莫勒定理又一构造法证明

莫勒定理将任意三角形的各角三等分,则每两个角的相邻的三等分线的交点构成一个等边三角形。如右图,△QRP是等边三角形。单(土尊)老师钧用构造法作出证明,这里给出另一种构造法证明     

莫来三角形的面积

莫来定理三角形各内角的三等分线中,靠近每边的两条的交点(共三个)构成等边三角形(如图1所示).下面,笔者来推出莫来三角形△PQR 的面积与原三角△ABC 的面积之比的公式。     

与莫勒三角形有关的一个不等式

本世纪初,著名数学家富兰克·莫勒(F·Morlex)发现了“数学中最令人吃惊而又全然意外的定理”:将任意三角形各角三等分,则每两个角的相邻三等分线交点构成正三角形,此三角形被称作莫勒三角形。本文将给出与它有关的一个几何不等式,此不等式是欧拉不等式,R≥2r的一种新隔离,从而也加强了欧拉不等式。定理如图,△DEF是莫勒三角     

优莫勒三角形中的共点线

与三角形的一个内角有公共顶点且与此内角的和为周角的角称为该三角形的优角. 将任意三角形的优角三等分,以分别接近于三条边的优角的三等分线的反向延长线的交点为顶点的三角形称为该三角形的优莫勒三角形.本文将讨论与此有关的共点线问题.     

莫莱定理及其两种演变的统一证法

文[1]P_(456)总复习题第78题:一三角形的内外角三等分线共十二条,求证:(1)在六条内角三等分线中,与每边相邻的两线各交于一点,这三交点是一正三角形的顶点,(Morley 定理)如图1.(2)在六条外角三等分线中,与每边相邻的两线各交于一点,这三交点也是一正三角形的顶点;如图2.(3)在每一内角的两条三等分线及不相邻外角的四条三等分线中,与每边相邻的两线各交于一点,这三交点也是一正三角形的顶点.如图     

莫利定理的构造证法

定理(Morley)将任意三角形的各角三等分,则与每边相邻的两条三等分线的交点构成一个等边三角形。此定理证法颇多,我们给出一个构造性的证法。     

三类Morley三角形的性质

1980年,文[1]介绍了著名的“Morley定理”及其简单推广: Morley定理:三角形三内角的三等分线两两相交所得三角形为等边三角形(图1)。     

莫雷三角形的一个新性质

1904年美国几何学家莫雷首先发现了定理：三角形的各内角三等分，则每两个内角的相邻的三等分线的交点构成一个正三角形．此正三角形后来被人们称作莫雷三角形．数学家奥克莱称赞莫雷定理是“数学中最令人吃惊而又全然意外的定理之一．”对莫雷三角形性质的研究至今经久未衰，不少文献都有所载．最近，笔者得到了莫雷三角形的一个优美的共点线性质，介绍如下，以资共赏．     

涉及三等分角线的又一定理

莫勒定理是涉及三等分角线的著名定理,类比三角形的内心与旁心,可得到一个令人吃惊而又全然意外的结论: 定理如图,设AE和AF,BD和BF,CD和CE分别是∠A,∠QBC,∠PCB的三等分线,则△DEF是正三角形,且其边长为8RsinA/3sin(60°-B/3)sin(60°-C/3),其中R为△ABC的外接圆半径。证明:需引入下列两个三角恒等式: (1)sinθ =4sinθ/3sin(60°-θ/3)sin(60°+θ/3). (2)sin~2α+sin~2β十2sinαsinβcos(α+β) =sin~2(α+β). 在△BCD中,由正弦定理得     

名题简证四则

二、Morley定理 △ABC的每两个内角相邻的三等分线分别相交于D、E、F,则△DEF是一个等边三角形。 证明 设∠A=3α,∠β=3β,∠C=3γ,则α+β+γ=60°。延长BF、CE,交于M,连MD。则因D是△MBC的内心,故∠EMD=∠FMD=30°+α。 下证ME=MF。     

一道习题的研讨

已知 :如图 1点C是线段AB上一点 ,△ACM、△CBN是等边三角形 ,求证 :AN =BM .(人教版现行初中几何第二册P113第 13题 )。1 设AN与BM的交点是P、AN与MC的交点是G、BM与CN的交点是F ,连结GF、除了可以证明AN =BM外 ,我们还能发现 :(1)由于△ACN≌MCB ,得∠ANC =∠MBC ,易证明△CGN≌△CFB ,可得CG =CF .(2 )在△PFN和△CFB中 ,∠PFN =∠CFB、∠PNF =∠CBF ,利用三角形内角和定理易得∠NPF =∠BCF ,即AN与BM的夹角∠BPN =∠BCN .(3)由于CG =CF、∠GCF =6 0° ,所以△CGF也是等边三角形。(4 )由∠CFG…     

一个新定理的推广

在文 [1 ]中 ,已证明了如下命题 :定理　△ＡＢＣ各角顶点与对边三等分点的连线中 ,相邻两条分别交于Ｐ、Ｑ、Ｒ ,则△ＰＱＲ∽△ＡＢＣ且相似比为 1∶5。我们都知道优美的莫莱定理 :三角形相邻的三等角分线的交点是正三角形的三个顶点。如果说莫莱定理是从三角形角的角度出发的 ,那么上述命题是从三角形边的角度出发的 ,因此 ,这一命题极具特色。本文给出这个命题的推广 ,即如下定理 :推广定理　△ＡＢＣ各角顶点与对边ｎ等分点的连线中 ,相邻两条等分线分别交于Ｐ、Ｑ、Ｒ三点 ,则△ＰＱＲ∽△ＡＢＣ ,且相似比为 (ｎ -2 )∶( 2ｎ -1 ) (…     

添加辅助圆解一类解析几何题

设有两相交圆C_1:x~2 y~2 D_1x E_1y F_1=0C_2:x~2 y~2 D_2x E_2y F_2=0则方程:x~2 y~2 D_1x E_1y F_1 λ(x~2 y~2 D_2x E_2y F_2)=0①当λ≠-1时,表示的图形是经过 C_1、C_2交点的圆系(不包括 C_2)当λ=-1时,①式变为     

数学奥林匹克问题

本期问题 初13°.设圆内接四边形的两组对边的延长线分别相交于点P,Q,两对角线相交于点R,论证:圆心恰为△PQR的垂心。 (北京朝阳区南沙滩中学,100101,郭璋) 初14°.在△ABC中,∠C=90°,点E_1,E_2在边BC上,且∠BAE_1=∠CAE_2,AE_1,AE_2分别与BA上的高CH交于D_1,D_2,过D_1,D_2分别作AB的平行线交BC于F_1,F_2。求证:(BE_1·BF_1)/(CE_1·CF_1)=(CE_2·CF_2)/(BE_2·BF_2)。     

对一道数学题的思考

<正>在初中数学《三角形内角和定理》的学习中,我们常遇到如下问题:一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3,那么这个三角形是()(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)等边三角形本题通常的做法是:根据三角形的内角和列方程求解,设3个角分别为:x,2x,3x,则     

2011印度国家队选拔考试摘选

1.在锐角△ABC中,已知AD为中线,BE为角平分线,CF为高线.若△DEF为等边三角形,证明：△ABC也是等边三角形. 2.已知△ABC的各内角均大于30°,⊙T与边BD、CA、AB依次交于点P、Q、K、L、M、N,且此六点按顺时针方向位于⊙T上.若△TQL、△TLM、△TNP是等边三角形,证明:     

莫莱定理

莫莱(FrankMorley,1860-1937)在讨论平面上的"n--线"时,给出了几个一般性的定理,其中的一个特例即为著名的莫莱定理:一个三角形的角的三等分线的、分别靠近三边的三个交点,构成正三角形.     

第八册数学课本中新增思考题的解析

22页第14题:右图是一个等边三角形,∠1=∠2,∠3=∠4。求x是多少度。解:教学中,应引导学生去判断推理:因为三角形三个内角和是180°,x是三角形ABC的一个内角,所以知道∠2与∠4的度数,就可求得x。因为原三角形是等边三角形,每个内角是60°,又∠1=∠2,∠3=∠4,这样便可求得∠2与∠4各为30°,从三角形ABC中看到,由30° 30° x=180°,可求得x=120°。29页第13题:箱子里装有同样数目的圆球和方块。每次取出5个圆球和3个方块,取了几次以     

利用相似三角形证线段成比例

相似三角形的判定定理1,是判断两个三角形相似中最常用的定理,通过两个三角形相似,可得到线段成比例,解决有关线段成比例问题,现举例如下:例1如图1,已知△PQR是等边三角形,∠APB=120°,求证:AQ·RB=QR2.分析:因为△PQR是等边三角形,所以要证AQ·RB=QR2,即证AQ∶QR=QR∶RB,故证AQ∶PR=QP∶RB,因此需证△AQP∽PRB,但∠AQP与∠PRB都是等边三角形的外角,又由外角定理和已知条件∠APB=120°,可证明∠APQ=∠B,由此得到△AQP和△PRB相似。证明:∵△PQR是等边三角形,∠APB=120°∴∠APQ+∠BPR=60°∵∠B+∠BPR=∠PR…     

关于三角形外角的莫雷定理

莫雷定理(即将三角形的各角三等分,则每两个角的相邻的三等分线的交点构成一个正三角形)是初等几何中令人惊讶的定理之一。这条定理使数学之美增添了不少奇异的光彩,自它1904年被美国几何学家莫雷发现,20年后在日本首次发表以来,一直引人注目。人们