对两道中考试题的赏析

<正>一、依托特定的数学问题考查学生的探究能力例1(2011年河北中考)两平行线AB、CD间的距离为6,点M为AB上一定点.图1思考:如图1,圆心为O的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α.当α=度时,点P到CD的距离最小,最小值为.探究一:在图1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,     

平行线知识精讲

1郾平行线的概念在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.如图1,AB与CD平行,记作“AB∥CD”(或“CD∥AB”),读作“AB平行于CD”(或“CD平行于AB”).注意:(1)平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交;(2)今后遇到射线、线段平行时,特指它们所在的直线平行.2郾同一平面内两直线的位置关系在同一平面内两条直线的位置关系只有两种:相交与平行.二者必居其一.3郾平行线公理经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.注意:(1)此结论的前提条件是“经过已知直线外一点”,若经过已知直线上一点画已知直线的平行线,就与已知直…     

利用圆的对称性找漏解

<正> 不少同学在解答与圆有关的几何计算问题时常常漏解.若能够充分利用圆的对称性,则可找回漏解. 一、平行弦间的距离问题例1 ⊙O的半径为5厘米,弦AB∥CD,.AB=6厘米,CD=8厘米,求AB和CD的距离.(人教版第三册几何第85页习题)     

学好平行线概念的三个注意点

平行线的概念是初中几何的重要内容之一,也是几何知识的基础,因此必须对平行线概念的学习加以重视,那么如何才能学好平行线这一概念呢?本文认为要注意以下三个方面.一、能正确理解平行线的概念在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线.如图1,直线AB与直线CD平行,记作“AB∥CD”或“CD∥AB”,读作“AB平行于CD”或“CD平行于AB”,“∥”称为平行符号.在学习平行的概念时要注意:(1)“同一个平面内”是前提条件,如图2,长方体的棱AB与棱EF所在的直线虽然不相交,但它不属于平面内的两直线平行的范畴,而是同学们在高中数学中将要学习…     

(?)∥(?)(?)AB∥CD?（高一、高二、高三）

平面向量中,将方向相同或相反的非零向量定义为平行向量,平行向量也叫做共线向量.也就是说平面几何中的“平行线段(直线)、共线线段(包括重合线段)”在平面向量内看做一个概念,平行即共线,共线即平行.平面向量中“∥”与平面几何中“∥”涵义不同,即AB∥CD与AB∥CD是不等价的.     

感悟“平行”与“垂直”

生活中我们见过很多“平行”与“垂直”.就拿黑板来说吧:上下两个边缘是平行的,左右两个边缘也是平行的.而相邻的两个边缘又都是垂直的.你能举出一些“平行”与“垂直”的例子吗?可与同学交流.在数学里.“平行”与“垂直”都是指在同一平面内的两条直线的位置关系.下面分别阐述. 一、先来谈一谈“平行”1、学好平行的定义在同一平面内.不相交的两条直线叫做平行线.直线AB与CD平行,记作AB∥CD.学好     

小图形 大作用

<正>"8"字模型是平面几何中最常见也是最基本的图形之一.此模型看似简单,但在探究复杂几何图形中角的关系,以及求不规则图形的内角代数和问题时,若能灵活运用此模型结论,常可轻松破解.一、"8"字模型如图1所示,AD,BC相交于点O,连结AB,CD,则所得图形称为对顶三角形模型,     

防止以偏赅全

学生在计算、证明中,往往犯以偏赅全的错误. 例1 00的半径为scm,弦AB// CD,AB一6cmCD~scm,求AB和C刀的距离. 误解连结OA、OC,则 OA~OC一5 cm·一勺时l;‘一图 C/万z|、、、从O作OM土AB则八了八一MB-丫AB// CD,:.ON上CD,:。NC一ND一由勾股定理得于点M,交CD于点N,粤AB一3 Cm·乙4 Clll OM~侧OAZ一八了八2一4 cm, ON一丫0C2一NcZ~3 cm. :.AB与CD间距离MN一O对一ON一Icm. 这个计算犯了以偏赅全的错误,这是因为两条平行弦、IB、CD不仅可以在圆心O同旁,还可以在圆心O两旁.因此,应补充MN~OM十ON=7 em. 例2在半径为…     

“线段AB=CD”的命题之争及其引发的思考

在一次八年级数学研讨课的研讨会议上,其中争论最激烈的问题就是"线段AB=CD"是不是命题?你认为"线段AB=CD"是命题吗?你判断的依据是什么?笔者认为:"线段AB=CD"不是命题,理由如下:1."每个命题都由条件和结论两部分组成"(北师大版八年级数学下册222页).这非常明确地说明了每个命题都必须由条件和结论两部分构成,缺一不可,请问"线段AB=CD"的条件是什么?结论又是什么?你是把"线段AB=CD"看成是条件还是结论?2.凡是命题都可以判断真假.命题在高中教科书中是这样定义的:可以判断真假的语句叫做命题.也     

四面体与它的外接平行六面体

2003年全国高中数学联赛中有这样一道试题:在四面体ABCD中,设AB=1,CD=3,直线AB与CD的距离为2,夹角为π3,求四面体ABCD的体积.如果孤立地考察四面体ABCD,很难把已知条件与体积联系起来.注意到四面体每组对棱所在直线都是异面直线,过每组对棱可以作一对平行平面,三对平行平面围成     

从一道几何题谈初中分类讨论的教学

讲到“垂径定理”的应用时,学生即会遇到这样一道题目: ⊙O的半径为5厘米,AB、CD为⊙O的弦,且AB∥CD,AB=6厘米,CD=8厘米,求AB和CD的距离。     

圆锥曲线的一个有趣性质

本文拟在给出与圆锥曲线平行弦切线有关的一个性质.定理:AB,CD 是圆锥曲线δ的一对平行弦,曲线δ在 A,B 两点处的切线交直线 CD 于M,N,则 MC=ND.证:(1)若曲线δ表示有心圆锥曲线,不妨设其为椭圆,方程为 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0),当直线 AB 的倾     

圆中两值问题

《平面几何》的圆中两值问题是学生在解答过程中最容易出错或者遗漏的问题 ,为了降低出错率 ,在中考前的总复习 ,师生不妨尝试如下的归纳和总结 1　由于圆是轴对称图形 ,所以它的轴对称性会造成两值问题例 1　在⊙O中 ,弦AB与弦CD平行 ,且⊙O的直径为 1 0cm ,AB =6cm ,CD=4 5cm ,求 :AB与CD两弦之间的距离是多少 ?图 1　　　　　　　　图 2解　设弦AB与CD之间的距离是EF由图 1看到EF=OE OF .由图 2看到EF=OE-OF .其中 ,OE =OB2 -EB2 =2 5- 9=4 ,OF =OD2 -FD2 =5.所以 ,AB与CD两弦之间的距离是 ( 4 5cm或 ( 4 - 5)cm .…     

典题多解与多变

一滴水可以折射出太阳的光辉,一道题也能散发出智慧的光芒.题不在多,深钻则行.一、典题多解典题如图1,AB∥CD,P为直线AB、CD之间的一点,则∠B、∠C、∠BPC之间有何关系?分析此图不是我们所学过的"三线八角"的基本图形,需添加一些线(辅助线),把它化成我们所熟悉的基本图形.本题的解法较多,兹列举如下:     

一道课本习题的“三变”

题目:已知如图,AB∥EF,求证:∠BCF=∠B+∠F 证明:过点AB.(下略)c画CD//AB。(下略) 说明:本题点C在两平行线之间,呈“内凹”型.常见的辅助线是过点C作AB的平行线.现就点C的位置变化及个数的变化作一些探讨.     

圆的几例漏解剖析

有些学生做几何题时,往往考虑不周密,片面的看问题,解答不完整,常常造成漏解错误.本文根据学生以圆的几例漏解错误进行剖析如下.例1 已知⊙O的半径为5cm,弦 AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,求 AB 和 CD 的距离.(义务教育《几何》第三册第94页第6题).     

复数法简证一道IMO预选题

题目 ABCD是凸四边形,AB不平行于CD.若X是四边形ABCD内一点,并满足∠ADX=∠BCX＜90°,∠DAX=∠CBX＜90°.设AB,CD的中垂线的交点为Y,证明∠AYB=2∠ADX.     

关于现行初中数学教材中几个概念的商榷

本文对现行初中数学课本中几个概念的描述、定义或使用欠严谨欠妥贴之处提出一些初浅看法,与同行商讨。一关于直线直线是一个不定义的原始概念,也是学生学习几何时遇到的第一个概念。教学中发现,一些学生对直线这一概念含混不清,特别是对“直线是向两方无限延伸着的”理解不深,往往把“直线”与“线段”混为一谈,出现诸如“延长直线AB与CD相交于E”“直线AB比CD长”之类的错误说法,在解题过程中也把“平行于定直线的弦中点的轨迹”说成是平行于定直线的一条直线。这些错误的产生,与教材不无关系。     

侧“M”型问题的结论及其广泛应用

<正>侧"M"型问题的基本图形一般有开口向左和向右两种,即""或"".与它们相关的问题很多,构造此基本图形解决有关问题非常方便,快捷,兹采撷一束,予以说明.1侧"M"型问题结论问题如图1,AB∥CD,P为线段AB、CD之间的一点,则∠B、∠C、∠BPC之间有何关系?     

方法为先,思维为本——安徽省2014年中考数学第18题错误分析及教学启示

<正>笔者参加了2014年安徽中考卷第18题的阅卷工作,从阅卷情况看,学生在解答过程中出现了许多值得我们教师反思的错误,现对学生出现的典型错误作具体分析,希望对今后的数学教学有一定的启示.1原题呈现如图1,在同一平面内,两条平行高速公路l1和l2间有一条"Z"型道路连通,其中AB段与高速公路l1成30°角,长为20km;BC段与AB、CD段都垂直,长