阿氏圆情境下线段最值问题的求解策略

<正>各地中考中常常见到这样一类问题:问题中一般含一个或多个动点,求某线段最值或求"PA+k·PB"的最值.很多学生对这类问题往往束手无策,究其原因,是因为学生在学习过程未能掌握此类问题的本质,并将问题与数学模型结合起来.解决线段最值问题关键在于如何从问题中提炼出有用信息,将复杂的线段最值问题转化为诸如"两点之间、点线之间、点圆之间"等距离最值问题,所以这类问题破题依据无外乎数学中的几个基本事实:(1)两点之间,线段最短;(2)垂线段最短;     

动点下的线段最值解法例析

正与函数图像上的动点有关的线段最值问题,是近年命制中考压轴题时经常涉及的内容.一般解法是用代数方法通过函数手段刻画"线段长"的解析式,再运用函数最值来研究,结合2013年中考试题,举两例来分析.1与动点有关的竖直方向上线段的最值计算——运动藏有量,函数捕捉.在求与函数有关的图形面积的最值问题中,有很多时候是要转化成求与之有关的线段的最值来完成.解法的关键是     

最值问题中动点的确定

"最值问题中动点的确定"是初中数学中一类综合性很强的问题,在整个初中数学的学习中都存在最值问题,这类试题也是近几年中考的热点问题之一,它主要考查学生的探究能力和创新意识和运用所学数学知识解决实际问题的能力,对学生思维能力的要求很高.本文结合实例谈谈"最值问题中动点确定"的若干求解策略.一、利用轴对称确定动点通过轴对称,画出一个定点关于对称轴的对称点,把折线段变成直线段,由"两点之间线段最短"得线段和的最小值,从而确定此时的动点位置.     

再谈几何最值之阿氏圆问题

<正>在平面几何问题中,当某几何元素在给定条件变化时,求某几何量(如线段的长度、图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题,称为最值问题.这类问题通常可以运用几何性质和代数解法两种方法解决.几何性质中常用的定理(或公理)有"两点之间线段最短"和"垂线段最短";代数解法通常是利用二次函数的最值或判别式法.近年来出现了一类将阿氏圆和"两点之间线段最短"结合求最值问题,下面我们一起来领略阿氏圆在解决     

利用数学模型 探求“线段最值”

<正>教学中发现学生在解决"线段最值"问题时,困难主要有两个方面:一是对解决这类问题常用的几种数学模型认识不充分,掌握不到位;二是这类问题一般是以动态形式呈现的,学生难以掌握运动中的数量关系而导致无法入手.本文主要谈谈如何利用数学模型求线段最值的问题.笔者归纳出最常用的三种数学模型:从"形"的角度构造"两点之间线段最短"和"垂线段最短"这两种几何模型;从"数"的角度建立函数模型来进行分析.现举例加以分析.     

"一类图形的最值问题"教学实录与反思

最值问题是近几年中考命题中的热点问题,也是压轴题常见的问题.本文从"将军饮马"问题出发,结合"垂线段最短""两点之间,线段最短",根据图形自身性质解决"最值问题".     

例析特殊平行四边形中线段最值问题

线段最值是几何学习中的一个重要知识点,其中特殊平行四边形中的线段最值问题是热点.将特殊平行四边形的判定、性质与线段最值进行结合,让问题的难度提升、复杂性增加,这类问题的解决一般有相应的方法.     

求解线段比最值问题的“减元”策略

<正>对于两线段(视作二元)之比的最值问题,常见的解决策略是"减元",即通过构造相似,或二次函数等方法,将"二元"转化为"一元",将问题化为线段的最值问题.下面举例说明.一、构造"X"型相似例1如图1,已知Rt△ABC中,AC=6,     

“线段公理”在求线段和差最值问题中的应用

<正>在几何问题中,有一类求动态中的线段和或差的最值问题,它一般不只是单纯的线段数量的运算,往往要通过构造"两点间的线段"的基本图形,利用"两点之间,线段最短"这一公理来获得最值问题的解决.形象地体现了数形结合的重要数学思想,充分展现了以形助数的思想方法,培养了学生数形转化的能力,所以受到关注与青睐,在各省的中考中也渐渐有所体现.而如何构造"两点间的线段"是解决问题的关键.本文就此举例归纳,望对广大学生有所启示与帮助.知识回放:人教版实验教科书八上,第十二章轴     

相同的题型 不同的思路——“将军饮马”问题的延伸探究

<正>继"胡不归"、"阿氏圆"最值问题外,文[1]探讨了定边对定角三角形中a+kb型最值问题,我们不妨统称为k系数线段和最值问题.这里再介绍一种新型a+kb最小值问题,我们称为第四类k系数最小值问题,虽然是同样的题型,却需要独特的思路: 先构造相似三角形转移线段,再转化为"将军饮马"a+b型. 现整理成文,与大家分享.一、两定两动型     

“将军饮马”问题的应用及拓展

<正>我们知道,典型的"将军饮马"问题属"一动两定"型问题,其本质是将同侧两折线段之和通过轴对称化为异侧两折线段之和.而其拓展、延伸与变式问题,往往需要通过辅助线转化为"将军饮马"问题,最后,利用"两点之间线段最短"或"点到直线垂线段最短"基本原理解决.本文主要探究"一定两动"型和"两定两动"型最值问题的解题策略,供参考.     

“共线法”求线段和最值举例探究——以2022年中考真题为例

“共线法”求线段和最值,即利用“两点之间,线段最短”定理来构建共线模型,由共线原理求线段和最值的一种思路.具体求解时需要关注问题中的动点及轨迹,利用“共线法”来确定最值情形.本文结合实例探究“共线法”求线段和最值.     

“费马点”模型及其应用

<正>线段的最值问题是指在给定条件下,求线段长度的最大值或最小值.近年来求线段的最值问题频繁出现于各地中考中,成为中考的热点,也是学生解决问题的难点.本文介绍通过"费马点"模型来解决有关最值问题.一、费马点模型如图1,以△ABC(三内角都小于120°)的     

求一类动态线段长度的最值

近几年各地中考试卷中频频出现一类求动态几何中线段最值的问题,它不是初中函数最值问题,也无法用对称点进行转化.在教学过程中发现学生对这类动态中的线段最值问题感到比较困难,无从下手.现举例说明.     

定角定线 隐圆浮现

<正>"山重水复疑无路,柳暗花明又一村".在初中数学学习过程中,有一类动点问题——已知一条线段,平面内任意一个动点连结线段两个端点形成的夹角为定角,求这个动点的相关线段长度的最值问题.本文就这类动点最值问题进行举例分析,供大家参考.     

线段最值问题解题策略探讨

线段最值问题是平面几何中常见的问题.该类问题一般以动点为出发点,存在众多变化量,如线段长、几何周长和面积等.求解的关键是确定最值情形,实现动态问题的具体化.     

探究以圆为背景的最值问题

<正>动态几何问题中,最值问题是最具挑战性的,而以圆为载体的最值问题,其背景新颖、构思巧妙、创意独特、内涵丰富,深受命题者的青睐.下面我们撷取几例中考试题,探究其解法.一、利用"两点之间,线段最短"求最小值     

求解线段最值问题的常用方法

<正>求线段的最值问题经常出现在各地中考试卷中.解决这类问题的关键是要结合题意,借助相关的概念、图形的性质,将最值问题转化为相应的数学模型.如,函数增减性、线段公理、垂线段定理、三角形三边关系等进行分析与突破.现对这类问题作一个归类整理.一、利用"将军饮马"数学模型,求线段和的最小值或差的最大值"将军饮马"模型为:在一条定直线上求一点,使得该点到这条直线同侧的两个定点的距离之和最小.其实质是根据"两点之间线     

万变不离其宗——几何最值问题的变式探究

几何中最值问题的依据是:"两点之间,线段最短"、"垂线段最短".在解决最值问题时,通常利用轴对称、平移等变换作出最值位置,从而把已知问题转化为容易解决的问题.本文在课本(人教版八上数学课题学习最短路径问题)中"饮马问题"、"造桥选址问题"的基础上进行变式探究,与同行交流.几何模型一、基本图形1.条件:如图1,点A、B是直线l异侧的两定点.     

动静相宜 数形结合——以线段最值问题为例

最值问题在中考数学中占据着比较重要的地位,大都归结于函数和几何两个基本模型,是对学生综合能力的考查.最值类题型千变万化,方法灵活多样.本文就如何解决含变量的点与确定的直线间的关系,从"数"和"形"两个角度去探究解决线段最值问题的一般途径.