注重一题多解 加强试题探究 提升解题思维

<正>一、试题呈现(2023年新高考Ⅰ卷第22题）在平面直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点■的距离，记动点P的轨迹为W.(1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，求证：矩形ABCD的周长大于■.分析本题是2023年高考数学新高考Ⅰ卷的压轴题，第（1）问比较基础，考查动点轨迹方程的求解，属于基础题型，体现了高考命题的“基础性”原则，直接设P(x,y），     

2006年高考北京卷19题解法纵横谈

2006年北京市高考数学第19题是:已知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 满足条件|PM|-|PN|=22~(1/2),记动点 P 的轨迹为 W.(1)求 W 的方程;(2)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求(?)·(?)的最小值.第(1)小问按双曲线定义极易得到;第(2)小问命题者给出了二种解法,本文将给出几种新的解法,从解答中我们可以看到这道试题的思维价值.     

2011年高考数学湖南卷文科(21)题解法探究与推广

题已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1、l2,设l1与轨迹C相交于点A、B,l2与轨迹C相交于点D、E,求AD→·E→B的最小值.此题两问分别是以人教社教材中的例题和习题改编的,第(2)问是圆锥曲线的一个性质,考     

以“形”相聚——锐角三角函数改编题

正人教版《数学》教材九年级(下)第二十八章锐角三角函数P98复习题28第11题原题:如图,折痕矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知折痕AE=槡55cm,且tan∠EFC=34.(1)△AFB与△FEC有什么关系?(2)求矩形ABCD的周长.(本题是复习题28的一道综合运用题,主要考查相似三角形的判定、锐角三角函数、勾股定理等知识,同时考查了数学方法中的方程思想.这道题对于初中生来说属于中等难度     

度量二面角大小的基本思想方法——一道高考试题的多角度分析

200 4年高考数学试题 (必修 选修Ⅱ )第 ( 2 0 )题是这样的 :如图 1,已知四棱锥P—ABCD ,PB⊥AD ,侧面PAD为边长等于 2的正三角形 ,底面ABCD为菱形 ,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为12 0° .(Ⅰ )求点P到平面ABCD的距离 ;(Ⅱ )求面APB与面CPB所成的二面角的大小 .高考结束后 ,笔者对 2 0名考生进行了高考数学试题答卷情况专题访谈 ,从中获悉 ,很多考生在解答本题设问 (Ⅱ )时质量不高 .究其原因考生在解题的思想和方法上缺乏灵活性和深刻性 .今在正确解答设问 (Ⅰ )的基础上 ,系统归纳求解设问 (Ⅱ )的基本思想方法(不同于…     

2004年全国高考数学(理)20题别解

原题　如图 1 ,已知四棱锥P -ABCD ,PB ⊥AD ,侧面PAD为边长为2的正三角形 ,底面ABCD是菱形 ,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为 1 2 0°.(Ⅰ )求点P到平面ABCD的距离 ;(Ⅱ )求面APB与面CPB所成的二面角的大小 .解　 (Ⅰ )取AD的中点E ,连结BE、PE .因为△PAD是正三角形 ,所以PE⊥AD ,又PB⊥AD ,所以AD⊥平面PBE ,所以BE⊥AD ,∠PEB是二面角P-AD-B的平面角 ,∠PEB=1 2 0再由AD ⊥平面PBE知面PBE ⊥面ABCD于BE .过P作PO ⊥BE交BE的延长线于O ,则PO ⊥平面ABCD ,PO的长度 ,为P到平面ABCD的距离 .在…     

对2004年全国高考立体几何主观题的探究

20 0 4年全国高考数学第 (2 0 )题是一道立体几何题 .原题是 :如图 1,四棱锥P-ABCD中 ,底面ABCD为矩形 ,AB =8,AD =4 3,侧面PAD为等边三角形 ,并且与底面所成二面角为 6 0° .(Ⅰ )求四棱锥P-ABCD的体积 ;(Ⅱ )证明PA⊥BD .本题主要考查空间想象能力、分析问题的能力 .命题组提供此题的参考答案要点是 :　　　　　图 1(Ⅰ )利用传统方法 ,依次用三垂线定理、二面角的平面角、棱锥体积公式 ;(Ⅱ )解法一利用向量方法 ,以P在底面ABCD上的射影O为原点建立空间直角坐标系 ,通过计算考虑PA、BD是否垂直 .解法二是传统方法 ,先通过…     

全国高考数学（理）第17题的多角度思考

题目:(2001年全国高考数学试卷理科第17题)如图1,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1/2.(1)求四棱锥S- 图1ABCD的体积; (2)求面SCD与面SBA所成二面角的正切值. 第(1)题容易用体积公式直接求解.而第(2)题则是一道典型的无棱二面角问题,故在     

例析平面几何中的最值问题

1．利用三角形两边之和大于第三边 例1如图1,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、（W上,当B在边ON上运动时．A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,若AB=2,BC=1。求点D到点0的最大距离．     

一道中考题的由来及解法

题目 已知如下左图,矩形ABCD中,AB=5,AD=20,点M分BC为BM:MC=1:2,DE垂直于AM,E为垂足。求DE的长。 (1993,天津市中考试题) 此题是由《平面几何》第二册P52第8题“已知矩形ABCD中,AB=a,BC=b,M是BC的中点,DE⊥AM,E是垂足(如上右图)。求证:DE=2ab/(4a~2+b~2)~(1/2)”经特殊化、改变条件、推     

源于课本 推陈出新——浅谈2003年高考(全国卷)解析几何试题(第21题)

20 0 3年高考尘埃落定 ,全国高考试题可圈可点之处颇多 ,背景新颖、能力立意非常突出 ,减少运算、增加思维得到了进一步的体现 ,在考查学生的创新意识方面前进了一大步 ,可谓“推陈出新” 现对解析几何试题 (第 2 1题 )作浅显探讨 ,以期抛砖引玉 题 2 1图[原题 ]　 ( 2 1)(本题满分 14分 )已知常数a >0 ,在矩形ABCD中 ,AB =4 ,BC =4a ,O为AB的中点 ,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动 ,且 BEBC =CFCD =DGDA ,P为GE与OF的交点 (如图 )问是否存在两个定点 ,使P到这两点的距离的和为定值 ?若存在 ,求出这两点的坐标及此定值 ;…     

由一道高考题探究解析几何中的探索性问题

引题 :( 2 0 0 3年全国卷理 2 1题 )已知常数 a>0 ,在矩形 ABCD中 ,AB =4,BC =4a,O为AB的中点 .点 E、F、G分别在 BC、CD、DA上移动 ,且 BEBC=CFCD=DGDA,P为 GE与 OF的交点(如图 1) .问是否存在两点 ,使 P到这两点的距离的和为定值 ?若存在 ,求出这两点的坐标及此定值 ;若不存在 ,请说明理由 .图 1这是一道典型的探索性问题 ,它是由椭圆的规尺作图法 (教材中有抛物线线的矩形作法 )改编而成 .该题条件、结论可塑性强 ,对培养学生各种能力提供了很大的空间 .笔者想通过对这道题的探求 ,谈谈解析几何中探索性问题的 4种类型及…     

一道高考选择题的别解

<正>题目(2017年全国卷Ⅲ理科12题)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,若AP(向量)=λAB(向量)+μAD(向量),则λ+μ的最大值为().A.3 B.2*2^(1/2) C.5(1/2) D.2分析此题考查了直线与圆的位置关系和平面向量的基本定理.此题的难点是P点是一个动点,因此,怎样用合理的方法来描述AP(向量)是关键.结合图     

2019年全国Ⅱ卷高考椭圆试题的拓展变式研究

2019年全国Ⅱ卷理科第21题以椭圆为背景,第一问考查了动点轨迹方程的求法;第二问在椭圆中构造了三角形,证明它是直角三角形并求其面积的最值,体现了解析几何研究的两个主要问题:(1)根据已知条件求曲线的方程;(2)通过曲线的方程,研究曲线以及有关图形的几何性质,这是一道极具拓展价值的好题.     

从一道中考题谈相似三角形的单元试题命题

<正>2011年三明中考数学第23题:在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1.将直角尺的顶点放在P处,直角尺的两边分别交AB,BC于点E,F,连接EF(如图1).(1)当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合(如图2),求PC的长;(2)探究:将直尺从图2中的位置开始,绕点P顺时针旋转,当点E和点A重合时停止.在这个过程中,请你观察、猜想,并解答:     

冰冷的答案 火热的思考——以一道课本习题的教学为例

<正>一、原题呈现苏科版教材九年级上册第1章一元二次方程章节复习题第14题:如图1,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止;同时,点Q从点C出发沿CD以2cm/s的速度向点D移动.经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?     

一道高考试题的开放性探究

背景资料(2003年全国卷高考试题第21题):已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB的中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且BE/BC=CF/CD=DG/DA,P为GE与OF的交点(如图1)。     

用特殊位置确定区间端点值

题目:(2013年江苏泰州卷第25题):如图1所示,在矩形ABCD中,点P在边CD上,且与C、D不重合,过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q,连接PQ,M为PQ的中点.(1)求证:△ADP∽△ABQ;(2)若AD=10,AB=20,点P在边CD上运动,设DP=x,BM2=y,求     

深入剖析 多点突破——2023年新高考Ⅰ卷第22题解法探讨

<正>2023年新高考全国I卷第22题是一道解析几何题,考查了解析几何中的轨迹方程、抛物线、弦长公式、两点之间的的距离公式,以及函数中的导数、不等式证明等知识,有很强的综合性．本题第（1）问属常规求轨迹方程问题,比较简单;第（2）问对思维能力及计算能力要求很高,属于难题．本文从不同角度探究此题的解法,与大家共同分享．     

2003年高考“立体几何解答题”的分析与反思

一试题概述2003年高考数学新课程卷立体几何解答题的呈现,一改以往甲、乙两题任选一题的面孔,只出了一道题;由考生自选解法,显示了公平性与合理性.理科试题:如图1,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°.侧棱AA1=2,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.(Ⅰ)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示);(Ⅱ)求点A1到平面AED的距离.文科试题:已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1,AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点.如图2.(Ⅰ)证明EF是BD1与CC1的公垂线;(Ⅱ)求点D1…