浅谈辅助方程法

用适当方法构造与原问题有关的方程,利用方程的知识使原题获解,此为“辅助方程法”。一、解方程(组) 例1 解关于x的方程 x~4 6x~3-2(a-3)x~2 2(3a 4)x 2a a~2=0 解:化为a的方程: a~2-2(x~2-3x-1)a (x~4-6x~3 6x~2 8x)=0解得a=x~2-4x,a=x~2-2x-2。故得原方程的解x_(1,2)=2±4~(1/2) a,x_(3,4)=1±(3 a)~(1/2)(注;a<-3时,有虚根)     

利用二次函数图象解一类含参变元的问题

含参变元的问题求解是中学数学教学中的难点,本文试图探讨一类通过构造函数、分析图象特征,可以利用二次函数图象作出简易解答的问题的解题规律。例1 已知方程asin~2x+sinx-a-2=0,其中a是不为0的可变常数,x∈[0,2π),试根据a的变化讨论方程的解。分析:按惯例,用求根公式 sinx=(-1±(4a~2+8a+1)~(1/2))/2a,然后根据|(-1±(4a~2+8a+1)~(1/2))/2a|≤1来讨论解的情况,这种解法比较麻烦。现试构造二次函数f(x)=ax~2+x-a-2f(x)=a(x~2-1)+(x-2),因为对于任意a,函数通过两个定点(1,-1),(-1,-3),作出图象,使原方程有解的函数图象必须如下所示,根据图象性质可得出有解     

运用和差换元法解题

在解决一些数学问题时,我们可作如下变换:x=a b,y=a-b,这种变换通常称为和差换元法。利用这种换元法可以改变问题的内部结构形式,从而使解题过程显得灵活而新颖、简捷而巧妙,现举例说明如下。 1 解方程(组) 例1 解方程(6x 7)~2(3x 4)(x 1)=6.(1983年湖北省中学数学竞赛题) 解 原方程可化为(6x 7)~2(3x 4)(3x 3)=18, 设3x 4=a b,3x 3=a-b,则6x 7=2a,b=1/3. ∴(2a)~2(a b)(a-b)=18, 即4a~4-a~2-18=0, ∴a~2=9/4或a~2=-2(舍去), ∴a=±3/2,于是6x 7=±3. 故原方程的解为x_1=-(2/3),x_2=-(5/3).     

一道全国初中数学竞赛题的简单解法

1998年全国初中数学竞赛第12题是: 设抛物线y=x~2 (2a 1)x 2a 5/4的图象与x轴只有一个交点. (1)求a的值; (2)求a~(18) 323a~(-6)的值. 本文目的是对(2)给出两种较简单解法: 解 (1)据题设知,方程y=x~2 (2a 1)x 2a 5/4=0有两个相等实根,所以△=(2a 1)~2-4(2a 5/4)=0,即     

解分式方程一例

解方程 x~2 1/x~2=a~2 1/a~2,经去分母整理可得a~2x~4-(a~4 1)x~2 a~2=0,亦有(a~2x~2-1)(x~2-a~2)=0,所以 x_(1,2)=±1/a,x_(3,4)=±a.a 为非零实数。x_(1,2)与 x_(3,4)均为原方程的解。     

关于代数方程和方程组的解和讨论的题目

1.方程组{ax+y=a~2 x+ay=1 有多少解? 2.方程组{ax+y+z=1 x+ay+z=a x+y+az=a~2 有多少解?3.解方程|x-1|+|x-2|+|x-3|=x。 4.解方程(x+3-4(x-1)~(1/2)~(1/2)+(x+8-6(x-1)~(1/2))~(1/2)=1。5.下列方程是否有实根?     

错在哪里

一、北京师大燕化附中史树德来稿题:已知 A={(x,y)|x~2+2y~2-2ax+a~2-2=0},B={(x,y)|y~2-x=0}。在A∩B≠φ的条件下,求实数a的许可值集。解:点集A即椭圆 1/2(x-a)~2+y~2=1 ①点集B是抛物线 y~2=x_0 ②由题意A∩B≠φ,将②代入①并整理得:x~2+2(1-a)x+a~2-2=0 ③方程③必有实根, ∴ 4(1-a)~2-4·(a~2-2)≥0,解得 a ∈(-∝,3/2]。解答错了!错在哪里?     

献给数学教师的一组填空题

本文献给读者的如下题目,各题具有一些特点和功能,供读者们根据需要而选用。 1.将1/(a~(1/2)+b~(1/2))分母有理化得__(写出过程)。 2.若实数a、b满足关系式a~2-3a+2=0和b~2-3b+2=0。则a+b=__。 3.解关于x的方程(b-c)x~2+(c-a)x+a-b=0得x=__。 4.解关于x的不等式kx~2-3(k+1)x+9>0得__。 5.若不等式(1-m)x~2+(m-1)x+1>0的解集是全体实数,则m的取值范围是__。     

巧用换元法 减少计算量

化简方程((x c)~2 y~2)~(1/2) ((x-c)~2 y~2)~(1/2)=2a得出椭圆的标准方程,教材中使用的方法计量大,学生感到困难,不易掌握,若用换元法进行计算,则十分简捷, 设υ=x~2 y~2 c~2,代入上述方程得 (υ 2cx)~(1/2) (υ-2cx)~(1/2)=2a. 将这个方程两边平方,得 υ (υ~2-4c~2x~2)~(1/2)=2a~2,即(υ~2-4c~2x~2)~(1/2)=2a~2-υ.两边再平方,得υ~2-4C~2x~2=4a~4-4a~υ υ~2,     

圆锥曲线题常见解题误

一、忽视对中心位置的判断,错误使用圆锥曲线标准方程例1已知双曲线的一条准线为x=4,其相应的焦点为(10,0),离心率为2,求此双曲线的方程.错解由已知得x=(a~2)/c=4.∵c=10,∴a~2=40,b~2=c~2-a~2= 60.∴双曲线的方程为(x~2)/40-(y~2)/60=1.分析错解不但随意减少了题设条件"离心率为     

1991年上海市初三数学竞赛试题及解答

一、填空题(本题10小题,前5小题每题6分,后5小题每题8分;共70分) 1.实数x使x-1/x=5~(1/2),则x+1/x=____。 2.若a、b是二次方程x~2-x+g=0的两个根,则a~3+b~3+3(a~3b+ab~3)+6(a~3b~2+a~2b~3)的值是____。 3.设m为实数,方程x~2-5x+m=0有一个根的相反数是方程x~2+mx+5=0的一个根,则m=____。 4.用[a]表示不超过实数a的最大整数,{a}=a-[a]表示a的小数部分,则方程[x~3]+[x~2]+[x]={x}-1的解是____。     

运用共渐近线的双曲线系来解题

高中解析几何课本有这样一类题目:已知双曲线的渐近线方程,再附有其他已知条件,求此双曲线方程.若能运用共渐近线的双曲线系来解此类问题,常能带来方便,本文试图探讨这一问题. 双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1和它的共轭双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1有共同的渐近线x/a±y/b=0. 双曲线系x~2/a~2-y~2/b~2=λ(λ≠0)的渐近线方程也是x/a±y/b=0.     

初中数学总复习自测题

一.选择题: 1 设a≠0,则下列运算中正确的是 (A)a~2·a~3=a~6; (B)(a~3)~2=a~9; (C)(a-1)~0=1; (D)a~2÷a~3=1/a 2 函数y=(x 1)~(1/2)/(x-1)中,自变量x的取值范围是 (A)x≥0; (B)x≠1; (C)x≥-1且x≠1; (D)x≥-1. 3 一无二次方程1/2x~2-4x 6=0的根的情况是     

关于([f(x)]~2)~(1/2)=|f(x)|的逆用

本文准备谈一下关于([f(x)]~2)~(1/2)=|f(x)|的逆用,作为本刊83年第6期“(a~2)~(1/2)型根式变形教学管见”一文的补充。例1.求证|f(x)|~2=[f(x)]~2 证明:|f(x)|=([f(x)]~2)~(1/2) 两边平方,得|f(x)|~2=[f(x)]~2。例2.化简|(1+sinα)~(1/2)-(1-sinα)~(1/2)|(0≤α≤π) 解:原式=(((1+sinα)~(1/2)-(1-sinα)~(1/2))~2)~(1/2) 例3.求证|asinx+bcosx|≤(a~2+b~2)~(1/2)。证明:|asinx+bcosx|=((asinx+bcosx)~2)~(1/2)=(a~2sin~2x+b~2cos~2x+2absinxcosx)~(1/2)=((a~2+b~2)-(a~2cos~2x+b~2sin~2x-2absinxcosx)~(1/2)=(a~2+b~2-(bsinx-acosx)~2)~(1/2)≤(a~2+b~2)~(1/2)。     

三角方程asinx bcosx=C的判别式及其应用

方程ax~2 bx c=0的判别式△=b~2-4ac及运用判别式求解一类范围题早被人们熟知。在三角方程asinx bcosx=c中,高中代数第二册P.31给出了它的有解条件|c/(a~2 b~2)~(1/2)|≤1。我们容易从有解条件中得到a~2 b~2-c~2≥0,仿一元二次方程,我们引出符号△=a~2 b~2-c~2,并把它称为三角方程asinx bcosx=c的判别式。容易证明:方程asinx bcosx=c,x∈[0,2π),当 i)△>0时,有两不等实根;ii)△=0时,有唯一实根;iii)△<0时,无实根。 u=cosx, 略证如下{ x∈[0,2π) v=sinx,     

一类函数值域的新求法

求函数y=(ax~2 bx c)/(a_1x~2 b_1x c_1)的值域一般用判别式法。但是当该函数定义在某个区间例如闭区间[m,n]上的时候,用判别式法求其值域就较困难。本文用新方法解决了这个问题。在解题过程中要用到两个初等函数的一些性质,我们称之为命题一、命题二。 [命题一] 函数f(x)=x a/x(a>0)的值域是(-∞,-2(a~(1/2))]∪[2(a~(1/2)), ∞)。且有 (1) 在(-∞,-a~(1/2)]上,f(x)从-∞↗-2(a~(1/2))。 (2) 在[-a~(1/2),0)上,f(x)从-2(a~(1/2))↘-∞。 (3) 在(0,a~(1/2)]上,f(x)从 ∞↘2(a~(1/2))。 (4) 在[a~(1/2), ∞)上,f(x)从2(a~(1/2))↗ ∞。其中,“f(x)从2(a~(1/2))↗ ∞”表示f(x)能取不小     

判定方程无解的几种方法

一、运用算术平方根的性质例1 解方程解: 原方程无解. 二、运用配方法例2解方程x2-4x+5=0. 解:原方程可化为x2-4x+4=-1.     

初二数学期末测试题及解答

-.选择问:（3分×10=30分）1.下列因式分解正确的是（ ） (A)x~2 6x 5=(x 3)(x=2) (B)4x~2-y~2=(4x y)(4x-y) (C)a~4-x~2-4ax-4a~2=(a~2 x 2a)(a~2-x-2a~2) (D)x~4-4x~2 3=(x~2-1)(x~2-3)2.使分式(x-1)/(|x| 1)有意义的x的取值是（ ） (A)x≠±1 (B)x≠1 (C)x≠-1 (D)x取一切数3.下列多项式因式分解后不含（x-1）的为 （ ） （A） x~3-x~2-x 1 （B)x~2 y-xy-x     

圆锥曲线的性质在解一类不等式中的应用

我们知道,椭圆(x-h)~2/a~2+(y-k)~2/b~2=1内部(外部)的点(x_1,y_1)满足不等式(x-k)~2/a~1+(y-k)~2/b~2<1(>1)。利用这一性质,可较为方便地求解一类无理不等式,兹举例说明一般方法如下。例1.解不等式:(x~2+4x+5)~(1/2)+(x~2-4x+5)~(1/2)>5。     

直线和椭圆相切的充要条件

我们熟知,直线f(x,y)=0和椭圆F(x,y)=0如果相切,在解方程组{f(x,y)=0 F(x,y)=0过程中得出的一元二次方程的判别式等于零。这就是直线f(x,y)=0和椭圆F(x,y)=0相切的充要条件。我们发现,如果直线方程形式为Ax By=1,椭圆方程形式为x~2/a~2 y~2/b~2=1,那么,直线和椭圆相切的充要条件就是a~2A~2 b~2B~2=1。用这个式子解题往往很方便。下面给出这个式子的证明和应用举例。