思路宜直不宜挠

2002年全国高中数学联赛加试第二题: 实数,,abc和正数l使得32()fxxax=+bxc++有三个实根123,,xxx,且满足 (1)21xxl-=;(2)312()/2xxx>+. 求3(2a 3279)/cabl+-的最大值. 《福建中学数学》(2002年,12期,P.33-34)的解法,很妙,但思路显得不很清晰. 下面,我们给出思路较为直截了当的另解. 利用韦达定理 =g33(2279)/acabl+- 31231231(2()279(xxxxxxx=-++-++ 32312233121)())/()xxxxxxxxxx+++-3223123112(23()3(4xxxxxxx=-+++-+ 22222311212)(233xxxxxxx---+ 332212))/()xxx- =121233321219222()()2xxxxxxxxxx++---+-- 令12321()/()2xxuxxx+=--,由已…     

绝对值不等式的一个性质及应用

定理 设1()||iifxxa==-,其中12aa# naL. (I) 若n为偶数,则当/2/21nnaxa+#时, min1/21()()nnnfxaaa-+=+++L /2/21(nnaa--+1)a++L. (II) 若n为奇数,则当(1)/2nxa+=时, min()fx1(1)/21()nnnaaa-++=+++L (1)/21(na+--(1)/221)naa+-+++L. 证明(I) 12()|()()fxxaxa?+-++L (x/2/21/22)()()nnnaaxax++-+-+-++L (na-)|x1/21()nnnaaa-+=+++L /2/21(nnaa--++L1)a+. 当且仅当ixa-且/2niax+-同号(1,2,i= ,L/2)n,即/2/21nnaxa+#时,上式取等号. (II) 12()|()()(fxxaxax?+-++-L (1)/2)na-(1)/21(1)/22()()nnaxax+++++-+-+L (1)/2()||()|nnaxxa++-+-1…     

广义奇偶函数的性质及其应用

文[1]给出了广义奇偶函数的概念: 对于函数()fx,若存在常数,ab,使得函数定义域内任意x,都有()()faxfbx =--成立,则称()fx为广义奇函数.特别地,当0ab==时,()fx是奇函数. 对于函数()fx,若存在常数,ab,使得函数定义域内任意x,都有()()faxfbx =-成立,则称()fx为广义偶函数.特别地,     

一般化思维方法在数学教学中的应用（二）

(这里a、b、c都是有理数,0,bc是无理数). 探究 设abc 是有理系数一元n次方程(2)n()0fx=的根,我们来研究abc-是不是也一定是这个方程的根.为此,只须研究()fx能否被()()xabcxabc--- 整除. 令()()()xxabcxabcj=--- 2222xaxabc=- -, 设()()()fxqxxpxrj=? . (4) 因为()fx、()xj分别是一元n次及一元二次有理系数多项式,所以p、r为有理数,且()qx为有理系数2n-次多项式. ∵abc 是()0fx=的根, ∴()0fabc =, 即 ()()abcqabcj ()0pabcr =. 显然 ()0abcj =, ∴()0pabcr =, 故 pbcrpa=--. (5) ∵rpa-为有理数,0,bc为无…     

等差数列前n项和Sn的一个性质与应用

在等差数列这一单元中,如果不能灵活恰当地运用等差数列的性质解决有关问题,常常会导致小题大做.相反,若能充分利用性质解决相关问题,则能“大题小做”,达到事半功倍之效. 下面就介绍等差数列前n项和nS的一个好用的性质:设数列{}na是等差数列,nS是其前n项和,则mnmnSSSmnmn -=- ,其中m、nN. 证明一 由{}na是等差数列,则nS=()112nnnad- 22122ddnanAnBn骣= -= 琪桫 (其中2dA=,12dBa=-),则2mSAmBm= , 从而 22mnSSAmBmAnBnmnmn- --=-- ()()22AmnBmnmn- -=- ()()()AmnmnBmnmn- -=- ()AmnB= , 又 ()()2mnAmnBmnSmnmn = ()Amn…     

幂线性不等式的性质及应用

文[1]给出了不等式: 设,,,iaars均为正数,(1,2,,)in=L. (1) 若1nrriiaa=,则1nssiiaa=>()sr<; (2) 若1nrriiaa=,则1nssiiaa=<()sr>. 文[2]从指数的角度给出了不等式: 设,,,iabpp均为正数,,,ixxR ipp (1,2,.2)inn=矻. (1)若1,inxriipapa=则1(nxsiipbpba=>< 1b<1)ab>>或; (2)若1,inxriipapa=则1(nxsiipbpbb=<< 11)aba<>>或. 本文从幂的角度亦给出文[1]的推广: 定理 设,,,,iiapars均为正数,(ippi? 1,2,.2)nnL. (1) 若1,nrriiipapa= 则 1nssiiipapa=>()sr<. ① (2) 若1,nrriiipapa= 则 1nssiiipapa=<()sr>. ② 证明 11()()…     

请别伤害他们——数学课堂上几个意外事件的案例及随想

在数学课堂上 ,对于老师提出的问题 ,学生难免会“标新立异”、“背经离道” ,发生意外事件 ,甚至让教师措手不及 .现把我听课时遇见的三则案例实录如下 ,供给大家思考 .案例 1　Ａ老师讲授高中《数学》第一册 (上 )第132页练习第 4题 :已知数列 {ａｎ}是等比数列 ,Ｓｎ 是其前ｎ项的和 ,求证 :Ｓ7,Ｓ1 4-Ｓ7,Ｓ2 1 -Ｓ1 4成等比数列 .设ｋ∈Ｎ ,Ｓｋ,Ｓ2ｋ -Ｓｋ,Ｓ3ｋ -Ｓ2ｋ 成等比数列吗 ?Ａ教师给出了如下分析 :证法 1　 (公式法 )当ｑ=1时 ,很容易证明 ;当ｑ≠ 1时 ,由Ｓ7=ａ1 (1-ｑ7)1-ｑ ,Ｓ1 4=ａ1 (1-ｑ1 4)1-ｑ ,Ｓ2 1 =ａ1 (1-…     

一个数列问题的再研究

人民教育出版社《数学》(必修)第一册(上)第129页习题3.5第7题:已知数列{a_n}是等比数列,S_n 是其前 n 项和,a_1,a_7,a_4成等差数列,求证2S_3,S_6,S_(12)-S_6成等比数列.文[1]给出了如下的一个推广:定理1 已知数列{a_n}是公比不为±1的等比数列,S_n 是其前 n 项和,若 xa_m,ya_(m 2k),za_(m k)成等差数列(其中 x,y,z 成等差数列,且均不为0,m,k 均为正整数),则2yzS_k,z~2S_(2k),x~2(S_(4k)-S_(2k))成等比数列.     

高次多项式因式分解的几种方法

因式分解在中学数学中占有一个比较重要的位置,但大部分同学对高次多项式的因式分解却比较陌生.这里,我们对一些高次多项式的因式分解的方法作分析介绍. 1 高次多项式因式分解的一般方法 首先,先介绍下面两个定理. 定理1 设111()nnnnfxaxaxax--=+++L 0a+是一个整系数多项式,如果有理数/vu是它的一个根,其中u与v互素,则|nua,0|va.特别地,当1na=时,()fx的有理根都是整数,且为常数项0a的因数. 证明 因为/vu是()fx的根,故uxv-整除()fx,设 1110()()()nnfxuxvbxbxb--=-+++L,① 则比较两端n次项系数和常数项,得: 100,()nnaubavb-==-. …     

一个等式及其应用

本文将介绍一个十分有用的恒等式.定理设a、b为任意复数,nN且1n,记abx+=,aby=,则21423/2nnnnnnabxnxynCxy---+=-+2634/3nnknCxyT---+++LL112222(1)(1)2nnnnnxyy---+-(1)这里KT为第k(,2)kNk纬项,且12221(1)/(1)kknkkknkTnCxyk---+--=--.为证定理,先证明以下引理设,nkN,且3nk>?则232111121kkknknknknnnCCCkkk------+-++=---.证明2111knknCk--++-231()1kknknknCCk----+=+-=22311111kkknknknknnCCCkkk------+++---23123112kknknknnkCCkkk-----+=+?--311knknCk--++-23112kknknknnCCkk-----=+--.下面,我们应用数字归纳法证明定理.①1n=…     

一道IMO试题的推广

设 a、b、c为三角形的三边长,试证 222()()()0ababbcbccaca-+-+-? (1) 这是一道第24届IMO试题,本文从指数方向给出上述不等式的推广. 定理 设 a、b、c为三角形的三边长, 01g, 所以 abcggg+>; 同理,有 bcaggg+>,cabggg+>; 故以ag、bg、cg为三边长可构成三角形. 引理2 设 a、b、c为三角形的三边长, 2l,…     

Nonlinear model predictive control with guaranteed stability based on pseudolinear neural networks

~~identificationis7-7-1,where3nm==,andtheRPEalgorithmisusedtoupdatetheweightingofPNN.Thewholetrainingprocessuses800iterations.InordertoovercometheinaccuracyofPNNmodel,thecontrollerstructureisacompositeoneasfbff()()()ututut=+,(37)wherefb()utistheoutputoffeedbackcontroller,ff()utistheoutputofpredictivecontrollerdescribedbyEq.(14),with0.20=,0.40=,andmax5K=.Insimulatedclosedloopcontrol,ufb(t)isaproportionalcontroller,fb()()Putket=and5.0Pk=.Theset-pointofthesystemisd0.15,if040,and120()0.24,if4…     

100秒语文趣味知识小测验

成语对对子(注意对仗要工整,意思要相对)。粗茶淡饭()流芳百世()井然有序()指鹿为马()固若金汤()精雕细刻()雪中送炭()伶牙利齿()2.说出有“舌”字的成语,说得最多的胜出。3.各举出以一、二、三、四、五、六、七、八、九、十开头的俗语(包括成语、惯用语等)。例如:一是一,二是二4.下面人名各取自什么成语?杜鹏程()陈残云()王任重()刘海粟()丁慧中()焦若愚()5.成语填空()服()服()德()德()讹()讹()牙()牙老()老()()计()计神()()神精()()精痛()()痛欺()()欺日()()日微()()微6.怪体诗如何读?龙虎虎望山山山湖湖湖湖湖海海海海会仙仙仙仙答案1.粗…     

小学数学一年级上册期末测试题(人教版)

一、填一填(每空1分,共25分)1.看图填数。()()()2.1011()()14()16()()19()3.在里填上“>”<”或“=”。10-56817-108 4146 915123 85 7134.加2。5.6.长方体有()个球有()个正方体有()个圆柱有()个二、小动物分别读的是哪一个钟面?请你用线把它们连起来(8分)三、看谁算得对(28分)2 7=10 3=9-6=5 8=9-4=10-6=7 3=9-9=7 10=4 9=9 9=6 7=18-8=7 7=0 7=4 6=2 3 4=3 7-5=8-6 9=9-8 8=9-6-3=12 3-5=四、把算式和盒子连起来(12分)9 79 68 810 77 814 18 917 08 77 96 912 5五、看图列式计算(10分)六、把同类的圈起来(4分)七、用数学(13分,其中第1小题…     

对2004年全国高考湖南文科卷第20题的发掘

试题　已知数列 {an}是首项为a且公比q不等于 1的等比数列 ,Sn 是其前n项和 ,a1、2a7、3a4 成等差数列 .(Ⅰ )证明 1 2S3、S6 、S12 -S6 成等比数列 ;(Ⅱ )求和Tn =a1+ 2a4 + 3a7+… +na3n- 2 .该题源于教材习题 ,难易适中 ,可运用多种方法求解 ,体现了“重基础、出活题、考能力”的原则 .本文将从三个方面对该题加以发掘 .1　教材背景发掘背景 1　高中《数学》第一册 (上 )第 1 2 9页习题3.5第 7题 :已知数列 {an}是等比数列 ,Sn 是其前n项的和 ,a1、a7、a4 成等差数列 .求证 2S3、S6 、S12 -S6 成等比数列 .背景 2　高中《数学》第一…     

对一道高中数学教材练习题答案的商榷

《全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 ·必修 )数学第一册 (上 )》(人民教育出版社中学数学室编著 ,2 0 0 0年 3月第 2版 )第 1 33页练习第 4题 :已知数列 {ａｎ}是等比数列 ,Ｓｎ 是其前ｎ项的和 ,求证Ｓ7,Ｓ1 4 -Ｓ7,Ｓ2 1 -Ｓ1 4 成等比数列 .设ｋ∈Ｎ ,Ｓｋ,Ｓ2ｋ-Ｓｋ,Ｓ3ｋ-Ｓ2ｋ 成等比数列吗 ?配套的教师教学用书 (人民教育出版社中学数学室编著 ,2 0 0 0年 3月第 2版 )上给出的参考解答 :由Ｓ7=ａ1 (1 - ｑ7)1 - ｑ ,Ｓ1 4 =ａ1 (1 - ｑ1 4 )1 - ｑ ,Ｓ2 1 =ａ1 (1 - ｑ2 1 )1 - ｑ ,可得Ｓ7· (Ｓ2 1 -Ｓ1 4 ) =(Ｓ1 4 -Ｓ7)…     

《数列》单元测试题

一、选择题(每小题5分)1.等差数列{an}中,已知a1≠0,S10=4S5,则适合an=9a1的n值是()A.2B.3C.4D.52.在等比数列{an}中,已知a1=1,公比q∈R,且q≠1,an=a1·a2……a10,则n等于()A.44B.45C.46D.473.首项为81,公差为-7的等差数列{an}中,与0最接近的项是()A.a11B.a12C.a13D.无法确定4.{an}为等比数列,且S3=3a3,则公比q值为()A.-12B.12C.1或-12D.-1或125.已知数列{an}是等差数列,a1+a2+a3=15,an+an-1+an-2=78,其前n项和Sn=155,则n=()A.15B.12C.10D.86.在等比数列{an}中,a1+a2+…+a5=3,a6+a7+…+a10=9,则a11+a12+…+a15=()A.27B.36C.40D.…     

一道课本习题的解法探究与延伸

人教A版教材高中数学必修二第133页第8题:在直角ΔA BC中,斜边BC为m,以BC的中点O为圆心,作半径为()2mn n<的圆,分别交BC于P,Q两点,求证2 2 2AP+AQ+PQ为定值.解法1如图1,建立直角坐标系,设坐标A(0,0),B(0,b),C(c,0),1 1P(x,y),2 2Q(x,y),P,Q两点所在的圆的方程与点B,C所在的直线方程联立:2()()2 21c b x y n x y c b+=+=,,2 2 2 2 22 22(1)04b c b c b x x n cc++++=,1 2x+x=c,12 2 222 24c c n x x c b=+,同理可得:1 2y+y=b,2 2 21 22 24b b n y y c b=+,A C BP O Q x y图1     

韦达定理在求解一类一元高次方程中的应用

问题的提出: 解方程2(67)(34)(1)6xxx =. 解 原方程可化为 2(67)(68)(66)72xxx =, 设2(67)ax= , 2(68)(66)(67)1bxxx= = -. 显然()1ab -=, ()72ab-=-. 从而可构造一元二次方程2720yy--=则,ab-为该方程的两根. 解得8y=-或9y=,那么8a=-或9a=.即2(67)8x =-(舍去)或2(67)9x =,进而求得12/3x=-或25/3x=-. 分析本题的解法,我们发现本题并没有直接给出两数之和,也没有给出两数之积,原方程通过变形,运用字母代换数字,通过韦达定理来构造方程,使问题化难为易.本文把这种解法推广到一般结论,探讨这类一元高次方程在什么条件下可以运用这种解法.…     

用“假设法”解题也要创新

现行高中《数学》(必修 )第一册 (上 )第3 .5节例 4是 :已知Sn 是等比数列 {an}的前n项和 ,S3,S9,S6 成等差数列 ,求证a2 ,a8,a5成等差数列 .这是一道难得的好题 ,具有很好的研究价值 .一、例题引申引申 1:若Sn 是公比q≠ 1的等比数列{an}的前n项和 ,a2 ,a8,a5成等差数列 ,则S3,S9,S6 成等差数列 .证明 :设等比数列 {an}的首项为a1 (a1 ≠ 0 ) .∵a2 ,a8,a5成等差数列∴ 2a8=a2 +a5.即 :2a1 q7=a1 q +a1 q4∴ 2q6 =1+q3,∴q3+q6 =2q9.又q≠ 1,∴S3+S6 =a1 ( 1-q3)1-q +a1 ( 1-q6 )1-q=a1 [2 -(q3+q6 ) ]1-q=2a1 ( 1-q9)1-q =2S9.∴S3,…