一个分式不等式的推广与应用

文[1]给出了如下定理及证明: 定理1设ai∈R ,n∑I=1ai=s,k∈N,k≥2,则有n∑I=1 aki/s-ai≥sk-1/(n-1)·nk-2.(1)其中等号当且仅当a1=a2=…=an时成立.     

关于华罗庚先生的一个不等式及其应用

在不等式的王国中,我们知道有很多不等式都是用华罗庚先生的名字命名的,其中有一个初等不等式如下: 华罗庚不等式[1]设ak为实数,p,q＞0则(P-n∑k=1ak)2+q(n∑k=1a2k)≥pq2/n+q.仅当a1=a2=…=an=qp/n+q时等号成立.     

局部对称权方和不等式

定理　设ai,bi∈R+,i =1 ,2 ,… ,n .m ,n∈N ,∑bmi =∑ni=1bmi =1 ,p =mm +n,则∑ aibni≥ (∑api) 1p.①证明 :①等价于∑api/ (∑ aibni) p=∑ (ai∑ai/bni) p≤ 1 .②记Ai=ai/bni,则②的中间式等于∑ (Aibni∑Ai) p=∑ [Ami(bmi) n(∑Ai) m]1m +n≤∑ (mAi∑Ai+nbmi) / (m +n) =m +n∑bmim +n =1 .等式当且仅当 Ai∑Ai=bmi(i=1 ,2 ,… ,n) ,即 a1bm +n1=… =anbm +nn时成立 .局部对称权方和不等式@石长伟$陕西省西安市大华中学1　杨克昌.权方和不等式.数学通讯,1982,6…     

数学归纳法错用一例

问题设a1,a2,a3,…,an都是正数,且a1a2a3…an=1.试用数学归纳法证明:a1 a2 a3 … an≥n.错证(1)当n=1时,a1=1,结论显然成立.(2)假设n=k时,结论成立,即a1a2a3…ak=1时,a1 a2 a3 … ak≥k成立.当n=k 1时,a1 a2 a3 … ak ak 1≥k ak 1,而a1a2a3…akak 1=1,所以ak 1=1,从而a1 a2 a3 … ak ak 1≥k 1.这就是说,当n=k 1时,结论仍成立.由(1)(2)可知,对任意的n∈N*,结论成立.剖析在归纳假设中,由a1a2a3…ak=1(其中ai>0,i=1,2,…,k),则有a1 a2 a3 … ak≥k成立,其实质是若k个正数的积是1,则这k个正数的和不小于k.在递推中,当n=k 1时,有a1a2a3…akak …     

一个含参数的不等式及其应用

由不等式a2 + (λb) 2 ≥ 2λab(a,b∈R ,λ为参数 ) ,得a2 ≥ 2λab-λ2 b2 .由此得到如下一个推论 :若b >0 ,则a2b ≥ 2λa-λ2 b. ( )对于参数λ的任一实数值 ,不等式 ( )总是成立的 ,当且仅当λ =ab 时 ,取等号 .值得重视和有趣的是应用这个不等式可以简捷、巧妙地证明一类分式不等式 .现举例说明 .例 1　设xi >0 (i =1 ,2 ,… ,n) ,求证 :∑ni=1x2 ixi+1≥ ∑ni=1xi(xn+1 =x1 ) .证明　由xi >0及 ( ) ,得x2 ixi+1≥ 2λxi-λ2 xi+1 .∴∑ni=1x2 ixi+1≥ ∑ni=1(2λxi-λ2 xi+1 )=(2λ -λ2 ) ∑ni=1xi.取λ=1 ,原不等式得证 .例 2　设…     

一个加强无理不等式的推广

笔者在拙文[1]中证明了如下无理不等式: 设a,b,c∈R ,n≥2, 则有∑n 1√(a/b c)n≥n 1/n 1√n(1) 等式成立当且仅当n=2且a=b=c.     

一个代数不等式及其应用

设ai、bi∈R(i=1,2,…,n),则(n∑i=1a2i·n∑i=1b2i≥(n∑i=1aibi)2),等号当且仅当(a1/b1=a2/b2)=…=an/bn时成立,这就是著名的柯西不等式.若在此不等式中作如下代换:令ai=(√xi),bi=(√yi),即得如下定理:     

一个积型不等式猜想的证明

文[1]提出了如下一个积型不等式猜想: 设ai＞0(i=1,2,…,n),n≥3,∑ni=1ai=1,k∈N*,则有     

关于一个Hardy不等式的加强

加强了p=32时的Hardy不等式,建立了如下的不等式∑∞n=11n∑nk=1ak32<332∑∞k=11-15·13n+3an32,an≥0,(n∈N+),0<∑∞n=1an32<+∞。     

高维Neuberg-Pedoe不等式的再推广

用初等简洁的方法证明了一个比已有结果更加广泛的分析不等式:设k,n∈N,μ>0,xi>0,i=1,…,n,且∑ni=1xi=λ,则当k≤n-μ+1时有,Ekλx1-μ,…,λxn-μ≥nk(n-μ)k,等号成立当且仅当x1=…=xn=λn.