函数的定义域

函数不仅是高中数学的核心,而且是学习高等数学的基础.函数的定义域则是研究函数的基础,是考核数学素质的主要阵地.【例1】函数f(2x-1)的定义域是[0,1],求f(1-3x)的定义域.解:f(2x-1)的定义域是[0,1],即0≤x≤1,于是-1≤2x-1≤1,所以函数f(t)的定义域是[-1,1]令-1≤1-3x≤1,得0≤x≤23即f(1-3x)的定义域是[0,23]点评:函数f(2x-1)的定义域是指x的取值范围,而非(2x-1)的值域【例2】求函数f(x)=2-x 3x 1的定义域.解:由2-x 3x 1≥0x-1x 1≥0x<-1或x≥1∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪[1, ∞)【例3】已知y=f(x)的定义域为[0,1],求y=f(lnx)的定义域.解…     

也谈复合函数定义域问题

让我们看下面两个问题及其解答 :问题 1 :已知函数 y =f (2 x)的定义域为[1 ,2 },求函数 y =f (log2 x)的定义域 .[1]原解 :令 u =2 x,因为 y =f (2 x)的定义域为 [1 ,2 ],所以 1≤ x≤ 2 ,2≤ u≤ 4,所以函数 y =f (u)的定义域为 [2 ,4],由 2≤ log2 x≤ 4得 4≤ x≤ 1 6 ,故函数 y =f (log2 x)的定义域为 [4,1 6 ]问题 2 :已知 f (x + 1 ) =3 x + 1 ,求f (x)原解 :令 t=x + 1 ,则 t∈ [1 ,+∞ ) ,所以 x =(t-1 ) 2 ,所以 f (t) =3 (t-1 ) 2 + 1 =3 t2 -6 t+ 4 ,所以 f (x) =3 x2 -6 x + 4 ,x∈ [1 ,+∞ ) .对以上两个问题及其解答 ,相信大…     

函数的定义域

函数不仅是高中数学的核心,而且是学习高等数学的基础.函数的定义域则是研究函数的基础,是考核数学素质的主要阵地.例1函数f(2x-1)的定义域是[0,1],求f(1-3x)的定义域.解:f(2x-1)的定义域是[0,1],即0≤x≤1.于是-1≤2x-1≤1,所以函数f(t)的定义域是[-1,1].令-1≤1-3x≤1,得0≤x≤23.即f(1-3x)的定义域是[0,23].点评:函数f(2x-1)的定义域是指x的取值范围,而非(2x-1)的值域.例2(2004年上海高考题)记函数f(x)=2-x 3x 1的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)],(a<1)的定义域为B.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若B A,求实数a的取值范围.解:(Ⅰ)由2-x 3x 1≥0 x-1x 1…     

在对比中理解概念(高一)

在函数的学习中,有一些概念,可以通过对比,能使得对概念的理解加深. 1.f(x)中的x仅仅表示自变量吗? 例1 已知函数y=f(3x 1)的定义域是[1,3],求函数y=f(2x 2)的定义域. 分析(1)y=f(3x 1)的自变量是3x 1 中的x,即x∈[1,3],3x 1∈[4,10]. (2)f(3x 1)还表示:3x 1是法则f的作用对象,所以法则f只能对[4,10]上的所有数进行作用,即只能有2x 2∈[4,10],得x∈[1, 4],故f(2x 2)的定义域为[1,4].     

如何求定义域

已知函数f[lg(x+1)]的定义域是[0,9],求函数f(x~2)的定义域.错解1:由0≤x≤9,得1≤x+1≤10,则0≤lg(x+1)≤1,故函数f(x~2)的定义域为[0,1].     

不可忽视函数定义域(高一、高三)

1.忽视定义域错求定义域 例1 若函数f(2x)的定义域为[-1,1],则f(log2x)的定义域为_____. 错解 因为f(2x)的定义域为[-1,1],所以 log2x∈[-1,1],所以 x∈[1/2,2]. 分析 函数定义域是指函数自变量的取值集合,所以f(2x)的定义域即x∈[-1,1],则 2x∈[1/2,2],所以f的作用范围是[1/2,2]上的实数,现在f     

对函数中几个易误易混问题的剖析

1．没有真正理解复合函数定义域的含义题目1:函数f(2x)的定义域为[-1,1],则y= f(log2x)的定义域______．错解:由题意得-1≤log2x≤1,解得定义域1/2≤x≤2．剖析:错解在于没有理解定义域的概念,复合函数的定义域从两方面考虑．①求任何一个     

学会给自己找台阶

要求学生跳起来摘桃子,不如教学生学会给自己搭梯子或找台阶,顺着梯子或台阶就会轻松地摘到桃子.【例1】函数y=f(2x)的定义域为[-1,1],则函数y=f(log2x)的定义域是.台阶:求函数y=f(x)的定义域.解:y=f(2x)的定义域为[-1,1],y=f(x)的定义域为21,2;y=f(x)的定义域为21,2,函数y=f(l     

反函数错解剖析

一、反解时忽视了原函数的定义域例1求y=x2+4x+2(0≤x≤2)的反函数. 错解:因为y=-x1+4x+2=-(x-2)2+6(0≤x≤2),y∈[2,6],所以x=2±(6-y)~(1/2).则反函数为y=2±(6-x)~(1/2)(2≤x≤6). 上述解法在解x时,没有根据原函数的定义域对x进行合理取舍,应将x=2+(6-x)~(1/2)舍去.正确的反函数为y=2-(6-x)~(1/2)(2≤x≤6).     

高等数学例题解析1

1　填空题1)设 f(x- 1) =x2 - 2x ,则 f(x) =。解　 [解法一 ]　设t=x- 1则　x=t+1得　f(t) =(t +1) 2 - 2 (t+1) =t2 - 1故　f(x) =x2 - 1[解法二 ]　因为 :f(x- 1) =x2 - 2x=x2 - 2x+1- 1=(x- 1) 2 - 1所以 f(x) =x2 - 12 )函数 f(x) =1ln(x- 2 ) +5 -x 的定义域是。解　对函数的第一项 ,要求x - 2 >0且ln(x - 2 ) ≠ 0 ,即x >2且x≠ 3。对函数的第二项 ,要求 5 -x≥ 0 ,即x≤ 5。取公共部分 ,得函数定义域为 (2 ,3)∪ (3,5 ]。3)设 f(x) =ax +a-x2 ,则函数的图形关于对称。解　f(x)的定义域为 (-∞ ,+∞ ) ,且有 :f(-x) =a-x+a-( -x)2 =a…     

一类分段函数解析式的求法

若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同 ,可用几个式子来表示函数 ,这种形式的函数叫分段函数。已知一个分段函数在某一区间上的解析式 ,求此函数在另一区间上的解析式 ,这是分段函数中最常见的问题。由于给出条件的不同 ,常有如下一些题型。1　分段函数关于直线对称的情形例 1　设函数 y =f(x)的图像关于直线x =1对称 ,若x≤ 1时 ,y =x2 +1。求x >1时 f(x)的解析式。解　设x >1 ,则 2 -x <1 ,由已知条件 ,得f( 2 -x) =( 2 -x) 2 +1 =x2 -4x +5。因为函数y =f(x)关于x =1对称 ,故 f(x) =f( 1 -(x -1 ) ) ,即 f(x) =f( 2 -x) ,所以当x >1…     

函数问题常见典型错误例析

综观近几年的高考试题,对函数内容的考查占了相当大的比例.由此可见,函数是高中数学的重要内容,是学生学习的重点.但函数部分的概念大都比较抽象,概念的本质属性也较隐蔽,学生理解起来有较大的困难,经常出现各种似是而非的错误,因而这部分内容也是学生学习的难点之一.下面结合教学中的具体实例,对学生在函数问题中的常见典型错误一些剖析.1定义域方面案例1已知函数y=f(x2 1)的定义域为[-3,3],则f(2x-1)的定义域为.错解由-3≤2x-1≤3解得-1≤x≤2,故定义域为[-1,2].剖析错解原因在于未真正理解定义域的概念,复合函数的定义域应从以下两方面来…     

高等数学综合练习

1 填空题 1)设f(x+1)=x~2+2x-2,则f(x):__。 解 设x+1=t,x=t-1,得 f(t)=(t-1)~2+2(t-1)-2=t~2-3 故 f(x)=x~2-3 2)函数y=((3-x)/(1/2))/(ln(x+2))的定义域是__。 解 对于1/(ln(x+2)),要求x+2>0且ln(x+2)≠0,即x>-2且x≠-1;对于(3-x)/(1/2),要求3-x≥0,即x≤3。取公共部分,得函数定义域为(-2,-1)∪(-1,3]。     

是题型错误,还是认识解法错误?

文[1]列出了以下几种认为是有关函数定义域的错题. 题1 已知函数y=f(x)的定义域为[-3,√2],则y=f(√x-2)的定义域为____. 题2 已知函数y=f(lnx)的定义域为(0,1],则y=f(x)的定义域为____. 题3 已知函数y=f(2x)的定义域为[[1,2],则y=f(log2x)的定义域为____. 为了说明上述三题是错误题型,还举了反例1和反例2,也抄写于下.     

求解函数问题的六大路径

路径一:正确理解函数概念是解决有关函数问题的关键.路径一:正确理解函数概念是解决有关函数问题的关键.例1已知函数f(x)的定义域是[0,1],求f(x2)的定义域。分析:要解决这一问题需明确:(1)定义域是自变量x的取值范围;(2)f(x)制约的是x,而f(x2)制约的是x2.解:由不等式0≤x2≤1得-1≤x≤1,即函数f(x2)的定义域为[-1,1].路径二:函数的性质是由x的变化决定的,如奇偶性、单调性都是针对x而言的,而不是针对x的某个表达式.     

抽象函数题的类型

一、求函数的定义域的试题例1 已知f(x+1)的定义域是[-2,3),求,f(1/x+2)的定义域.解∵f(x+1)的定义域为[-2,3),即-2≤x<3, ∴-1≤x+1<4 ,∴-1≤1/x+2<4.∴x≤-1/3或x>1/2故f(1/x+2)的定义域为(-∞,-1/3]∪(1/2,+∞).二、确定取值范围的试题例2如果函数f(x)的定义域为{x|x>0},且,f(x)为增函数,f(x·y)=f(x)+f(y).     

“函数”错解例析

一、函数概念上理解致错例1、函数f(x)=1-x2姨｜2-x｜-2是()(A)奇函数而不是偶函数.(B)偶函数而不是奇函数.(C)奇函数又是偶函数.(D)非奇非偶函数.错解:∵f(-x)=1-(-x)2姨｜2+x｜-2=1-x2姨｜2+x｜-2,∴f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x).∴f(x)为非奇非偶函数.故选(D).评析:①错在忽略了函数定义域.函数定义应满足1-x2≥0,｜2-x｜-2≠0 .即-1≤x≤1,x≠0 .则f(x)=1-x2姨(2-x)-2=-1-x2姨x.∴f(-x)=-1-x2姨-x=1-x2姨x=-f(x),f(x)为奇函数.故选(A).②判断函数奇偶性,首先要注意函数的定义域是否关于原点对称,是关于原点对称再判断f(-x)与f(x)的关系…     

解决抽象函数问题常用的思想方法

抽象函数是相对于具体函数而言的,指没有给出具体函数的解析式,仅仅依据给定的性质来解决相关问题的一类函数,在多次考试中,常出现以抽象函数为背景的考题,因此我们在学习中应引起重视。一、抽象函数的定义域求函数的定义域是求单个变量x的取值集合。例1:①已知f(x)的定义域为[0,1],求f(x 1)的定义域。解:∵0≤x 1≤1∴-1≤x≤0即f(x 1)的定义域为[-1,0]。②已知f(x2)的定义域为[-1,2],求f(x)的定义域。解:∵-1≤x≤2∴0≤x2≤4,即f(x)的定义域为[0,4]。一般地,若f(x)的定义域为D,则f[g(x)]的定义域是{x?g(x)∈D},即求g(x)的值域为D时,对…     

从求值域的一道习题探求另一类函数的值域

问题已知f(x)的值域是(-5,-12],求y=1f(x)的值域.探究因为y=f(1x)在(-∞,0),(0, ∞)上都是单调递减函数,由题意知-5f(1x)≥-2,所以y=f(1x)的值域为[-2,-51).反思升华1若改变f(x)的值域为[12,5),求y=f(1x)的值域.探究因为y=f(1x)在(0, ∞)上是单调递减函数,由21≤f(x)<5,可得2≥f(1x)>51,所以y=1f(x)的值域为(51,2].反思升华2又若改变f(x)的值域为(-5,12],求y=f(1x)的值域.探究1因为f(x)∈(-5,21]不是y=f(1x)的单调区间,所以必须把f(x)的范围分成(-5,0),{0},(0,21].当f(x)=0时,y=f(1x)无意义(舍去);当f(x)∈(-5,0)时,f(…     

几类特殊函数的反函数

一、分段函数的反函数分段函数的反函数一定也是分段函数,具体求时,一般是把每一段当作单个函数来求,最后写成分段函数的形式.在这个过程中要注意函数的定义域、值域与其反函数的值域、定义域的对应关系.例1设函数f(x)=-log3(x 1),x∈(6, ∞),3x-6,x∈(-∞,6]的反函数为f-1(x),若f-119=a,则f(a 4)=.解当x>6时f(x)<0,x≤6时f(x)>0.又f-119=a,∴f(a)=91,∴3a-6=91,解得a=4,∴f(a 4)=f(8)=-log3(8 1)=-2.例2求函数f(x)=x2-1,x∈[0,1),239-x2,x∈[-3,0)的反函数.解由y=x2-1(0≤x<1),解得x=1 y(-1≤y<0).又由y=239-x2(-3≤x<0)得x=-9-49y2(0≤y<2…