对一道习题解答的商榷

《立体几何》第31页第9道题是“求证:两条平行线和同一平面所成的角相等。”人民教育出版社出版的《教学参考书》第43页作了如下的解答: 已知:a∥b,a∩a=A_1,b∩a_1=B_1,∠θ_1、∠θ_2分别是a、b与a所成的角,求证:∠θ_1=∠θ_2。证:如图,在a与b上分别取点 A、B,这两点在平面a的同侧,且AA_1=BB_1,连结AB和A_1B_1。∵:AA_1(?)BB_1,∴四边形AA_1B_1B是平行四边形,∴AB∥A_1B_1,     

一道错解题的商榷

高中《立体几何》P31第9题为:求证两条平行线和同一平面所成的角相等,教学参考书上给出的证明是这样的: 已知:a∥b,a∩α=A_1,b∩α=B_1,∠θ_1,∠θ_2分别是a、b与α所成的角。 求证:∠θ_1=∠θ_2。 证明:如图,在a和b上分别取点A、B,这两点在平面α的同侧,且AA_1=BB_1,连结AB和A_1B_1,∴AA_1(?)BB_1,∴四边形AA_1BB_2是平行四边形,∴AB∥A_1B_1,∵A_1B_1(?)α,∴AB∥α,设A_2、B_2分别是α的垂线AA_2、BB_2的垂足,连结A_1A_2、B_1B_2,则距离AA_2=BB_2。     

联系小学实际简介整数的性质(二) 四、最大公约数

1.公约数:几个自然数公有的约数(即这几个自然数的约数集合的交集中的元素),叫做这几个数的公约数。例如, 12的约数集合A={1,2,3,4,6}, 18的约数集合B={1,2,3,6,9}。这里1,2,3,6等元素既属于A,又属于B。由既属于A又属于B的全体元素所组成的集合{1,2,3,6},叫做集合A与集合B的交集,记作A∩B。 A∩B={1,2,3,6} 集合A∩B可用右图的阴影部分表示:     

划分整数集合的相关问题

设集A_1,A_2,…,A_n是集A的非空子集,且满足: (1)A_1∩A_j=(?),(i≠j,i,j=1,2,…,n) (2)A=A_1∪A_2∪…∪A_n。则称(A_1,A_2,…,A_n)为A的一个划分。整数集合的划分在近年数学竞赛中时常出现,其题型通常有两类:一是根据子集应具备的某种特性,讨论划分的存在性;二是根据给定的划分,讨论划分后子集有关特性. 一、求解集合划分问题的基本思路划分一个集合,就是构造这十集合的子集.而这种构造过程经常要综合运用多种数学思想和方法例1 求两个最小的正整数n,使集{1,2,…,3n-1,3n}可以分为n个互不相交的三元组{x,y,z},其中x+y=3z (1990年国家集训队训练题) 解:设所求三元数组为(x_i,y_i,z_i),(i=1,2,…,     

两个错解的剖析

有些问题看起来虽简单,但概念性较强。解这类问题时,如果对概念理解不透彻,只知其然而不知其所以然,那么在解题过程中往往会出现错误。现举两例加以剖析,以引起重视。 例1 已知A、B是两个非空的数集合,A∩B={1},设M={A的子集},N={B的子集},求M∩N。     

“礼”∩“心”

让我们来上一堂数学课吧!本课学习目标:了解“礼”∩“心”的结果,并学会运用。本课要应用的概念是:交集。具体内容是:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,即A∩B={xx∈A,且x∈B}。对于这一概念,大家基本了解了吗?     

第30届IMO试题及解答

第一天 (布伦瑞克,1989.7.18) 1.求证:集合{1,2.…,1989}可以分为117个互不相交的子集A_i(i=1,2,…,117),使得 (1)每个A_i含有17个元素; (2)每个A_i中各元素之和相同. 2.锐角三角形ABC中,A角的等分线与三角形的外接圆交于另一点A_1.点B_1,C_1与此类似.直线AA_1与B,C两角的外角等分线相交于A_0.点B_0,C_0与此类似.求证:     

集合问题的五点领悟

集合具有概念性强、涉及面广、解法灵活等特点,因而必须对重点知识进行深刻领悟。1.加深对空集“φ”的认识(1)忽视不得的性质: 空集是任何集合的子集,即φ(?)A;对任意集合A,皆有A∩φ=φ,对任意集合A,皆有A∪φ=A。忽略了φ的上述性质,就会导致错解或解题不完善。【例1】已知集合A={x|x~2+x-6=0},B={x|mx+1=0},求m,使B(?)A。     

立体几何使用“集合语言”的准确性

职业中学数学课本中对集合描述为“集合是指某些具有共同性质的对象的全体”,并规定元素与集合的关系为:(1)如果元素a是集合A的元素,就说“a属于A”,记作a∈A;(2)如果a不是集合A的元素,就说“a不属于A”,记作a∈A。规定集合与集合之间的关系为:(1)集合A是集合B的子集,记作AB;(2)集合A与集合B的交集,记作A∩B;(3)集合A与集合B的并集,记作A∪B;(4)集合A的补集记作A。 教学中要强调学生切勿混淆元素与集合、集合与集合之间的关系。这些“集合语言”用集合符号表示,使用适当既直观又清楚,因     

关于“a∩b=A”及“a∩α=A”的一个问题

六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册(以下简称《代数》)第7页对“交集”是这样定义的:“由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集,记作A∩B(可读作“A交B”)……”。这个定义明确指出,A∩B是个集合,是A与B中所有公共元素组成的集合。《代数》第2页强调:“应该注意,a与{a}是不同的:a表示一个元素;{a}表示一个集合,这个集合只有一个元素a。”几乎与《代数》中“集合”这部分教材同时讲授的六年制重点中学高中数学课本《立体几何》(以下简称《立几》第11页有:“直线a、b相交于点A,我们规定记作a∩b=A。”     

实数的分类及其应用

在中学数学里,有些问题的解决要涉及到实数的分类。所谓实数的分类,就是把实数集R按照某一法则分成若干个叫做类的子集A_1,A_2,…,A_n,使得R中的每一个元素属于且仅属于一个类,即A_1∩A_2∩…∩A_n=φ,A_1∪A_2∪…∪A_n=R,那末这些类的全体就叫做对实数集R的一个分类。其应用常见子含参数的讨论问题,解题时将参数的允许值范围A(A是实数集R或R的一个子集)按照问题的特性分成若干个类A_1,A_2,…,A_n,然后进行讨论。     

集合中何时分类讨论

1.当集合可能为空集时,需要分类讨论如果忽视了一些集合可能为空集的情况,就很容易出错.如在A∩B =(?),A∩B=A,A∪B=B,A(?)B,A (?)B中,都隐含着A可能为空集的情况.     

Safta猜想的推广和证明

文[1]“100个未解决的问题”中的问题80是: Safta猜想 设AA_1、BB_1、CC_1是△ABC三条任意Cevian线。若AA_1∩B_1C_1=P,BB_1∩A_1C_1=Q,CC_1∩A_1B_1=R,猜想sum AP/(PA_1)≥3。     

短论集锦

关于一道集合竞赛题的再议 文[1]从一道浙江省数学竞赛题的解答中,引出并推广至求Tk之一般公式．设X为n元集合,A1,A2,…,Am为x的全部子集,Tk定义为Tk=∑1≤i1〈i2〈…〈ik≤m｜Ai1∩Ai1∩…∩Aik｜,①其中,｜A｜表示集合A的元素个数．     

利用射影法解异面直线题

利用射影法解异面直线问题,有时可使解法简捷,提高解题速度. 一、求异面直线所成的角设异面直线a,b所成的角为α∈(0°,90°),点A,B∈a,且A,B在b上的射影分别为A_1,B_1,过A_1作A_1B_2(?)AB,连结 A。B.B_2A,B_2B,则α=arccos A_1B_1/AB. 例1 如图,G是单位正方形ABCD的边AB的中点,把△AGD、△BGC沿着GD、GC折起,使A、B重合,求异面直线GD和AC所成的角.     

德·摩根定律及其应用

一什么是德·摩根定律在集合论中,有两条重要性质: (1)Cu(A∪B)=(CuA)∩(CuB); (2)Cu(A∩B)=(CuA)∪(CuB). 这组对偶性定律系由英国著名的逻辑学家De Morgan(1806-1871)提出,故称为德·摩根定律.其意义是:两个集合并集的补集等于其补集的交集;两个集合交集的补集等于其补集     

剖析解决集合问题时的易错点

集合是数学中最基本的概念之一,它是进一步学习其他数学知识的基础.因此,集合在高中数学中有比较重要的地位.但是由于集合的概念比较抽象,许多同学在解题过程中会因某些原因而导致出现错误.现举例剖析解决集合问题时的易错点. 一、忽视空集的特殊性 空集的符号是φ,它表示不含任何元素的集合,是集合家庭中的一分子,在解题的过程中同学们经常忽视它的存在,从而导致解题不严谨或解答失误.空集的性质:对于任意集合A,皆有A∩φ=φ;对于任意集合A,皆有A∪Φ=A;空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集,即φ(∈)A,Φ(∈)B(B≠Φ).另外Φ与{φ}的关系也是应该分清的,即φ∈{φ},Φ(∈){φ}.     

分类讨论解平面几何阴影图形问题

要证明一个命题对集合A是成立的,如果A_1、A_2、…、A_n是集合A的子集,且     

函数考题导析与解法指导

《考试说明》中函数(包括集合)部分虽然只有13个知识点,但它在历年高考试题中都占据很重要的地位.因此研究高考试题对该知识块的考查情况,对于指导中学数学教学和提高高考复习效果,都是十分必要的.本文就近年来全国高考数学试题中,关于函数知识考查情况进行分析.一、集合考试题型分析及解法集合知识是历年高考的热点,题型多以选择题形式出现,除1992年外,每年都考.例1 如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I是全集.那么(?)∩(?)等于( ).(’89全国高考题)(A)(?)(B){d}(C){a,c} (D){b,e}.分析:本题主要考查对集合、交集、并集、补集的概念的理解.可先分别求出(?)、(?),再求(?).也可利用摩根定律:(?)=(?)∩(?),(?)∩(?)=(?)∪(?)去求解.容易得出正确答案为(A).例2.设全集I={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合 B={2,3,4},则(?)∪(?)=( ).(’94全国高考题)(A){0}(B){0,1}(C){0,1,4}(D){0,1,2,3,4}分析:本题与例1形异实同,不难得出答案为(C).例3.集合{1,2,3}的子集共有( ).(’88全国高考题)(A)7个(B)8个(C)6个(D)5个.分析:本题着重考查子集的概念,尤其不可忽视A(?)A与(?)(?)A,所以,一般地,含有n个元素的集合,它的所有子集的个数是2~n,故本题的答案为2~3=8,应选(B).     

2010年高考与集合有关试题的五大题型及解法

近几年高考试题加强了对集合的运算、化简的考查,并向新定义集合发展.本文结合2010年高考题对此知识点归类解析.题型一集合基本概念例1(辽宁卷)已知A、B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B=|3|,(C_UB)∩A=|9|,则A=()