两个等边三角形中的三角形全等

等边三角形是数学学习的一个基本图形,两个等边三角形进行各种各样的拼接,形成比较复杂的图形.但只要掌握三角形全等这个武器,就能快速准确分解复杂图形,防止其他无关信息干扰,从而快速获得解题思路,提高解题的有效性,收到化繁为简、化难为易的良好效果.一、以一个点为顶点向外作两个等边三角形基本题型:如图1:△ABC与△ADE都是等边三角形,点D在AC上,求证:BD=EC证明∵△ABC与△ADE都是等边三角形∴BA=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°     

一个基本图形的变式与拓展

<正>近年来,一类由基本图形经过变式的几何问题在中考试题中频频出现.本文从一个基本图形出发,探讨它的变式图形的性质及其应用,供大家参考.一、基本图形如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形,连结CD、BE,则有结论:△ABE≌△ACD.对于以上结论,相信读者已经滚瓜烂熟,下面我们来研究由这个图形演变出来的图形及性质.     

借题发挥——谈一道课本习题的变式

题如图1,△ABD、△ACE都是等边三角形.求证:CD=BE.(华东师大版八年级(下)《数学》第94页习题)分析只须证明△ACD≌△AEB,即可得CD=BE.证明△ABD和△ACE都是等边三角形,     

怎样学好几何证明(三)——例谈基本图形法

本文讲的“基本图形”是指反映几何概念和定理的图形.在初一、二年级时,我们已探索出三角形及特殊三角形的(如等腰三角形、等边三角形、直角三角形等……)许多性质,这些性质,都通过基本图形来反映的.如图1,表示等腰三角形的三线合一;图2,表示直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及“30°锐角所对的直角边是斜边的一半”的特性;如图3,表示三角形中位线性质.基本图形在解题、证题中主要作用有两个方面:一是从基本图形入手能较为顺利地找到解题、证题的途径.二是帮助我们很好地找到需要添加的辅助线.实际上,几何题中的辅助线的添加,往往是…     

英国的海岸线有多长——走近分形系列之一

2003年山东省中考数学试卷有一道试题以我们面生的图形(图1)为背景:图1这种图形的每一个都是对前一个图形实施同一种操作得到的1这让我们想起1999年全国初中数学竞赛的一道试题中同样出现了这种让人面生的图形(图2),它是将一个等边三角形每边三等分,以中间一份为边向形外作等边三角形后去掉这份,并且将这种操作不断实施下去得到的.图2令我们关注的是,近年来在一些中等数学竞赛和一些省市的中考数学试题中,若隐若现地不断出现有这类图形的身影.这似乎在向人们昭示:是出于对能力的考查呢,还是对素质教育的倡导,中等考试命题似乎对以这类图形为…     

观察·实验·猜想·验证

全日制义务教育《数学课程标准》中明确指出:教学过程中应让学生“经历探索物体与图形基本性质、变换、位置关系的过程”“在探索图形的性质、图形的变换等活动过程,初步建立空间观念,发展几何直觉.”那么,如何实现这一目标呢?本文仅以教材中命题的探究为例,谈点粗浅做法.例1　如图1,△ABD和△ACE均为等边三角形,边结BE、CD.1求证:BE=CD;2求∠BOC度数(人教版《几何》二册p.113第13题).教师导学生观察、分析,不难发现△DAC≌△BAE,故BE=CD;怎样求∠BOC呢?因为△DAC≌△BAE,故∠1=∠2;又因△ABD为等边三角形,故∠2 ∠3=∠4=60…     

一道课本习题的变式

<正>引例（教材第12页习题1.4第1题）已知：如图1,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB和AC于点D,E.求证：△ADE是等边三角形.（证明略）对此题进行变式,可以得到一系列数学问题.变式1：将△ADE放到△ABC的外部,探究相等线段.例1如图2,△ABC,△ADE是等边三角形.求证：BD=CE.     

挖掘课本例习题的潜在价值

当前,如何科学地利用教材已成为新课程改革的热点话题。笔者认为,要提高学生的数学素质,关键是教师要用好教材,用活教材,充分挖掘课本例、习题的潜在价值,使学生的学习达到减负增效的目的。一、分析例、习题特点,减轻学生课业负担基本图:(几何第二册24页的全等变换图形)如图1,这是一个旋转变换的基本图形,巧用这一图形,可使许多几何证明题一目了然,证题收到事半功倍之效。课本题1:(几何第二册29页例4)已知如图2,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,求证:△ABD≌△ACE(证略)课本题2:(73页7题),已知如图3,△ABD和△AEC都是等边三角形。求证:EB=DC…     

由一道习题引发的思考

<正>习题(人教版八年级下册《中心对称图形——平行四边形》复习题)已知:如图1,在菱形ABCD中,∠B=60°,点E、F分别在AB、AD上,且BE=AF.求证:△ECF是等边三角形.分析本题主要涉及到菱形的性质、等边三角形的性质与判别以及等式性质的运用,从而找出△CAF≌△CBE的判别条件,由"有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形"这一判别方法完成本题证明过程.     

探究一题多解 凸显思维过程——一道填空题的解法探究

<正>等边三角形是初中几何中重要的基本图形之一.本文通过对一道填空题多种解法的探究,深入讨论此类基本图形在解题中的重要作用.题目如图1,△ABC是等边三角形,点D是AB的三等分点,且BD/AB=1/3,点E是AC的中点,BE、CD交于点F,则∠EFC的正切值为.解决本题的关键是,利用已知E是AC的中点,由等边三角形三线合一性质得BE⊥AC,则∠FEC=90°.     

利用图形的旋转变换解题

生活中常常会有这样的一些复合图形,它们可以通过图形的旋转变换及其组合得到.下面举例说明之.一、通过旋转变换计算角度例1△ABC和△DCE都是等边三角形,则在图1中,△ACE绕着点逆时针旋转度可得到△.解C,60,BCD.图1图2例2如图2,绕着中心最少旋转能与自身重合.解90°(注意:一些同学会误认为是45°,该图案中一大一小的两个图形是不能重合的).二、通过旋转变换计算面积例3如图3,在四边形ABCD中,∠ADC=∠B=90°,DE⊥AB,垂足为E,且DE=EB=5,请用旋转图形的方法求四边形ABCD的面积.图3图4解把△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DE′C…     

一道几何题的引申

题一 已知：在锐角△ ABC的外面作等边 △ ABD,△ BCE,△ ACF, O1, O2, O3分别为这三个等边三角形的中心 .求证：△ O1O2O3为等边三角形 . 许多学生看到本题后,都觉得无从下手,其实这道题只是下面这道题的延伸 . 题二 在锐角△ ABC的外面作等边△ ABD, △ BCE,△ ACF.求证： DC=BF=AE. 证明：先证题二 .如图 (1), ∵△ ABD和△ ACF都是等边三角形, ∴ AD=AB,AC=AF,∠ DAB=∠ CAF=60° . 又∵∠ DAC=∠ BAF=60°＋∠ BAC, ∴△ DAC≌△ BAF, ∴ DC=BF. 同理可证△ DBC≌△ ABE, ∴ DC…     

聚焦解题过程 深化数学思维——2020年浙江省宁波市中考数学第10题赏析

<正>中考能够公平而有效地评价学生的学科水平,对教学具有重要的导向性.笔者借宁波市2020中考数学选择题的压轴第10题,挖掘解法,探究本质,与读者交流探讨.1原题呈现△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形,将它们按如图1的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长,则只需知道().     

归纳基本图形 提升思维能力

<正>近年来,中考试题越来越重视对图形知识的综合应用能力的考查.而看似复杂的应用,其关键与核心往往在于能够发现或构造基本图形.教师在平时几何教学中,若能引导学生归纳几何的一些基本图形,就可以帮助他们处变不惊,提升数学思维能力.一、心中有图初中几何题目千变万化,但是绝大部分题目里都有一些基本要素,将这些基本要素进行梳理,就能构造一些基本图形.比如平行线中的角、等腰三角形、等边三角形,相似图形里的A字型、8字型、K字型, 圆中的垂径定     

如何求解图形复杂的几何问题

<正>在初中几何中,常常遇到一类以两个等边三角形或两个等腰三角形为基础的图形复杂的问题.此类题目综合性较强,涉及三角形全等、三角形的外角或内角以及等腰三角形等知识,多数学生对于解决这类问题感觉思路欠缺,难以下手.本文通过一道经典例题的分析及变式拓展,帮助同学们找到此类问题的求解思路.一、问题展示问题如图1所示,以已知△ABC的两边AB,AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE,DC,BE相交于点O.(1)求证:DC=BE;(     

抓住典型例题 培养思维能力

一题多变是数学教学中常见的方法,它是按照某种特定的条件,引导学生运用“转换”或“运动变化”的思想来研究一些数学问题。这种做法,对于激发学生学习兴趣,培养和训练数学思维是大有益处的。例如,如图,在△ABC 的边 AB、AC 上,分别向形外作等边三角形ABD 和 ACE,求证DC=BE.这是一道利用全等三角形证线段相等的比较典型的基本题。在这道例题的基础上,我们引导学生进一步思考:1.如果再以 BC 为边向形外作等边三角形 BCF,那么 AF=DC=BE 成立吗?     

《三角形》练习题

(总分:120分,时间:90分钟)一、认真选一选(每题3分,共30分)1.如图1所示的图形中,具有稳定性的是().2.能构成如图2所示的基本图形的是().3.符合∠A=21∠B=31∠C的条件的△ABC是().A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形4.已知等腰三角形的一个角为75°,则其图1图2顶     

巧解信息技术解答相似三角形问题

<正>相似三角形知识是“图形组合”板块中的重要内容,在解答此类问题时,需要同学们通过直观想象,运用逻辑推理,科学辨别三角形的相似关系,然后得到结论．这对同学们空间想象能力要求较高,需要有直观的资源帮助我们了解相似图形的共性规律、基本特点．基于此,本文分析几道相似三角形问题,希望利用信息技术帮助同学们更直观了解图形．例1已知△ABC和△A′B′C′都是等边三角形,点O是BC和B′C′的中点,     

比例线段的四种证法

一、相似三角形选择法这是一种根据三角形顶点字母的构成,选择相似三角形的证题方法,这种方法有利于从复杂的图形中找出所需要的相似三角形.例1 如图1,△PQR是等边三角形,∠APB=120°.     

例谈三角形全等的证题

三角形全等的证明是几何证题中的重要内容.证三角形全等,可用来证明两线段相等,两角相等,两直线垂直等等.如何准确、迅速地探求出从已知条件到达求证结论的证明途径呢?下面通过实例来谈谈探求证明途径的基本思路.例1已知:如图1,A、B、C三点在一条直线上,△ACD和△BCE都是等边三角形.求证:AE=DB.分析从△ACD是等边三角形,可得AC=DC,∠BCD=60°,同理,EC=BC,∠ECA=60°.欲证AE=DB,只需图1证△BCD≌△ECA.证明∵△ACD是等边三角形,∴AC=DC,∠BCD=60°.同理,EC=BC,∠ECA=60°.在△ECA和△BCD中,∵AC=DC,∠ECA=∠BC…