分离参数法在二次方程根分布问题中的应用

已知二次方程的实根分布在给定的区间内，求方程中参数的取值范围问题，称为二次方程根分布问题．二次方程根分布问题在高中数学中应用十分广泛，许多数学问题可以转化为二次函数根分布问题．解二次方程根分布问题的基本原则是数形结合，     

二次方程根的讨论及应用

对于二次方程ax~2 bx c=0(a≠0),初中教材对其根的存在性作了比较全面的讨论,但对于其根的符号及分布,学生仍不太了解.为了加深理解和灵活运用二次方程的有关知识,提高分析问题和解决问题的能力.我们给出以下三个直观的命题,用来处理二次方程根的问题是非常有效的.     

二次方程的整数解问题

近几年来，很多数学竞赛试题中常出现含有参数的且有整数根的二次方程的问题．笔者结合具体的例子，介绍解决这类方程的基本方法．     

一元二次方程与二次函数

1．二次方程与二次函数一元二次方程ax~2 bx＝0与二次函数y=ax~2 bx c(a≠0)有着密切的联系,二次方程的根实质上是相应二次函数的零点(即使函数值为零的点),许多二次方程的问题,特别是关于二次方程的根的分布问题,要利用二次函数及其图象才能解决,反之,有关二次函数的问题,也常利用二次方程来解。     

二次方程根的分布在高考中的应用

一元二次方程根的分布问题常借助于二次函数的图象来求解，而二次函数又是数学高考常见的题型．因此，二次方程根的分布问题也一直是高考考查的热点，经常在解答题甚至是压轴题中出现．笔者现将这类问题归类整理，供同学们复习时参考．     

字母系数二次方程解的讨论

应用根的判别式可以判断二次方程解的情况,对数字系数的二次方程解的讨论比较容易,而对字母系数的二次方程解的讨论就不那么简单,需按题目要求进行讨论.本文试分以下几类情况例说.     

例谈等价转化思想在解高考题中的应用

文[1]读后受益匪浅,但在实际解题过程中,将这类问题转化为二次方程根的分布问题,计算繁琐,而且学生在根的分类讨论过程中,常会出现遗漏的情况．在实际教学过程中,我们发现可将这类问题转化成数形结合问题．下面仍以文[1]的例子,展开讨论．     

剖析弹性碰撞 巧解竞赛题

第22届全国中学生物理竞赛预赛第五题是求解由弹性碰撞引发的临界值问题．在弹性碰撞中，动量守恒，动能也守恒，根椐两个守恒关系，可列出二元二次方程组，以达到解决问题的目的．本文通过剖析弹性碰撞，探寻一种不必列出二次方程组的方法，巧解有关弹性碰撞的问题．     

挖掘圆锥曲线的“内部”功能

在解决直线与圆锥曲线位置关系问题时，我们通常运用二次方程根的判别式与韦达定理．但有时显得运算量大，费时费力．若抓住圆锥曲线的“内部”特征，数形结合，往往可使问题轻易获解．     

根的判别式的几点应用

一元二次方程根的判别式巧妙地应用于非二次方程问题．别致新颖、方便简捷。     

圆锥曲线题中的范围与定值

1考查要求 范围问题和定值问题是圆锥曲线综合问题中2类常见的题型．解析几何的主要思想是用代数方法处理几何问题，因此，要解决圆锥曲线的综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定理、公式，还要善于综合运用代数的知识和方法，譬如讨论一元二次方程根的情况、研究二元二次方程（组）、求代数式的最值或范围等．     

用“△”法探究一类存在牲问题

对中考题仔细推究，有利于把握它的基本规律并指导解题实践．这里用二次方程根的判别式法对两道中考“矩形存在性问题”进行探究．     

简化或避免讨论的常用策略

在数学题中有一些分类讨论问题，当用常规方法处理比较繁杂时，如能采用适当的变换策略，就可简化或避免讨论．下面结合一些常规问题谈谈简化或避免讨论的几种常见策略．一、变更主元策略有些分类讨论问题中，往往有几个变元，其中常有一个变元处于较为有利的位置，不防称其为主元．受思维定势的影响，学生在解题时，总是抓住主元不放，结果造成分类复杂，解题过程繁琐．如能采用变换主元，反宾为主的策略、则往往化繁为简，简化或回避讨论．例1已知二次方程ax~2＋2（2a-1）x＋4a－7＝0中的a为正整数．问a取何值时，此方程至少有一个整数根…     

含参非二次议程根的问题解法分析

含参非二次方程根的问题是高考常考的知识点,这类问题涵盖函数的单调性、极值、最值等基本知识,主要考查运用导数研究函数性质的方法,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法．含参数非二次方程根的讲座是函数问题中的难点及重点,复习时应做到条理清楚、分类明确、不重不漏．学生们求解起来往往颇感固难,本文就非二次函数方程根的问题常见类型,结合一些高考试题和模拟试题进行分析,探寻解题策略,以供参考．     

中考试卷中以三角函数为根的方程问题的类型及解法

在近几年各省市的中考试卷中，常见有以锐角三角函数为一元二次方程的两个根问题．解这类综合性问题，既要考虑锐角三角函数定义、同角三角函数关系等几何知识，又要联系一元二次方程的有关知识．本文将它的类型及解法作一些介绍，供参考．一、已知直角三角形的两个锐角的三角函数值是二元二次方程的两个根，作出这个一无二次方程．例1在Rt凸ABC中，LC—90o，若其周长为ZH＋4，斜边上的中线为2．（1）试求这个直角三角形的面积；（2）试求这个直角三角形内切圆的面积；（3）若这个直角三角形两个锐角的正切tgA和tgB是一个一元二次方程的…     

巧用数形结合解决二次函数问题

一、借助二次函数图象,解决二次方程根的分布问题二次方程的根其实质就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标,因此,可以借助于二次函数及其图象,利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题.     

实系数方程ax~2+b｜x｜+c=0的根的个数问题

实系数方程ａｘ２＋ｂ｜ｘ｜＋ｃ＝０的根的个数问题□徽县一中李宗奇我们知道,实系数二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的根的情况比较简单,容易解决．但是实系数方程ａｘ２＋ｂ｜ｘ｜＋ｃ＝０（ａ≠０）的根的情况,随着解集的变化而不同,本文利用分类讨论思想...     

一元二次方程根的分布与系数的关系

一元二次方程根的分布与系数的关系常州市新桥中学黄启仙元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）根的分布与系数有着密切关系，讨论两者之间关系，有利于巩固一元二次方程和二次函数有关知识。有些方程，不必去解，就可知道根的分布。反之，若知道根的分布，则系数应满...     

二次方程的历史

甲：二次方程是中学数学的重要内容之一，可否系统地介绍一下二次方程研究的历史？乙：可以．二次方程指的是未知数最高次数是２的代数方程．在历史上，它曾是代数学的中心问题之一，对它的研究是人们扩张数域的动力因素之一．甲：最早的二次方程知识产生于什么时候？乙：...     

例说二次方程根的分布问题

求参数的范围问题是近几年高考的一类重要题型,若能构造二次函数,利用二次方程根的分布原理进行讨论,则能简化运算提高解题速度,达到事半功倍的效果.