线段“和最小”“差最大”问题的解题策略

1．求线段和的最小值 （1）两点异侧：如图1,点A、B在直线m的异侧,点P在直线m上运动,当点P与点A、B共线时,PA＋PB的值最小．     

解决线路最值问题的一个有效模型

线路最值问题是中考中常见的问题之一,解决这类问题常用到一个有效的模型:如图1,在直线l的同侧有两个点A,B,试在直线l上取一点P,使点P到点A、B两点的距离之和最小.点P应选在何处?     

与直线方程有关的三个最值问题

在解析几何中，以下问题比较典型，如图1，直线l过点P(1，2)，分别交x轴、y轴正半轴于A、B两点，若再添加一条件，就可确定直线l的方程．由于问题涉及直线与坐标轴的交点，故可考虑直线的截距式方程，设直线l：     

平面向量—个重要性质及应用举例

由于平面向量具有几何与代数的“双重身份”,所以它成为新课程改革后中学数学知识的一个交汇点．用向量法解决平面几何问题时有时显得非常巧妙．本文将给出平面向量的一个重要性质．运用这个性质可以判定三点共线、两点在已知直线的同侧或异侧等问题．同时．利用这个性质还可判断当两直线把平面分成四区域时点在其中哪个区域内．     

是强调方程思想，还是突出向量方法？——谈“点到直线的距离”处理两难的教学设计

一、对教材的分析与思考 “点到直线的距离”是“坐标平面上的直线”一章的最后一节内容．作为直线方程和向量方法的应用，在上海教材中，点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C=0的距离公式的推导经过了以下过程：（1）作出点P到直线l的距离PQ；（2）利用向量的数量积以及｜PQ→｜=｜PQ→·n→｜/｜n→｜（其中｜n→｜是直线l的法向量），再利用Q点坐标满足直线l的方程，求出｜PQ→｜，得到公式d=｜ax0＋by0＋c/√a^2＋b^2｜．推导中有两个要点：一是应用数量积的几何意义计算两点之间的距离；二是应用“若点在直线上，则点的坐标满足直线方程”进行整体代换．     

从一道习题谈两异面直线距离的求法

空间七大距离：点点、点面、电线、线线、线面、面面距离是高中数学的一个难点．它们之间既有区别又相互联系．而两异面直线的距离又是难点中的难点．其难就在于两异面直线的公垂线需满足：①和两异面直线都垂直。②和两异面直线都相交．因此，若能突破求异面直线距离这个难点．其它距离问题便可迎刃而解．     

第54届IMO试题解答

2．平面上的4027个点称为一个“哥伦比亚式点集”，其中任意三点不共线，且有2013个点为红色，2014个点为蓝色．在平面上画出一组直线，可以将平面分成若干区域．若一组直线对于一个哥伦比亚式点集满足下述两个条件，称这是一个“好直线组”：     

从不同角度谈一道竞赛题的解法

浙江省宁波市2007年东海杯数学竞赛试题中有这样一道题： 题目若点P是已知相交两圆的一个交点，试过点P作一不包含公共弦的直线，使其被两圆截出相等的2条线段．     

1995年世界城市际数学联赛

低年级普通水平试题 一、平面上有一个正方形,用隐形墨水在平面上标上一点P,P点只能被一个戴有特殊眼镜的人看见,你若画条直线,则此人可以告诉你P点关于直线的相对位置,P点在直线上或P点在直线的某侧,并且你若提出问题,可立刻得到答案,在最不理想的情况下,你至少提出几个问题,才能判断P点是否在正方形的内部?     

点P还可以这样来确定

数学中有这样一类最短路径问题模型:在直线l的同侧有两个点A和B,怎样在直线l上找到一点P,使AP+BP的和最短(如图1).解决的办法都是先作一个点A(或点B)关于直线l的对称点A’,连接A’B交直线l于点P,则点P就是所     

直线型f=|PA|±|PB|的最值分类讨论

问题1:已知直线l上动点P及两定点A、B,试求f=|PA| |PB|的最值.讨论:1.点A、B在直线l的异侧.如图一,当P取AB与l的交点时(这样的P点只有一个),fmin=|AB|;f无最大值.2.点A、B在直线l的同侧.如图二,设A′为A关于l的对称点,当P点为A′B与l的交点时(这样的P点只有一个),fmin|PA| |PB|     

探索点到直线距离公式的七种方法

问题 已知点P（x0，y0）是直线l：Ax＋By＋C=0外一点，求点P到直线l的距离.思路1 先由方程思想求出过点P向直线l作垂线时垂足Q（m，n）的坐标，再根据两点间的距离公式求｜PQ｜．     

解析几何中一类定值问题的研究

一、问题的提出 解析几何中有这样一道题：问题1如图1,已知圆C：x2＋y2=2上一点P（1,1）,过点P作倾斜角互补的两条直线,分别与圆交于点A、B．则直线AB的斜率为定值．     

一个经典作图题派生的最值问题

1引例——类比联想 例1几何模型： 条件：如图1，A，B是直线l同旁的2个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交直线l于点P，则PA＋PB=A′B的值最小（不必证明）．     

《线段与角》问答

问：连结两点的线段叫做这两点的距离,对吗？答：不对,“线段”是图形,“距离”是数量,二者的本质属性是完全不同的,应该说成连结两点的线段的长度叫做两点的距离．这里的“长度”两个字是关键,不能省略．问：直线Z上有一个点A,在直线上与A点的距离为1cm的点有多少个？答：有两个且只有两个点．因为A点是直线l上的一个点．所求的点必须在直线l上且到点A的距离为1cm．因此这样的点只有两个．问：经过平面上的两点确定一条直线,经过平面的三点可以画几条直线？答：具体情况具体分析,如果所给的3点在一条直线上,那么经过其中任意两…     

应用两点间距离与复数的模求有关极值

我们知道: 一、在已知直线(曲线)上求一点,使它到两定点的距离之和为最短的最小值点的几何作图法. ①当两定点A、B在已知直线(曲线)l异侧时,则连结A、B两点的线段与已知直线(曲线)的交点P就是所求之最小值点,其最小值S-|AB|. ②当两定点A、B在已知直线l同侧时,作两定点中的其中一个定点关于直线l的对称点,与另一定点的连线段与l的交点P就是所求之     

从一道题的解法说起

在一次测试中，有这么一道题：过点P(-l，-2)作直线ι交直线ι1：x-y-2=0于点Q，交直线ι2：x 2y l=0于点R，且P是线段QR的中点，求直线ι的方程．     

一个极易疏忽的截距问题

在直线方程中，截距的定义为：如果直线和x轴的交点为（a，0）,则a叫做直线在x轴上的截距，简称横截距．如果直线和y轴的交点为（0，b），则b叫做直线在y轴上的截距，简称纵截距．当直线经过原点时，即a＝b＝0时，横截距和纵截距相等，都是0．某数学书中有这样一道题：求过点P（3，-2)，并且在两轴上的截距相等的直线方程．原书解法为：设直线在两轴上的截距为a，则所求直线方程为由点P（3，-2）在直线上，得=1，解得a＝1．所得直线方程为x y=1．这里少了一个解．上面已谈到，直线经过原点时，a＝b＝0，就不适用于截距式方程，但这一点极易…     

几何基本概念·相交线·平行线

（一）知识要点本单元的主要内容是直线、射线、线段和角的概念；线段和角的度量；相交线及其性质；平行线的定义、性质和判定；命题、定理和证明．重点是线段、角、垂线的概念和性质以及平行线的性质、判定及其应用．一、直线、射线和线段1．在平面几何中，直线是一个不定义的原始概念．直线没有端点，向两方无限延伸．直线有两个性质：（卫〕两点确定一条直线（直线公理）；（2）两条直线相交，只有一个交点．2．射线在直线上某一点一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．射线只有一个端点，而另一端是无限延伸的．端点不同或者延伸…     

一个最值问题的探讨

平面上,在直线l一侧有两点A,B,如何在l上找一点P,使PA＋PB的值最小？这一问题中确定P点的方法很简单,只要找到点A关于l的对称点A’,再连A’B,则A’曰与l的交点就是满足条件的P点．本文要讨论,