柯西不等式的联想与感悟

不等关系和相等关系是基本的数学关系,它们在数学学习与研究、应用中起着重要的作用.强调不等式及其证明的几何意义及数学背景,可以加深学生对不等式数学本质的理解.以提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题能力.以柯西不等式证明为例,柯西不等式:a1,a2,b1,b2∈R,则(a1b1+a2b2)2≤(a21+a22)(b21+b22).(高中实验教材(湘教版)选修4-5)教材用构造两个向量α=(a1,a2),β=(b1,b2),由cos2<α,β>≤1得(a1b1+a2b2)2(a21+a22)(b21+b22)≤1,即(a1b1+a2b2)2≤(a21+a22)(b21+b22).教材又通过构造二次函     

“两边夹逼＂策略助你突破思维瓶颈

在不等式中有一个显而易见的性质“若口≤x≤a则x=a”,这就是不等式的“两边夹”性质,此性质的一个应用便是数列极限‘的两边夹法则．在解决某些数学问题时,可由题意列出若干个不等式,然后运用夹逼性质“逼”出某个变量的值,从而实现由不等向相等、由变量向常量的转化,这是在不等中寻找相等关系的重要途径．本文通过典型例题浅谈“两边夹逼”策略在突破思维瓶颈成功解题的应用．     

不等式问题的三种特殊求解思路

一、齐次化与非齐次化齐次化方法与均值不等式、柯西不等式(或与它们等价的不等式)紧密联系,常应用于给定某个等量关系的不等式问题,也可应用于分式向常数的不等转化等.不等式的齐次化常可通过非齐次化的题设条件转化得到.例1(1)已知a2+b2=c2+d2=16,求证:|ac+bd|≤16;(2)已知a,b,c>0,ab+bc+ca=1,求证:a+b+c≤1/3abc;     

例谈a≤f（x）≤b→（f（x）-a）（f（x）-b）≤0的应用

众所周知在二次不等式解的法则中有（x-a）（x-b）≤0→a≤x≤b，（a〈6），那么以f（x）代换x，必有（f（x）-a）（f（x）-b）≤0→a≤f（x）≤b，虽然利用a≤f（x）≤b→（f（x）-an）（f（x）-b）≤0，可以将双链不等式转化为单向不等式，解题中我们若能注意利用这种转化关系，不少有关双链不等式的问题将会出奇制胜的得到解决，从而可以避免解不等式组或分向证明等复杂的运算过程，令人拍案叫绝．下面以例示明其奇效．     

对数平均数不等式的证明与应用

已知a,b为两不等的正实数,我们称a-b/lna-lnb为a,b的"对数平均数".它与a,b的"几何平均数√ab"及"算术平均数a+b/2"之间有如下不等关系:√ab相似文献   

例析数学解题中夹逼策略的运用

夹逼策略，是指先根据题意，建立起不等式关系，再依据两边夹的法则（或称逼等原理）来确定某些参数的值，从而实现由不等关系向等量关系的转化；实现由运动变化状态向静止状态的转化，这是在不等中寻找相等，运动中寻求静止的重要途径。     

一道高考题的研究与拓展

<正>原题(2012年高考数学江苏卷14题)已知正数a,b,c满足:5c-3a≤b≤4c-a,cln b≥a+cln c,则b a的取值范围是.解题思路与方法的探讨:该题所给条件让人产生一种似曾相识的感觉,即与线性规划形式上比较相近,但不同之处有两点.一是条件中的不等关系存在多于两个变量,二是存在着非线性关系,而如果能通过合理使用等价转化,数形结合等思     

探讨等式和不等式的关系--例析一道竞赛题

高中“数学课程标准”指出:在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系,不等关系和相等关系是基本的数学关系.它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用.用不等的思维研究相等关系,用相等的思维研究不等关系是学好不等式的有效手段.例(05湖南竞赛题)若正数 a,b,c 满足     

如何让不等关系"显山露水"——圆锥曲线离心率范围的探求策略

离心率是圆锥曲线的一个重要的基本量，求离心率的范围是常见的题型，这类问题往往小题精致，大题综合，数量关系隐藏得深，对学生的思维能力和运算能力有较高的要求．求解的思路是设法建立关于a，b，c的齐次不等式，然后转化为关于离心率e的不等式，进而求出e的范围．而其中的关键是如何分析题意、细心挖掘“深藏不露”的不等关系，实现等量关系向不等关系的转化．[第一段]     

如何让不等关系“显山露水”——圆锥曲线离心率范围的探求策略

离心率是圆锥曲线的一个重要的基本量，求离心率的范围是常见的题型，这类问题往往小题精致，大题综合，数量关系隐藏得深，对学生的思维能力和运算能力有较高的要求．求解的思路是设法建立关于a，b，c的齐次不等式，然后转化为关于离心率e的不等式，进而求出e的范围．而其中的关键是如何分析题意、细心挖掘“深藏不露”的不等关系，实现等量关系向不等关系的转化．     

也谈关于三角形边角关系的一些性质

文[1]介绍了关于三角形边角关系的两个结论.实际上,在三角形中还有命题1设a,b,c为△ABC的三边长,当an,bn,cn(n∈N*)成等比数列时,∠B≤60°.证明因为a,b,c为△ABC的三边长且an,bn,cn(n∈N*)成等比数列.所以b2n=ancn,即b2=ac.由cosB=a2+2ca2c-b2=a2+2ca2c-ac≥21,得∠B≤60°.命题2设a,b,c为△ABC的三边长,当a1n,b1n,c1n(n∈N*)成等比数列时,∠B≤60°.证明因为a,b,c为△ABC的三边长且a1n,b1n,c1n成等比数列,所以(b1n)2=a1n·c1n.即b12=a1c,即b2=ac.由cosB=a2+2ca2c-b2=a2+2ca2c-ac≥21,得∠B≤60°.由命题1和命题2得定理设a,b,c为…     

利用图像(形)求解数学问题方略探究

正一、利用函数图象解题例1(2013年山东济宁中考)已知ab=4,若-2≤b≤-1,则a的取值范围是()A.a≥-4 B.a≥-2C.-4≤a≤-1 D.-4≤a≤-2解析:由ab=4可得a=4,即a与b成反比例b函数关系,画出反比例函数图象,由自变量b的取值范围,探求函数a的取值范围.评析:上述方法虽然叙述复杂了点,但一眼就能看出结果,从"形"的角度直观地发现了范围,降低了运算量,这种数形结合的分析策略显然对于选择题的求解速度大有好处,值得同学们积累.     

巧用均值凑数法证明一类不等式

高中教材中基本不等式a+b2 ≥ab(a>0 ,b >0 )是证明不等式时经常要用到的 ,等号成立的条件是“a=b” .若对a +b =P(定值 )当且仅当a =b=P2 (定值 )时 ,ab才取得最大值 .利用这一结论 ,我们可以证明一类不等式 :例 1　已知a、b都是正数 ,且a +b =1,求证 :　　　a+1+b+1≤ 6.证明　由a +b=1,知当a =b=12 时有a +1=b +1=32 ,于是有a +1· 32 ≤a+1+322 ,b+1· 32 ≤b+1+322 ,两式相加 ,得a +1· 32 +b +1· 32≤ a+b +2 +32 =3 ,即　　a+1+b+1≤ 6.上式的证明过程中先凑出了一个数32 ,这是根据字母a、b在题设条件和结论中地位是对等的 (即在条…     

几道数学竞赛题的简解

题1设a、b、c为正实数,且a2 b2 c2 abc=4.证明:3abc≤ab bc ac≤abc 2.(第30届美国数学奥林匹克)证明:由4=a2 b2 c2 abc≥abc 3(abc)32,即abc≤1可知ab ac bc≥3(abc)32≥3abc.由题设知,a、b、c中一定有且只有两个数或者都不大于1,或者都不小于1.不妨设这两个数为a、b.则c(a-1)     

由两道题想到的……(高二、高三)

题1 已知实数a,b,c满足a b c=5,a2 b2 c2=9.求证:1≤a,b,c≤7/3.分析1 注意到a,b,c的对称性,只需求出其中一个的取值范围即可,可视其中一个为主元(如a),将已知式变形,再寻求两式之间的联系,建立不等关系,求出主元的取值范围.     

离心率范围的探求策略

<正>离心率是圆锥曲线的一个重要的基本量,求离心率的范围是常见的题型.这类问题往往小题精致,大题综合,数量关系隐藏得深,对学生的思维能力和运算能力有较高的要求.求解的思路是设法建立关于a,b,c的齐次不等式,然后转化为关于离心率e的不等式,进而求出e的范围.而其中的关键是如何分析题意、细心挖掘"深藏不露"的不等关系,实现等量关系向不等关系的转化.本文结合具体问题,研究如何寻找不等关系,探求离心     

举一反三 触类旁通——一道课本习题的变式及应用

高中《数学》(试验修订本·必修)第二册(上)第11页习题6.2第1题是:求证:(a2+b)2≤a22+b2.将上述不等式变形可得a2+b2≥(a+2b)2.(*)不等式(*)可利用均值不等式直接证明,也可借助恒等式2(a2+b2)=(a+b)2+(a-b)2及(a-b)2≥0证明.不等式(*)有着广泛的使用价值,本文略举数例加以说明.一、证明不等式【例1】设c是直角三角形的斜边,a、b是两条直角边,求证:a+b≤2c.证明:由题设得a2+b2=c2,由不等式(*)得c2=a2+b2≥(a+2b)2,即(a+b)2≤2c2,亦即a+b≤2c.【例2】己知a、b∈R+,且a+b=1,求证:a+21+b+21≤2.证明:由不等式(*)及已知有2=(a+21)+(b+21)≥(a+21…     

一个数学问题的研究性学习

1　问题《数学通报》2 0 0 2年第 8期“数学问题解答”栏中的第 1 3 88题为 :已知x >0 ,y>0 ,且x +y =1 ,求证(x +y) ( 11 +x+11 +y)≤ 43 .①本题由黑龙江的刑进喜提供 ,证明发表在该刊第9期上 .证明 :由已知得①式 ( 1 +2xy) ( 32 +xy+22 +xy)≤1 63 ( 1 +u) ( 38+u2 +18+u2 )≤ 43(其中u =2xy) 3 ( 1 +u) 8+u2 ≤ 4u2 -9u +2 3 94( 1 +u) 2 +( 8+u2 )≤ 4u2 -9u +2 3 u2 -1 8u +1 7≥ 0 (u -1 ) (u -1 7)≥ 0 u≤ 1 2xy≤x +y .2　转化在①式 ,令x =aa +b,y =ba +b,可得等价不等式 :已知　a >0 ,b >0 ,求证(a +b)·( 1a +2b+12a +b)≤ …     

夹逼法妙解三角题

<正>这里的所谓夹逼法，即利用a≤b≤a得出a=b的结论.从集合角度理解，若A■B,B■A,则A=B.推广到一般，若a≤f(x)≤a,则f(x)=a.这是一个朴素且自然的结论，但在高中数学的三角形问题中有不少应用，我们经常用它来解决“疑似条件不足”或者“条件是不等式结论是等式”等问题.利用夹逼法可以实现不等关系向等量关系的转化，本文借用它巧解数学题，供同仁参考.题型1 应用三角函数的有界性进行夹逼例1 在△ABC中，     

例说“两边夹法则”在解题中的应用

<正>数学中的"两边夹法则":如果实数x,a满足a≤x≤a(即x≥a且x≤a),则必有x=a.在求解某些数学问题时,运用"两边夹法则",可实现不等关系向等量关系的转化,达到简捷解答问题的目的.下面举例来说明"两边夹法则"在解题中的应用.