浅谈用待定系数法求数列通项公式

题目(人教版必修5P77第6题)已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?     

递推数列的配与凑

题1 已知数列（an）中,a1=5,a2=2,an=2an-1＋3an＋2（n≥3）,对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式？     

求解高考数列的通项公式的重要方法——"叠加法"、"累乘法"

"叠加法"与"累乘法"在高考数列问题中倍受青睐,尤其是在求解数列的通项公式问题时,其地位就愈加突出.下面让我们做一下简要回顾.一、累乘法例1.已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项公式an=分析:本题为求数列通项问题,从设问形式上为分段形式,容易使人联想到公式:an=然而从题设条件上看并不具备使用     

一道课本习题的几种解法

<正>一题多解是我们经常倡导的高效学习方法,但面对具体问题,如何进行多方位思考,灵活求解呢?这里以一道课本习题为例,给出多种解法,与同仁探讨.人教版高中数学必修5第69页第6题:已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),对于这个数列的通项作一研究,能否写出它的通项公式?     

对一道习题的探究

<正>例题已知数列{an}中a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?笔者除按照教材配套的教师用书解答该题外,在课堂上不失时机地践行课标对能力考查的要求,以多元化、多途径、开放式的设问,客观地、全面地引导学生积极思维,激发学生的探索精神,培养求异创新能力.通过深入探讨,发现很多求通项的数列题有其共同特性并可化归为此类型.现给出利用一元二次方     

累加法在求数列通项公式中的应用

当数列{an}的递推公式为an 1=an f(n)时,通常使用"累加法"求其通项公式.即将an=an-1 f(n-1),an-1=an-2 f(n-2),……,a2=a1 f(1)各式相加得:an=a1 n-1∑k=1f(k)(n≥2).下面举例说明累加法在求数列通项公式中的应用.     

求数列通项公式问题的几点思考

【题目】（高中数学人教版必修五P69第6题）已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1＋3an-2（n≥3）,求数列{an}的通项公式．     

再议一道课本习题的解法及推广

<正>文[1]和文[2],读后深受启发,文[1]提供的解法略显繁琐,文[2]指出的解法简洁尚存较高的技巧性,在应用上有一定的难度,下面笔者给出一些简洁而易想的解法,并以此给以推广.题已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3,n∈N*),对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?     

一道习题的引申及应用

在新教材第一册 (上 )第 1 1 4页 ,有这样一道习题 .写出下面数列 {an}的前 5项 :a1=12an =4an-1+1 (n≥ 2 )下面就此题作探讨 .一、引申递推公式的概念既然在新教材中出现 ,那么已知递推公式求通项公式 ,学生将乐于接受 .因此对上述习题作下面引申 :【例 1】　已知数列 {an}的项满足a1=12an =4an-1+1 (n≥ 2 ),求通项an.【例 2】　 (旧教材P12 63 4题变式 )已知数列{an}的项满足 a1=ban + 1=can +d　其中c≠ 0 ,c≠ 1 ,求这个数列的通项an.其实 ,在an+ 1=can+d(c≠ 0 )中 ,若c =1 ,则该数列是公差为d的等差数列 ;若d=0 ,因为c≠ 0 ,则该数…     

一堂高三试卷讲评课的探究活动

一、问题呈现 南京市2007年3月高三第一次调研试卷的第21 题是:在数列{an}中,已知a1=2,an 1=2an/an 1.(1)证明数列{1/an-1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)求证:n∑i=1ai(ai-1)<3.     

数列通项an的两个常见变形式的相通性及再创新式

我们知道数列通项 an 具有如下两个常见的基本变形式 :差式变形式 :an=(an- an-1 ) (an+ 1 - an-2 ) +…+(a2 - a1 ) +a1 . 1商式变形式 :an=anan-1· an-1 an-2·…· a3 a2· a2a1·a1 . 21式可以应用于求递推关系式为 :an+ 1 =an+g(n)型数列的通项公式 ;2式可以应用于求递推关系式为 :an+ 1 =f(n)× an型数列的通项公式 .而对求递推关系式为 :an+ 1 =kan+g(n) (k≠ 1 ) ( )型的通项公式就失效 .近期有杂志刊文介绍对 an+ 1 =kan+g(n) (k≠1 )型的通项公式求法 .不外乎两种方法 :其一是将an+ 1 =kan+g(n) (k≠ 1 )转化为 :an- h(n) =k{ an…     

由递推公式求通项公式的方法

根据递推关系式写出数列的通项公式既是考查学生对数列这部分知识是否掌握的试金石,也是考查学生的观察能力、推理能力、判断能力的重要手段.因此,对学生递推能力的考查一直是高考关注的重点.本文将对高中阶段出现的几种已知递推关系求数列通项公式的方法进行探讨.※递推公式形如an+1=an+f(n)的数列由上式可得:an=an-1+f(n-1)=an-2+f(n-2)+f(n-1)=…=a1+f(1)+f(2)+f(3)…+f(n-1)例:数列｛an｝中,a1=1且a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k∈N+,求数列｛an｝的通项公式.解:∵a2k+1=a2k-1+(-1)k+3k,a2k+1-a2k-1=(-1)k+3k,∴a3-a1=(-1)1+31,a5…     

这两道数列题的解法能类比吗？

请看下列两题,比较一下它们的解法:题1 (苏、锡、常、镇四市2006年高三教学情况调查(一))已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an 1=an 6an-1(n≥2,n∈N*)．若数列{an 1 λan}是等比数列,求出所有λ的值,并求数列{an}的通项公式．     

待定系数法在解数学题中的运用

一、利用待定系数法求数列的通项公式1.第一类:an=Aan-1 B.通过分解常数,转化为特殊数列｛an k｝的形式来求解.例1设x1=2,且xn=5xn-1 7.求数列｛xn｝的通项公式.解将已知所给的递推公式变形为xn m=5xn-1 7 m=5(xn-1 75 m5).令m=57 m5,则有m=47.于是xn 47=5(xn-1 47).∴｛xn 74｝是等比数列,其首项为x1 47=145,公比为5.所以,xn 47=145·5n-1,即xn=145·5n-1-74.2.第二类:an=Aan-1 Ban-2.通过分解系数,转化为特殊数列｛an-λan-1｝的形式来求解.例2数列｛an｝满足a1=2,a2=5,an 2-3an 1 2an=0,求数列｛an｝的通项公式.解由an 2-3an 1 2an=0得…     

递推思想与应用

在数列中有一类常见的问题:递推公式.即:已知数列{an}中,首项为a1或a1,a2,a3,…,ak,且当n>1,n∈N时有an=f(an-1)或an=f(an-1,an-2…an-k),则可由这一递推公式得出数列{an}中的任意一项.     

一道数列通项公式题的多种解法

老师给我们布置了这样一道题:已知函数f(x)=-2x+2,x∈[0.5,1],设f(x)的反函数为y=g(x),a1=1,a2=g(a1),…an=g(an-1),求数列{an}的通项公式.此题中,由于g(x)=1-12x,因此,本题实质就是:已知a1=1,an=1-12an-1,求an.我对求数列通项公式很感兴趣,经过钻研,找到了许多很好的解法,现将各解法汇集如下,供我们共同学习和参考.解法一(归纳法):因为a1=1,a2=12,a3=34,a4=58,a5=1116,a6=2132,a7=4364,a8=85128,a9=171256,…,经观察,an的分母为2n-1;而奇数项的分子为1、3、11、43、171、…、它们的3倍恰比2的幂多1,即可表为2n+13(n为奇数);偶数项的分子为1…     

一道数学竞赛题的探究

题目 已知数列{an}满足：a1=2,an=2（an-1＋n）（n=2,3,…）.求数列{an}的通项公式.（2013年全国高中数学联赛（B卷）试题）本文从一题多解,一题多变两个角度对本题目进行探究,希望对同仁有所帮助.一、一题多解解法1：a1 =2,a2 =2（a1＋2）=8,当n≥3时,我们有an-2an-1=2n,an-1-2an-2=2（n-1）,两式相减,得an-3an-1＋2an-2=2,即an-an-1＋2=2（an-1-an-2＋2）,令bn=an-an-1＋2（n≥2）,则数列{bn}（n≥2）是公比为2的等比数列,且b2=a2-a1 ＋2=8,于是bn=b2×2n-2=2n＋1,即an-an-1＋2=2n＋1,于是,an-1-an-2＋2=2n,…,a2-a1＋2 =23,将上面n-1个等式相加,得an-a1＋2（n-1）=23 ＋24＋…＋2n＋1=2n＋2—8,∴.an=2n＋2—2（n＋2）,注意到当n=1,2时,公式仍适用,所以这就是所求的通项公式.     

用递推关系求通项公式的2种通法

利用递推关系求数列的通项公式是数列中比较重要的内容,在历届高考试题中能找到很多有关的例子,大部分考生也知道有关的通法有哪些,但在运用方面还有一些不如意之处.下面根据2006年高考中的一些压轴题,介绍2种通法,并展示如何应用实例.例1(2006年福建第22题)已知数列{an}满足a1=1,an=2an-1 1(n≥2),求{an}的通项公式.分析1根据条件中的递推关系的结构看,可以想到:先求前几项观察其规律性,由此可以猜想到这个数列的通项公式,然后用数学归纳法证明猜想的正确性,这样的方法叫做“猜想归纳法”.解1(猜想归纳法)因为a1=1,an=2an-1 1(n≥2),所以a2…     

一个数列的存在性探究

1提出问题在有些教辅资料上都有这样一个题目:已知数列{an}是由非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,…,求a3.这是由递推公式给出数列的问题.一般来说,如果递推公式是相邻四项的关系,则必须已知三个初始项才能依次确定数列的各项.此题中只已知了两个初始项,这个数列能确定吗?将n=3代入得a4a3=10,由于数列的各项为非负整数,故有a3=1a4=10,或aa43==52,或aa34==52,或a3=10a4=1.至此,一般都会认为a3=1或2或5或10为所求.但这些结果只能保证前三项是非负整数,能否满足“数列{an}是由非负整数组成的数列”这个条件呢…     

数列

数列的基本概念☆基础篇诊断练习一、填空题1.已知,则a10=_________. 2.数列1/2,4/5,9/10,16/17,…的一个通项公式是_________. 3.若数列{an}满足anan-1=an-1+(-1)n(n≥2)且a1=1,则a5/a3=_________. 4.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+1,则a1=_________,当n≥2时,an=_________.