命题代数与反证法

命题代数是抽象逻辑代数的一个模型,是研究思维形式的逻辑代数.而反证法是数学证明中常用方法之一.反证法所依据的恰是命题代数中一些逻辑原理.逻辑原理掌握如何?直接影响到使用反证法的效果和熟练程度.在教学中,发现有相当数量的学生,在使用反证法证明数学命题时,通常采用否定结论,经过推理,导致与已知条件矛盾的证明形式.而对其他形式的反证法运用却较少,使用起来又往往不顺手.笔者针对这一情况,想以命题代数为出发点,从理论上阐述有关反证法的逻辑原理及反证法的几个问题.为此先介绍命题代数的一些有关知识.     

自然数四个命题的一种推证方法

本文应用自然数的基本性质(peano公理),对自然数的四个命题——数学里一类重要的证明方法进行讨论。而在许多文献中,对于这四个命题的讨论都是把“最小数原理”作为公理来证明的。本文的讨论是从peano公理体系出发加以论证的。     

关于公理教学的探讨

恩格斯指出:"数学上的所谓公理,是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定."公理是数学证明的最初依据,是证明其他定理的基础,它的真实性不能由其他已知真实的命题来证明,而是人们由长期的生产实践中总结出来的.因此,数学公理就是一些不用证明而采纳为证明其他命题的命题.而选择公理时的主要标准是便于用来推导其他命题.一、初中数学的公理体系在初中数学中,建立严格的公理化体系是不适合的,能够实现的只限于有实际内容的公理体系,而且只选择几何学科作     

数学归纳法证题应注意之一、二、三

数学归纳法--作为数学命题证明的基本方法,可以完成对许多与自然数相关命题的证明.当然任何一种方法都有它的局限性,数学归纳法也不例外.     

数学归纳法的拓广

数学归纳法是证明与正整数集有关命题的一种重要的论证方法.许多数学命题利用其它数学方法很难证明或者根本无法证明,但利用数学归纳法很容易解决.数学归纳法的理论根据是正整数集的序数理论,为了证明命题的需要而演变成了多种形式,同时将数学归纳法从正整数集推广至所有良序集.     

与自然数有关的命题的几种证明方法

学过数学归纳法以后,遇到与自然数有关的命题,总是自觉或不自觉地想用数学归纳法去证明.其实,与自然数有关的命题的证明。除了数学归纳法外,还有许多巧妙的,行之有效的方法,下面结合实例介绍几种证明方法.     

谈谈数学归纳法的教学

由归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题,我们常常用下面的方法来证明它们的正确性:先证明当 n 取第一个值 n_0(如 n_0=1时,命题成立,然后假设当 n=k(k≥n_0),命题成立,证明n=k 1时命题也成立.就可以断定这个命题对于 n 取第一值及其后的所有的自然数也都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.数学归纳法,是我们数学证题中的一种重要的证题工具.对于数学归纳法,学生往往难以理解它的实质,对它的证题步骤往往是在形式上有所了解,     

反例在中学数学教学中的作用

反例通常是指符合某个数学命题题设条件,但不符合该命题结论的例子.举出反例即指出某命题不成立的例子.美国数学家盖尔鲍姆指出:“数学由两大类——证明和反例组成.而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例”.数学问题的探索中猜想的结论未必正确,正确的需要证明     

数学归纳法原理推广及应用举例

众所周知,数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的有效方法,但是我们往往会遇到一些很难运用第一数学归纳法来证明的命题.即用第一数学归纳法证明时,假设n=k时命题成立,很难推出n=k＋1时命题成立,     

在平面几何教学中培养学生的猜想能力

在数学教学中,引导学生探索命题结论的来源,培养学生的数学猜想能力,是有益的。笔者在平面几何教学中对这方面进行了一些实践,方法是: 1、提出问题即更改命题结论,变命题结论为不确定性,激发学生积极思考; 2、探索结论引导学生寻求命题在特殊条件下的结论; 3、猜想根据命题在特殊条件下的结论猜想命题的一般结论; 4、证明猜想。例1 如图1,AB是⊙O的直径,CD是弦,AE、BF垂直于CD.     

有关自然数命题的非数学归纳法证明

与自然数有关的数学证明问题,第一思路是数学归纳法,但是,有些问题用数学归纳法证明并不是最佳方法.如果抛开定势思维,根据命题的具体结构与特点,另辟思路,往往可以收到出奇制胜、事半功倍的效果.下面,笔者将分类阐述这一问题.     

运用第二数学归纳法经常出现的一个错误

在数学证明中常常要用到第二数学归纳法,它的叙述是第二数学归纳法原理:设有一个与自然数有关的命题.如果1~0当 n=1时命题成立;2~0假设命题对于一切小于 k 的自然数来说成立,则命题对于 k 也成立;那末命题对于一切自然数 n 来说都成立.     

有关数学命题的一些问题

中学数学教学上,关于命题的结构、变换和有关等价性问题,目前正在一些中学数学教学刊物上展开讨论。应当说,有的问题虽在“数理逻辑”的理论上已经解决,但有的问题还没有从“数理逻辑”的观点进行分析。下文拟就有关数学命题和“四命题”的一些问题,谈谈自己的见解,以期得到指正。     

数学归纳法的灵活运用

数学归纳法是中学数学中的重要证明方法之一,也是高等数学中很多定理的证明工具。它是用递推方式进行的关于在无限自然数上成立的命题的严格的、规范的论证方法,在中学数学中占有很重要的地位。学生对数学归纳法的基本原理及其步骤的掌握并不困难,但要做到灵活运用就会遇到一些障碍,笔者通过几年的教学,就如何灵活运用数学归纳法的问题提出几点想法,以起到抛砖引玉的作用。 一、n取初值时,特别n=1时,等式左边不     

浅析中学数学命题教学中应注意的问题

数学命题是高中数学课程中的重要内容之一,是数学逻辑与证明的基础,与数学概念、数学推理证明之间有着重要的联系。对数学命题知识的学习有利于数学问题的解决和数学知识的学习。本文主要从教师角度出发,通过对数学命题教学中常常出现的问题以及各种数学资料、论文中出现的问题等的研究,提出如何在教学时有效地进行命题知识的引入,数学命题的整体学习,以及对简易逻辑知识的学习提出了一些建议。     

前期维特根斯坦对数学中形而上学预设的批判

前期维特根斯坦致力于祛除数学哲学中的形而上学预设。在数学对象的实在性方面，他主张数学对象并不存在，实在性唯当在科学中谈论才有意义；在数学命题的真理性方面，他则主张数学命题不表达思想，更不关乎命题真假问题，真理性概念也只涉及科学命题。前期维特根斯坦从运算方向上给出了数的形式定义与等式的形式证明。这类定义与证明消解了逻辑主义的发问方式，使得逻辑主义框架下诸如“数学对象存在吗”“算术命题可以证明吗”这类问题丧失了意义。     

数学归纳法证明不等式的解题策略刍议

数学归纳法重在考查归纳、探索的能力.近几年利用数学归纳法证明不等式已成为高考命题的一道亮丽的风景线.但是,各种参考书或杂志在研究此类问题时,都只谈到与n有关的不等式可用数学归纳法证明,并罗列了一些题解的过程,而没有深入探讨:数学归纳法证明不等式的本质是什么?什么时候能用或不能用数学归纳法证明不等式?又如何把一些不能用数学归纳法证明不等式的题,转化为能用数学归纳法证明?本文拟针对上述三个问题,进行分析研究.     

巧借反例教学 创新高中数学教学

数学中的反例是指符合某个命题的条件,但是又不符合该命题结论的例子.也就是一种指出某命题不成立的例子.反例运用在判断题和选择题这两类题型中比较多,如果要想检验一句话正确与否,我们可以列举出一个满足该命题条件的反面例子来证明这句话是错误的.在数学发展史上,恰当地反例推进了数学前进的步伐,反例和证明在数学中的地位同等重要.数学的探究学习主要是提出证明过程和构成反例,一个数学真命题需要在所给定的条件下,运用严密的方法以及逻辑推理来得     

数学归纳法题例析

Ⅰ.命题趋势数学归纳法在高考试题中,常以解答题形式出现,主要有证明不等式、证明恒等式、求数列通项公式、数列求和等几方面的应用.数学归纳法单独考查的情况较少,而经常出现在与自然数有关的命题中,多以伴随着数列的通项或前n项和而出现数学归纳法的证明,这也是高考所考查的热点之一.此外,凡是与自然数有关的知识都可能成为与数学归纳法结合综合考查的内容.数学归纳法的考查隐蔽,主要突出数学意识的考查,即解题方法的寻找将是“问题解决”的突破口.值得注意的是,将数学归纳法与一些探索性的问题综合起来出现了一些非常新颖的题型.Ⅱ.解题…     

关于数列求和方法的探讨

数列求和是数列教学中的一个中心问题 .根据《大纲》的要求 ,高中学生应当“掌握等差数列 ,等比数列的前 n项和公式 ,并能运用公式解决简单的问题 ,了解数学归纳法的原理 ,并能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 .后者包括了一些特殊数列的求和问题 .在中学数学教学中 ,如何根据大纲要求 ,使学生在数列求和问题上 ,真正达到理解掌握并能灵活运用呢 ?笔者认为 ,第一 ,要教会学生能用从特殊到一般的方法 ,得出给定数列的通项公式 ,这是解决求和问题的基础 ;第二 ,要教会学生掌握一些基本的数列求和方法 ,提高学生解决求和问题的能力和技巧 .…