齐次型方程及其求解

对一阶常微分方程中的齐次方程的推广形式——齐次型方程进行了研究,并将齐次方程的“变量变换”法求解过程推广应用到齐次型方程,从而证明了齐次型方程是可积方程,得到了一阶微分方程的几种新的可积类型,其中也包括部分黎卡提方程和贝努利方程。     

齐次方程及其求解

通过对一阶常微分方程中的齐次方程的推广形式——齐次型方程进行研究,并将齐次方程“变量变换”法求解过程推广应用到齐次型方程,从而证明了齐次型方程是可积方程,得到了一阶微分方程的几种新的可积类型,其中包括部分黎卡提方程和贝努利方程．     

高阶Duffing型微分方程有关周期解的研究

本文通过方程变换,利用齐次线性微分方程的非平凡周期解与非齐次线性微分方程的周期解之间的关系研究两类高阶Duffing方程周期解的存在性,改进了一些已有结果。     

某些特殊的一阶微分方程的解法

本文叙述了几类能有初等解法的一解微分方程,主要是运用变量变换将微分方程化为可分离变量的方程齐次方程和贝努里方程。     

常见二阶常系数线性非齐次微分方程特解求法的统一

对于常见的二阶常系数线性非齐次微分方程,一般教材上特解的求法比较繁琐,而且当方程的自由项为不同类型的时候,所采取的方法也大不相同.文章通过变换,使得当自由项为三种不同类型的时候,二阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法得到统一.     

一类可积的Riccati型方程

利用齐次微分方程变换u=y/x，给出一类可积的Riccati型方程。     

关于齐次微分方程的一些推广

齐次微分方程dy/dx=f(y/x)是用途颇广且极易用初等积分方法求解的微分方程,而且从教科书上我们还知道形如y'=f(a_1x b_1y/a_2x b_2y)的方程及形如y'=f(a_1x b_1y c_1/a_2x b_2y c_2)(a_1/a_2≠b_1/b_2)的方程通过适当的变形和变换后亦可化为齐次微分方程求解。其后两种方程也就是齐次方程的推广。本文的目的是将齐次方程进一步推广,以达到拓宽其应用的目的。     

八四级《高等数学》教学要求

第十六章.常微分方程〔教学要求〕1.正确理解微分方程及其阶、解、通解、特解等概念,了解什么是初始条件,初值问题。2.熟练掌握一阶可分离变量方程的解法,掌握一阶线性微分方程的概念。3.熟练掌握一阶线性齐次、非齐次方程的解法。4.掌握二阶线性,常系数微分方程概念及二阶线性微分方程解的结构定理。5.熟练掌握二阶常系数线性齐次方程的通解解法——特征根法及带有特殊右端的二阶常系数线性非齐次方程的特解的解法——待定系数法。     

变换x=e~(λt)y在解微分方程中的作用

中山大学数学力学系常微分方程组编的《常微分方程》教材中,在解常系数线性齐次微分方程L[x]=a_1x a_1x′ … a_nx~(n)=0(1)和非齐次方程L[x]=a_0x a_1x′ … a_nx~(n)=f(t)(2)时都要用到这一变换。我们在教学中觉得把常系数线性方程经过变换x=e~(λty)后的结果写了出来并用数学归纳法加以证明较妥。这样在常系数线性齐次方程的特征方程有重根时解的讨论和非齐次方程(2)右端函数为f(t)=e~(λty)(t)(P(t)为m次多项式)的待定系数法的研究中都很方便,而且也更有说服力。即引入下面的定理。     

基于降阶的变量替换法在二阶微分方程求解中的应用

探讨变量替换法在二阶常系数非齐次微分方程方程求解中的应用。针对二阶常系数非齐次微分方程,直接将二阶常系数线性非齐次微分方程降阶为2个一阶线性非齐次微分方程来进行求解,不需要考虑非齐次项的具体函数形式。该方法是求解二阶常系数非齐次微分方程的另一种有效途径,且更具一般性。     

二阶变系数线性微分方程的求解

二阶线性齐次微分方程在微分方程理论中占有重要位置,但二阶变系数线性微分方程却没有一般的求解方法,给出了几种通过变量变换将二阶变系数线性微分方程化为二阶常系数的线性微分方程的充分条件.     

一类抛物方程的广义解

在自然科学的许多领域中,很多现象是用抛物方程描述的.因此,求解抛物偏微分方程问题具有重要的理论意义和应用价值.文章讨论了一类抛物方程非齐次边值问题的解法,先利用变量替换法,将这类抛物方程非齐次边值问题转化为齐次边值问题,然后再运用Lax-Milgram定理的推论证明了其解存在唯一性.     

非齐次边界处理的条件

本文是在教学中处理非齐次边界条件,把第一类边界条件通过变换化成齐次边界条件,然后引导学生去处理第二类和第三类边界条件。在化成齐次边界条件的时,泛定方程可能是非齐次方程,这时将变换改变使变换后的泛定方程也是齐次的。     

求二阶复常系数线性非齐次微分方程特解的公式

文[1]提供了求二阶复常系数线性齐次微分方程通解的公式,文[2]介绍了用算子法求复常系数线性非齐次方程特解的方法。这篇短文利用待定系数法,得到了二阶复常系数线性非齐次微分方程特解的简捷求法,即直接利用公式可写出相应方程的特解。     

关于线性非齐次微分方程的“基本解组”

相对于线性齐次微分方程的基本解组，本提出了线性非齐次微分方程的“基本解组”的概念，证明了线性非齐次方程也存在“基本解组”，且得到了一个有用的结论。     

常微分方程中常数变易法的推广

常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程行之有效的方法。本文从求解一类特殊形式的一阶常微分方程入手,证明了变量分离方程、Bernoulli方程、部分齐次方程以及其它形式的一阶非线性常微分方程可用常数变易法求解,从而将常微分方程中的常数变易法推广。     

线性齐次向量差分方程的共轭方程

本文给出了线性齐次向量差分方程(差分系统)的共轭方程的意义和性质,得出了与线性齐次向量微分方程类似的结论以及一些独立的结论。     

非齐次微分方程定解问题讲授方法探讨

非齐次微分方程定解问题的求解一直是《常微分方程》和《数学物理方程》课程的讲授难点和学生的学习难点。本文从理论高度对这类问题进行了统一处理，把这类问题化为了齐次方程相关定解问题的求解。     

一类特殊四阶非齐次方程特解的求法

在微分方程理论中,求解常系数非齐次方程,关键是求出它的一个特解。本文考虑一类特殊的四阶非齐次方程,利用常数变易法和分部积分法,得出该类特殊四阶非齐次方程一个特解的求法。     

一类亚纯函数系数的高阶齐次线性微分方程解的性质

在J．K．Langley给出的高阶齐次线性微分方程复振荡的结果的基础上,考虑具有控制系数和系数仅有有限个极点的高阶线性齐次微分方程,研究亚纯系数齐次线性微分方程亚纯解的零点收敛指数,得到了这类方程的线性无关超越解的最少个数和零点收敛指数为有穷的解的最多个数。