初学数学归纳法易犯的通病

1　数学归纳法所谓“数学归纳法”是证明一个与自然数ｎ有关的数学命题时 ,所采取的一种证明方法。其具体步骤 :( 1)验证ｎ取第一个值ｎ0 时 (如ｎ0 =1、2或 3)命题成立 ;( 2 )假设ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ且ｋ≥ｎ0 )时结论正确 ,并且在此假设条件下 ,当ｎ =ｋ +1时结论也正确。则原命题正确。这种方法我们称之为数学归纳法。如证明等差数列的通项公式ａｎ=ａ1+(ｎ - 1)ｄ证明 :( 1)当ｎ =1时左边 =ａ1右边 =ａ1+( 1- 1)ｄ =ａ1等式成立( 2 )假设当ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ且ｋ≥ 1)时ａｎ=ａ1+(ｋ - 1)ｄ则当ｎ =ｋ +1时ａｋ +1=ａｋ+ｄ =ａ1+(ｋ - 1)ｄ +ｄ=…     

无穷递降法

无穷递降法是一种与数学归纳法相对应的数学方法 ,它的原理一般称为无穷递降原理 ,其现代表述为 :若要证明关于自然数的命题Ｎ(ｎ)不成立 ,需要证明 :( 1)Ｎ( 1)不成立 ;( 2 )如果Ｎ(ｋ)成立 ,则有ｋ′ <ｋ ,使Ｎ(ｋ′)成立 .如 ( 1)、( 2 )均得证 ,则命题Ｎ(ｎ)对所有的自然数     

谈谈数学归纳法的教学

由归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们常常用下面的方法来证明它们的正确性:先证明当 n 取第一个值 n_0(如 n_0=1时,命题成立,然后假设当 n=k(k≥n_0),命题成立,证明n=k 1时命题也成立.就可以断定这个命题对于 n 取第一值及其后的所有的自然数也都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.数学归纳法,是我们数学证题中的一种重要的证题工具.对于数学归纳法,学生往往难以理解它的实质,对它的证题步骤往往是在形式上有所了解,     

利用数学归纳法证题的关键步骤

利用数学归纳法证题的关键步骤江西省赣南师院附中洪立松利用数学归纳法来证明某些与自然数ｎ有关的数学命题，关键步骤是利用ｎ＝ｋ时命题成立这个假设条件来证明ｎ＝ｋ＋１时命题也成立．本文结合高中课本，谈谈证明这类命题的关键步骤，供参考．一、“恒等式类”命题的...     

用数学归纳法证明一类不等式的技巧

对于一边是常数的数列不等式 ,在用数学归纳法直接证明时 ,归纳过渡往往有一定的困难 .若能利用不等式的传递性、可加性等性质 ,通过强化命题 ,放缩常数等技巧 ,常可顺利完成归纳过渡 ,下面举例说明 .1　通过分析归纳过渡所需要的条件强化命题由于更强的命题提供更强的归纳假设 ,因而一个更强的命题 ,用数学归纳法反而容易证明 .例 1　 (1997年加拿大奥林匹克试题 )设 0 <ａ1 ,定义ａ1 =1+ａ ,ａｎ+ 1 =1ａｎ+ａ ,求证 :对一切自然数ｎ ,有ａｎ >1.分析　假设ｎ=ｋ时 ,ａｋ +ａ <1+ａ ,则ａｋ+ 1= 1ａｋ+ａ<1+ａ ,推不出ａｋ+ 1 >1.怎么办呢…     

运用第二数学归纳法经常出现的一个错误

在数学证明中常常要用到第二数学归纳法,它的叙述是第二数学归纳法原理:设有一个与自然数有关的命题.如果1~0当 n=1时命题成立;2~0假设命题对于一切小于 k 的自然数来说成立,则命题对于 k 也成立;那末命题对于一切自然数 n 来说都成立.     

数学归纳法的归纳

在与自然数有关的数学命题的论证中,数学归纳法是一种重要的方法.它的依据是自然数的基本性质,即自然数有最小的数,无最大的数,且每个自然数后面都有一个后继数.用数学归纳法证明的步骤如下:(1)证明当n取第一个自然数n_0命题是正确的;(2)假设n取某一个自然数K(K≥n_0)命题正确,证明n=k+1时,命题也是正确的.由(1)与(2)可以断定,这个数学命题,对于任何n≥n_0的自然数,都是正确的.     

例谈数学归纳法证题的过渡策略

关于自然数的命题大都可以用数学归纳法来证明 ,其中的核心问题是如何恰当地运用归纳假设 ,证明ｎ =ｋ+ 1时命题的正确性 ,即由ｎ=ｋ时成立的命题过渡到ｎ =ｋ+ 1时也成立 ,这也正是证题的难点所在 .所以在具体证题时应强化目标意识 ,运用技巧进行有效的过渡和转化 ,达到证题的目标 .本文就此问题谈谈几种常用的过渡策略 .1　思前想后找联系我们既要盯着目标 ,即ｎ =ｋ+ 1时的结论 ,也要顾及ｎ =ｋ时的假设 ,打通他们之间的内在联系后就容易过渡了 .例 1　已知 ｆ(ｎ) =1+ 12 + 13+… + 1ｎ　 (ｎ≥ 2且ｎ∈Ｎ) ,求证 :ｎ+ ｆ(1) +… + ｆ(…     

数学归纳法推证k→k+1步的两个规律

在证明含有自然数ｎ之类的数学命题中 ,一般都是采用数学归纳法加以证明的。但是有相当一部分初学这个内容的同学 ,对于推证ｋ→ｋ +1步的方法感到不太理解 ,即对命题证明到当ｎ =ｋ +1时感到茫然 ,无法下手。其实推证ｋ→ｋ +1步的方法技巧具有某种简单规律的。　　规律之一 :从第一步的证明中获得方法技巧。　　在很多命题证明中 ,第一步证明所用到的方法技巧 ,往往是ｋ→ｋ +1步证明所需的方法技巧 ,或者说证明ｋ→ｋ +1步的方法技巧 ,就是从第一步中获得。可见 ,认真细致地对待第一步是至关重要的。　　〔例 1〕设ｎ∈Ｎ ,ｆ(ｎ) =1+12 …     

数学归纳法受阻时的处理策略

数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的重要方法．用数学归纳法证题的主要困难在于第二步,因由n=k时命题成立去证n=k 1时命题也成立往往需要一些技巧．有些命题用数学归纳法证明受阻时,只是由于我们使用方法不当,若能采取恰当的策略,数学归纳法就能顺利进行．下面以不等式的证明为例,给出数学归纳法受阻时的几种处理策略．     

运用数学归纳法要注意三个“未必”

数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种方法,在中学数学中占有重要地位.数学归纳法的一般步骤是:第一步,证明当 n=n_0时命题成立;第二步,假设当 n=k (k∈N,k≥n_0)时命题成立,在此基础上证明当 n=k 1时命题也成立.完成了这两步证明,即可断定命题对一切 n≥n_0的自然数均成立.运用数学归纳法     

谈数学归纳法的另一种形式

高中课本数学第三册所介绍的数学归纳法又可称为第一数学归纳法,它是证明关于自然数命题的一种有效方法。但是对于某些关于自然数的命题,它却是无能为力的。为此有必要引入第二数学归纳法:对于自然数的命题,如果(1)能验证n=1时命题正确;(2)假设所有的n≤k时命题正确,能推出n=k 1时命题也正确,那么此命题对于一切自然数都成立(证明略)。 在证明由相邻两个结果的正确性可推出第三个结果的正确性的自然数命题时,又可变通使用第二数学归纳法。这时应该(1)验证n=1,2时命题正确;(2)假设n=k-1,k时命题正确,由此推得n=k 1时也正确。     

分析法在数学归纳法中的妙用

证明与自然数有关的不等式问题 ,数学归纳法是首选 ,但完成 ｐ(ｋ+ 1 )的证明却是难点 .笔者收集了部分以证明不等式为出发点的高考题 ,发现它们均可以用数学归纳法完成 ,而且用分析法完成 ｐ(ｋ+ 1 )的证明 ,方法朴实简单 ,易于掌握 ,堪称通法 .例 1　 (1 992年“三南”高考题 )求证 :1 + 12 + 13 +… + 1ｎ<2ｎ(ｎ∈Ｎ ) .证明　 (1 )当ｎ=1时 ,左边 =1 <2 =右边 .不等式成立 .(2 )假设当ｎ=ｋ时 ,不等式成立 ,即1 + 12 + 13 +… + 1ｋ <2 ｋ ,那么　 1 + 12 + 13 +… + 1ｋ+ 1ｋ + 1　 <2 ｋ+ 1ｋ + 1 .现在只需证明2ｋ+ 1ｋ+ 1 <2 ｋ+ 1…     

利用数学归纳法巧证数学题

数学归纳法就是：一个与自然数有关的命题,如果当凡取第一个值n0时命题成立,在假设当n=k（k∈N^＊,k南≥n0）时命题成立的前提下,推出当n=k＋1时命题也成立,那么我们可以断定这个命题对n取第一个值后面的所有正整数都成立．数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题．     

一类特殊矩阵的特征值的计算

我们知道 ,对于一般的ｎ阶方阵Ａ ,其特征值不一定能求出来 ,本文将介绍一类特殊矩阵的特征值的求法 .一、引理与定理引理　若Ａ(ｔ) =(ａｉｊ(ｔ) ) ｎ×ｎ,且Ｌｉｍｔｔ0ａｉｊ(ｔ) =ａｉｊ(ｉ,ｊ =1,2 ,… ,ｎ) ,记Ａ= (ａｉｊ) ｎ×ｎ,则Ｌｉｍｔｔ0 Ａ(ｔ) = Ａ .证　对行列式的阶数ｎ用数学归纳法当ｎ =1时命题显然成立 .假设对ｎ 1时命题成立 ,现证对ｎ命题也成立 .事实上 ,由行列式的展开定理[1] ,[2 ] 及归纳假设 ,Ｌｉｍｔｔ0 Ａ(ｔ) =Ｌｉｍｔｔ0 ｎｋ=1ａ1ｋ(ｔ) . ( 1) 1+ｋＭ1ｋ(ｔ) = ｎｋ=1ａ1ｋ.( 1) 1+ｋＭ1…     

关于数学归纳法的一个注记

数学归纳法是由自然数的归纳公理（或最小数原理）而演变成的各种形式。在运用时,第一数学归纳法、第二数学归纳法和反向数学归纳法是常见的。高等师范院校数学系教材［一］Ｐ３７定理３的证明,属于数学归纳法证明的一个不恰当的例子。原文如下：定理３若整数ｇ＞１,则任一正整数ａ能够唯一地表为这里整数ｎ≥０,ａｉ∈Ｚ,且０≥ａｉ＜ｇｉ＝０,１,…,ｎ。证先用数学归纳法证明ａ可以写成（１）,当ａ＝１时,令ｎ＝０,ａ０＝１,即知（１）成立。假定小于。的任何正整数可以表为（１）,现证。也可以写成（１）。设ｇｎ≤。＜ｇｎ…     

利用数学归纳法证题

数学归纳法是一种重要的证明与正整数有关的数学命题的方法.一般先证明当n取第一个值n_0(例如n_0= 1)时命题成立,然后假设当n=k(k∈N~*,k≥n_0)时命题成立,并证明当n=k 1时命题也成立,那么就证明这个命题成立.因为证明了这一点,就可以断定这个命题对于n取第一个值后面的所有正整数也都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.     

数学归纳原理与最小数原理相互关系破解

0绪言 数学归纳原理是数学归纳法的根据,它断言：任何有关自然数的命题,如果对于0真,而且每当对于某个自然数k真,都有对于作为其随从的自然数k’,也真,那么对于所有自然数都真． 最小数原理断言：如果某个由自然数组成的集合不空,那么它必含有一个最小的数．     

浅谈数学归纳法的逻辑依据和逻辑结构

数学归纳法是数学里一种基本的、重要的证明方法,了解它的逻辑依据和逻辑结构对于学好这种方法,培养学生观察分析能力,归纳假设能力、逻辑推理能力都有很大的帮助。 我们通常使用两种推理方法,一种是从一般到特殊的推理方法,即演绎法;另一种是从特殊到一般的推理方法,即归纳法。它们是完全不同的两种思维方式。 归纳法又分不完全归纳法和完全归纳法,而完全归纳法要求对每一个对象(所研究的某一类问题)都进行考察。 初等数学中的数学归纳法属于完全归纳法,是证明某些与自然数有关的数学命题的一种重要方法,必须对于任意的自然数都进行考察后才能对命题下结论。 它主要分二步: 第一步:验证当n取第一个值(例如n=1)时命题成立。 第二步:在当n=k时命题成立的假设下,证明n=k+1时命题也成立。 若以上两步均成立,就可下结论:对于任意的自然数,命题都成立。 由于学生很少遇到这类问题,常常怀疑这种证法是否有效,提出:为什么通过这样两步就能实现对一切自然数的验证呢?由于弄不清道理,只好死套格式,发生各种各样的错误。 如:1.用数学归纳法证明     

数学归纳法原理推广及应用举例

众所周知,数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的有效方法,但是我们往往会遇到一些很难运用第一数学归纳法来证明的命题.即用第一数学归纳法证明时,假设n=k时命题成立,很难推出n=k＋1时命题成立,