如何解两个一元二次方程有公共根的问题

关于解两个一元二次方程有公共根的问题,有些同学感到困难.下面提供一例题的几种解法,供同学们参考. 例:m为何值时,方程x2+mx-3=0与方程x2-4x-(m-1)=0有一个公共根?并求出这个公共根. 解法一:利用根与系数的关系设公共实根为a,则方程x2+mx-3=0的两根为a,-m-a.     

2003年一道中考题的多种解法

20 0 3年江苏省盐城市中考数学试卷中有这样一道试题 :已知关于x的方程x2 + 2 ( 2 -m)x + 3- 6m =0 .( 1 )求证 :无论m取什么实数 ,方程总有实数根 ;( 2 )如果方程的两个实数根x1、x2 满足x1=3x2 ,求实数m .这是一道考查学生一元二次方程根的判别式、配方法、非负数性质、一元二次方程的根与系数关系以及方程思想、分类讨论思想水平的好题 .其解法灵活多样 ,有助于学生数学能力的提高 .( 1 )证法一 :由Δ =4 ( 2 -m) 2 - 4( 3- 6m)=1 6 - 1 6m + 4m2 - 1 2 + 2 4m=4m2 + 8m + 4=4 (m + 1 ) 2≥ 0 ,可知无论m取何实数 ,方程必有实数根 .说明 …     

试论一元二次方程和二次函数的关系

正一元二次方程以及二次函数是九年级的重要内容,它们之间联系紧密。我现对它们的关系加以总结、归纳,来帮助学生学习和复习。二次函数通用解析式为:y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0),一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0),单从形成上看就很像。当二次函数的值为零时,也就是说求解二次函数与x轴交点问题时,可转化为一元二次方程来解决。一、一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c图像与x轴的交点1.△0时,方程有两个不相等的实数根x1、x2,二次函数与x轴有两个不同的交点,其     

关于二次函数性质的几点拓展

二次函数与一元二次方程之间有着密切的联系.在二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0)中.令y=0,即得一元二次方程ax~2+bx+c=0.若此时方程有实数根,则此实数根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.从这个基本事实出发,即可得到如下一些基本关系: 1.判别二次函数图象与x轴有无交点,可运用相应的一元二次方程根的判别式△=b~2-4ac,即     

一道中考题的多种解法

2003年盐城市中考数学试卷中有这样一道试题: 已知:关于x的方程x2+2(2-m)x+3-6m=0 (1)求证:无论m取什么实数,方程总有实数根; (2)如果方程的两个实数根x1、x2满足x1=3x2,求实数m. 这是一道考查学生对一元二次方程根的判别式,配方法,非负数的性质、一元二次方程的根与系数关系、分类讨论思想、方程思想等等掌握情况的好题,它很受考生的欢迎.其解法灵活、多样,有助于学生数学能力的提高.现举其几种解法如下,仅供大家参考.     

一元二次方程有整数根问题的求解策略

已知一元二次方程有整数根 ,求方程中参数的值 ,这类问题类型较多 ,解法不一 .本文介绍几种常见方法供参考 .1　求根法当一元二次方程的判别式Δ是完全平方式或完全平方数时 ,可利用因式分解法 ,先求出方程两根 ,再求参数 .例 1　已知关于 x的一元二次方程 a2 x2 - (3a2- 8a) x +2 a2 - 1 3a +1 5 =0有整数根 ,求整数 a的值 .分析　因为Δ =(3a2 - 8a2 ) - 4 a2 (2 a2 - 1 3a+1 5) =(a2 +2 a) 2是完全平方式 ,故可用因式分解法求出方程根 .解　解方程得 x1 =2 - 3a,x2 =1 - 5a.因为方程有整数根 ,所以 x1 或 x2 是整数 .因此 ,a是 3或 5的因…     

二次函数与一元二次方程联袂解题

二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)和一元二次方程ax2+bx+c=0有着密切的联系.对于二次函数或一元二次方程问题,我们依据题目的特征,灵活处理,则能使某些问题得到简捷、巧妙的解决. 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的根、判别式△=b2-4ac的符号关系如下表: 一、求方程的根 例1(2014年柳州卷)小兰画了y=x2+ax+b的图像如图1所示,则关于x的方程x2+ax+b =0的解是().     

至少有一个方程有实根问题的正面解法

先看下面三道题:(1)如果一元二次方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的范围.(2)已知p1p2=2(q1+q2),试证方程x2+p1x+q1=0和x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.(3)若一元二次方程x2+ax+b=0,x2+bx+c=0,x2+cx+d=0的系数满足等式:bc+2d=(a-2)(b+c),则三个方程中,至少有一个方程有实根.这几道题属于“至少存在问题”,数学竞赛中常常见到.这类题若从正面考虑,大家认为几个方程中“至少有一个方程有实根”的情况复杂,解答易错.所以有关书刊及资料上介绍的解法都采用的是反证法,其思路是这样的:假定三个…     

例谈“根的判别式”的用法

正在学习一元二次方程、二次函数以及二次不等式时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式△=b2-4ac,无时不在,无处不有.正确理解"△"的真实含义,熟练掌握其用法,不仅对解决相关问题有所帮助,而且对学生进一步弄清这几部分知识间的相互关系十分必要.一、应用求根公式时,不能忽视"△"例1解关于x的一元二次方程(m-1)x2+2mx+(m+3)=0这类问题最容易出错的是不讨论"△"的情况,就用公式法解.其正确的解法为:解:△=(2m)2-4(m-1)(m+3)     

二次函数及一元二次方程根的分布

<正>二次函数与一元二次方程是数学的基础知识,它们之间具有千丝万缕的联系。二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有交点时,交点横坐标的值就是方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根。在一元二次方程中,当b~2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b~2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b~2-4ac<0时,方程无实数根。其对应的二次函数图像与x轴分别有两个交点、一个交点和无交点。一、二次函数的交点问题     

系数和为0的一元二次方程

一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠θ)的系数和a+b+c=0,则x=1满足方程x2+bx+c=0,即x=1是该方程的一个根.反过来,x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,则ab+c=0. 运用这个结论可解决不少的问题.请看: 例1 解方程:4x2-5x+ 1=0. 分析与解:因为4+(-5)+1=0,所以x1=1是方程的一个根.设另一根为x2,由根与系数的关系,得1×x2=1/4,即x2=1/4,所以方程的解是x1=1,xx=1/4. 温馨小提示:已知一元二次方程的一个根,运用根与系数的关系可简捷地求出另一个根.     

错在哪里

题目　当a取何值时,关于x的方程:xx-2+x-2x+2x+ax(x-2)=0只有一个实数解?错解　去分母,整理得2x2-2x+a+4=0.因为原方程只有一个实数解,所以Δ=4-8(a+4)=-8a-28=0,∴a=-72.剖析　可化为一元二次方程的分式方程只有一个实数解需要考虑两种情况:一是所化成的一元二次方程有两个相等的实数根.二是原方程中未知数有两个不同的取值,其中一个是增根,另一个是原方程的实数解,情况二往往被同学们所忽视.正确解法　去分母,整理得　2x2-2x+a+4=0.Δ=0时,解得a=-72.此时方程的根是x=12;若x=0时,代入2x2-2x+a+4=0,解得a=-4.此时,x1=0,x2=1,x1=0为增根,原…     

用二次函数的图象求一元二次方程中的参数

周知,一元二次方程ax~2÷bx c=0(a≠0)的根与二次函数f(x)=ax~2 bx c(a≠0)的图象之间有着密切的联系。在探求二次函数的图象与x轴有无交点的的问题中常利用一元二次方程的根的情况来考察;反之,也可以从二次函数的图象的某些特征来考察一元二次方程的根的情况。本文对系数含参数的一元二次方程已知根的某些性质,利用二次函数图象的特征来求出参数这个问题作一探讨。 例1 已知关于x的方程2x~2-6x 3m=0的两个实数根都大于1,求m的取值范围。 分析:学生往往用韦达定理来解如下: 设方程2x~2-6x 3m=0的两根为x_1、x_2。     

关于二次函数性质的几点拓展

二次函数与一元二次方程之间有着密切的联系. 在二次函数y=ax2 bx c(a≠0)中,令y=0,即得一元二次方程ax2 bx c=0.若此时方程有实数根,则此实数根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.从这个基本事实出发,即可得到如下一些基本关系: 1.判别二次函数图象与x轴有无交点,可运用相应的一元二次方程根的     

与“根与系数的关系”有关的中考题集锦

根与系数的关系是指:如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,则有x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a.它在解一元二次方程题中有着重要的作用.在中考中多以填空题、选择题、解答题的形式出现,考查的频率较高,也常与几何、二次函数等问题结合起来考查,是考试的热点,是方程理论的重要组成部分.现从2012年各地中考试题中精选几例解析如下,供     

根与系数关系作用大

在一元二次方程ax2 +bx +c =0(a≠0)中,若两根为x1、x2,则x1+x2=-b/4,x1·x2=c/a,根与系数的这种关系又称为韦达定理.它的逆定理同样成立,即当x1+x2=b/a,x1·x2=c/a时,那么x1、x2是ax2 +bx +c=0(a≠0)的两根. 一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应用极为广泛. 一、确定符合条件的方程 例1 (2012年烟台卷)下列一元二次方程两实数根的和为-4的是().     

探讨判别式在平面几何题中的运用

实系数一元二次方程 ax2 + bx+ c=0 ( a≠ 0 )的判别式 Δ=b2 - 4ac是中学数学中的基本内容 ,它在代数和几何中都有着广泛的应用 .下面让我们举些实例 ,说明判别式在解一类平面几何题中的应用 ,以供同行交流参考 .1　判别三角形形状例 1　设△ABC的三边为 a,b,c,并满足 b+ c=4 ,bc=a2 - 6 a+ 1 3,试问△ ABC是什么三角形 ?并证明你的结论 .解　由题意得 b,c是一元二次方程 x2 -4x+ ( a2 - 6 a+ 1 3) =0的两个实数根 ,∴Δ =4 2 - 4( a2 - 6 a+ 1 3)=- 4( a- 3) 2 ≥ 0 .∴ a=3,代入方程得 x2 - 4x+ 4 =0 .∴△ ABC为等腰三角形 .例 2　…     

一元二次方程及其根的判别式

一元二次方程是初中代数的重要内容,它是一种只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程.其一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0).学习了一元二次方程根的意义、解法及其根的判别式后,灵活利用它们,可迅速地解答一些竞赛试题.一、灵活利用根的意义若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,那么ax_0~2+bx0+c=0,反之,若ax_0~2+bx0+c=0(a≠0),那么x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.例1 已知a是方程x2-3x+1=0的根,则2a2-5a-2+3/a2+1的值是__.(1996年昆明市初中     

有关一元二次方程的九个问题

一、辨别一元二次方程例 1　方程x4+ax3-x2 +a2 -1 =0是否是一元二次方程 ?如果是 ,指出各项系数 ;如果不是说明理由 .解　当x为常数时 ,此方程是关于a的一元二次方程 ,化为一般形式是a2 +x3a+x4-x2 -1 =0 ,其中二次项系数为 1 ,一次项系数为x3,常数项为x4-x2 -1 .二、判别根的情形例 2　判别关于x的方程k2 x2 -( 2k+1 )x+1 =0的根的情况 .解　当k =0时 ,方程变为 -x +1 =0 ,原方程只有一个实数根 1 ;当k≠ 0时 ,∵Δ =[-( 2k+1 ) ]2 -4k2=4k+1 .∴当k>-14 ,且k≠ 0时 ,原方程有两个不相等的实数根 ;当k=14 时 ,原方程有两个相等的实数根 ;…     

一元二次方程根与系数关系题型示例

一元二次方程根与系数的关系是初中数学的重要内容之一,也是中考数学中经常考到的一个知识点.有关一元二次方程根与系数的关系的题目有很多类型,现举例说明,供大家参考. 一、讨论已知方程的根的性质、求根或根的代数式的值1.讨论方程根的性质例1 当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0只有正实数根?(2002年广东省广州市中考试题)解:(1)当a=0时,方程为4x-1=0,解得x=14.①(2)当a≠0时,Δ=42-4a(-1)=16+4a,令16+4a≥0,得a≥-4.∴当a≥-4且a≠0时,方程有两个实数根.②设方程的两个实数根为x1、x2,由根与系数的关系,得x1x2=-1a,x1+…