~3，误以为动圆圆心的轨迹为双曲线.事实上，旧IM}一}qM}一3表示动点M到定点O，及q的距离差为常数3，且}qq}~5>3，则点M的轨迹为双曲线15、右支，方程为立共里二一岑一1(二)4)〕~~产‘一‘子94一、一一“‘曰4 2.$题“甲、乙两船间距离的可能值为(· 韵沪80m或(n 韵;一80m(二-。，‘，2，3，…，·当，一。时·*一32Om，当二一3时，;一警tn.所以选项A、“正确·经2。:甲船由波。到波谷，所以(n 音)T一208(，一。，1，2，3，…).当二一。时，T- 40、所以…     

探求轨迹方程的若干方法

解析几何是高中数学的重要内容之一,而求曲线的方程又是高考中较常见的问题.本文就求曲线方程的方法作一归纳总结,供参考.一、直接法:这是求动点轨迹最基本的方法,在建立坐标系后,直接根据等量关系式建立方程.【例1】如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得PM=2PN.试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.分析:本题可采用直接法———在建立坐标系后,直接根据等量关系式建立方程.这是求动点轨迹最基本的方法.例1图解:以O1O2的中点O为原点,O1O2所在的直线为x轴,建立如右图…     

利用转化思想巧解圆锥曲线问题的几点思考

<正>一、利用定义陌生问题熟悉化圆锥曲线问题涉及的概念、定义比较多,只有深刻理解、运用这些基本概念,才能真正把握解题途径,实现陌生问题熟悉化。例1如图1,已知定圆C_1:x²+y2+y²+4x=0,圆C_2:x2+4x=0,圆C_2:x²+y2+y²-4x-60=0,动圆M与定圆C_1外切,与定圆C_2内切,求动圆的圆心M的轨迹方程。     

几何画板让数学研究走进缘分的天空——也谈技术环境下与两定圆相切的动圆圆心轨迹的探求

与两定圆相切的动圆圆心轨迹涉及问题复杂,需要构建技术环境以帮助学生认识问题的本质;在详解问题情境的画板构造后,分情况进行详细探究,并得出结论:当动圆与两定圆同时内切或外切时,圆心轨迹为长轴长(或实轴长)为半径之差的椭圆(或双曲线);当动圆与一定圆外切一定圆内切时,圆心轨迹为长轴长(或实轴长)为半径之和的椭圆(或双曲线).而应用技术在帮助学生认知的同时,也为数学课堂转型提供了一重要方向.     

从2013年一道高考题产生联想

2013年陕西省高考数学理科卷第20题是:已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q.若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点. 解析 (Ⅰ)设动圆圆心C的坐标为(x,y),则(4-x)2+(0-y)2=42 +x2.整理得,y2=8x.故所求动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.     

一组轨迹题的推广和引伸

在数学复习中,常碰到如下一组轨迹题:“根据椭圆、双曲线、抛物线的定义,说出下列动圆圆心的轨迹:(1)A是定圆内的一个定点,动圆过A且同定圆相切;(2)动圆与互相外离的两个定圆都相外切;(3)动圆与一定圆相切,又同x轴相切;(4)动圆在定半圆的内部且同这个半圆内切,又同直径相切。”这组轨迹题对于复习圆锥曲线的定义是很好的。如果把它适当地推广和引伸,就能使这组题发挥更大的作用,使学生开阔视野,提高研讨问题的能力,同时,还能活跃学生的思路,增强探求知识的兴趣。本文试对以上问题作如下探讨。我们把上述问题分别作为例一、例二、例三,为节     

一道习题结论的拓广

现有高三习题一道:如图,一动圆与两定圆M_1∶(x 4)~2 y~2=5~2和 M_2:(x-4)~2 y~2=1都外切.(1)求动圆圆心 M 的轨迹方程;(2)过M_2的直线与上述所得轨迹交于 A、B 两点,求|AM_1|·|BM_1|的取值范围.解:(1)过程略,结果为:所求动圆圆心 M 的轨迹方     

举一反三 触类旁通———由2005年全国高考(江苏卷)第19题引发的思考

考题:如图1,圆O1和圆O1的半径都等于1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点),使得PM=2PN,试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.评析:本题是求由一动点出发的两条线段长之比为一定值的点的轨迹.通过这两条线段的形成和比值的变化可引发下列思考:思考一:若将题中的PM:PN=2改变为PM:PN=λ(λ>0),其他条件不变,则P点的轨迹又将是什么?分析:以O1O2所在直线为x轴,O1O2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,设P点坐标为(x,y),易得P点的轨迹方程为:(1-λ2)x2+(4+4λ2)x+(1-λ2)y2+3-3λ2=0.当λ=1时,P点的…     

一道值得研究的课本习题

题目:与两圆x2 y2=1及x2 y2-8x 12=0都外切的圆的圆心在( ). (A)一个椭圆上 (B)双曲线的一支上 (C)一条抛物线 (D)一个圆上 这是人民教育出版社编辑的全日制普通高级中学教科书(必修)<数学>第二册(上)复习参考题八A组第4题.由双曲线的第一定义可知,动圆圆心到两定圆圆心距离差为1(小于两定圆圆心间距离)的点的轨迹是双曲线,故正确答案应为(B).做完此题后,很多学生都有一种意犹未尽的感觉,双曲线的右支哪儿去了?其实答案并不难,同学们经过讨论可知,只要把条件中的外切改为内切,就会得到双曲线的右支.     

2005年高考山东文科卷压轴题另解

题目已知动圆过定点(p/2,0),且与直线x=-p/2相切,其中p＞0. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程; (Ⅱ)设A,B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和直线OB的倾斜角分别为α和β,当α,β变化且α β=π/4时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标.     

圆锥曲线高考热点例析

一、曲线和方程 例l(96上海)与团(x一2)2 y‘~l外切,且与y轴相切的动团圆心P,的轨迹方程为_· 〔析与解〕思路1(直接法):设P(x,y),据题得丫(x一2)’ yZ一1=x(x)o)化简整理得:y,=6x一3,即为所求方程。 思路2(定义法):据题意知P到点(2,0)的距离等于它到直线x-一1的距离,据抛物线的定义得点P的轨迹方程是y,一6(x一冬),即yZ一6x一3.~一~一一产-一2‘’一,J 例2(93年新高考)在面积为1的△PMN中,tg匕PMN一冬,tg艺MNP一2,建立适当坐标系,求以~一’一’2’一0~’一’-一”~一一一一”‘’一了寸一M、N为焦点且过点P的椭圆方程。—列式—设点…     

一道2005年高考题（江苏卷）的几何本质

2005年江苏省高考第19题:如图1,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1与圆O2的切线PM、PN(M、N分别是切点),使得PM=2~(1/2)PN,试建立适当的坐标系,求动点P的轨迹方程．     

2005高考试题(山东理科)压轴题的别解

2005年全国高考数学(山东理科卷)最后一题：己知动圆过定点(p/2,0),且与直线x=-p/2相切,其中p＞0．(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA、OB的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α β为定值θ(0＜θ＜π)时,证明