寻找“动点型”问题的静态“节点”

正所谓"动点型"问题,即指在图形中存在一个或多个动点,沿直线或曲线运动所形成的一类开放型问题。这类问题往往与分类讨论、方程函数、数形结合、转化迁移等数学思想融合在一起,对学生空间想象、逻辑推理、归纳抽象的能力要求较高,成为近年来中考的热点。动点势必导致分类,如何寻找分类的静态"节点"是破题的关键,下面就实例谈"节点的寻找方法以及产生的效果。一、由动点构造的特殊图形例1(2013·龙岩)如图,在平面直角坐标系     

“构造法”在高中数学解题中的运用

<正>在解决多种多样的数学问题时同学们只有掌握一定的解题方法,比如待定系数法、换元法(包括三角换元)、拼凑法等,才能在解题时做到得心应手。下面仅对"构造法"在高中数学解题中的应用进行分析,以期达到抛砖引玉的作用。一、构造方程构造方程时,先要充分了解数学问题的     

用“中点造弦法”巧解“弦型命题”

弦的中点是沟通弦端点、弦的斜率、弦长以及与弦相关的对称问题、轨迹问题的“血管”和“神经” ,灵活利用弦中点的“动”、“静”规律 ,构造动弦、定弦处理与弦有关的问题 ,奇特巧妙、简捷新颖 .本文就这类问题给以归类例析 ,供参考 .曲线 ｆ(ｘ ,ｙ) =0关于点Ｍ (ｘ0 ,ｙ0 )对称的曲线方程是ｆ( 2ｘ0 -ｘ ,2ｙ0 -ｙ) =0 ,两式相减得ｆ(ｘ ,ｙ) -ｆ( 2ｘ0 -ｘ ,2 ｙ0 - ｙ) =0 . ( 1)此即为以Ｍ为中点的弦所在直线方程 ,简称“中点弦方程” .以此弦作为解题模式的思想方法简称为“中点造弦法” .由 ( 1)易得几种常见曲线ｂ2 ｘ2 ±ａ2 ｙ2 …     

浅谈辅助方程法

用适当方法构造与原问题有关的方程,利用方程的知识使原题获解,此为“辅助方程法”。一、解方程(组) 例1 解关于x的方程 x~4 6x~3-2(a-3)x~2 2(3a 4)x 2a a~2=0 解:化为a的方程: a~2-2(x~2-3x-1)a (x~4-6x~3 6x~2 8x)=0解得a=x~2-4x,a=x~2-2x-2。故得原方程的解x_(1,2)=2±4~(1/2) a,x_(3,4)=1±(3 a)~(1/2)(注;a<-3时,有虚根)     

用“整体置换法”求形如“y/x”的取值范围

<正>求形如y/x的取值范围是代数试题中常见的题型,怎么求解呢?解法比较多,其中,构造含y/x有形式的方程不失为比较简单的一种方法。一、整体置换是求两个变量比值即形如"y/x"取值范围的主要方法例1已知x、y满足(x+2)²+y2+y²=4,     

巧构“全等三角形”

在应用"全等三角形"解决许多实际数学问题的过程中,不仅需要我们善于去发现"全等",同时还需要我们巧妙地去"构造全等三角形".使得隐含的"全等三角形"能够应时地"走"出来,从而为我们更加准确快捷地解决相关的数学问题创造必要的条件.是的,学会构造"全等三角形"就是一种创新思维.下面,我们结合若干实例来和大家一起构造"全等三角形"吧.通过"构造全等三角形",我们一定会感受到"构造"所具有的——攻无不克,战无不胜的魅力.一、构造全等三角形,巧求线段长度.例1如图所示,△ABC中,∠A=60°,点D、E、F分别为各边的中点.M、N为△ABC形外两点,且ME⊥AB,     

用“分离变换”法求切点

已知圆锥曲线的切线方程,求相应切点坐标,一般是要解一个二元二次方程组。其实,可直接将切线方程按“切点式”进行“分离变换”而求得,以下举例说明之。例1 直线5~(1/2)x+6~(1/2)y-3=0是双曲线x~2-y~2=1一切线,求出相应的切点坐标。解:因为双曲线x~2/3-y~2=1的“切点式”切线方程为:x_0x/3-y_0y=1,(*),现把5~(1/2)x=6~(1/2)y-3=0化成(*)的形式:5~(1/2)x/2-(-6~(1/2)/3)y=1,对照(*)可知切点坐标为(5~(1/2),-6~(1/2)/2)。     

点差法的“副作用”——圆锥曲线切线方程的意外获得

正在一次点差法失效的成因与结果分析探究过程中,笔者偶然发现,原来点差法还可以用来求圆锥曲线上某一点处的切线方程.虽然事后发现,此处理方法多少有点类似于"导数法求切线",但对应于复合函数求导,点差法则显得更加方便和快捷.下面以双曲线为例,作具体说明.若点P(x0,y0)(y0≠0)在双曲线x2/a2-y2/b2=1上,求过点P的切线方程.一般高二学生所能想到方法,应该是用点斜式设出过点P的直线方程,然后代入曲线,由Δ=0求出直     

铅垂法求斜三角形面积的方法提炼

<正>最近铅垂法是求斜三角形面积的一种常见的方法,熟练掌握这种方法有利于快速解决斜三角形面积的有关问题.先来看看铅垂法的基本模型以及两种拓展模型：1.基本模型 2.拓展模型①:水平铅垂■3.拓展模型②;外铅垂■在求以二次函数中的某个动点为顶点的斜三角形面积时,运用该方法需要有一定的技巧,如果能够找到快速判断选取哪种模型解题,对解决这类问题有着非常重要意义.下面通过典型例题来进行技巧介绍和方法的提炼.     

利用“切线法”证明一类条件不等式

正对满足条件n∑i=1 xi=k(≥k,≤k)的形如n∑i=1 f(xi)≤M(≥M)(k、M为常数)的条件不等式的证明是中学数学的重点和难点内容之一,通常在竞赛和高考压轴试题中出现.此类试题技巧性较强,学生在短时间内难以解决.下面介绍一种"切线法"(构造切线方程实施放缩)来证明此类条件不等式.     

构造“关于y/x的二次方程”巧解2007年高考题`

1方法回顾提炼文[1]中提炼出一种解决"直线与圆锥曲线相交弦"有关问题的行之有效的特殊方法——构造"关于y/x的二次方程".其具体方法如下:若直线l与圆锥曲线C相交于不同两点P(x_1,y_1)和Q(x_2,y_2),当求解与k_(OP)、k_(OQ)相关的问题时,可以设直线l的方程为y =kx 6,当b≠0时,可将其化为(y-kx)/b=1,     

“坐标系”题型分析及变式训练指导

<正>"坐标系"的题型紧紧围绕极坐标及其方程,本文就极坐标与直角坐标的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化这两个考点,结合具体的例题和变式训练进行探讨。一、极坐标与直角坐标的互化例1把点M的极坐标(-5,π/6)化成直角坐标。     

“五点法”与正余弦函数

"五点法"是画函数y=Asin(ωx+(?))或y =Acos(ωx+(?))(A>0,ω>0)图象的简捷、有效的基本方法,下面谈一谈"五点法"在解高考题时的应用.1.求P的值例1函数的部分图象如图1所示,则函     

两椭圆的“相遇”

在讲授椭圆这部分内容时,我曾给学生出了这样一道题目:"过点P(2,1)作直线与椭圆x2/a2+y2/b2=1交于A、B两点,若点P平分弦AB,求弦AB所在的直线方程."学生很快就想出了两种解法:一种是设弦AB所在的直线方程为y-1=k(x-2),然后将直线方程代入椭圆方程来解题;另一种是用两点法.     

不等式(组)中待定系数的确定

正一、构造方程(组)当给出不等式(组)的解集求系数的值时,一般先求出不等式(组)的解集(用系数表示),再根据它与已知解集的对应关系构造方程(组)即可确定系数的值,并进一步求解其他问题.例1(13年荆州市)在实数范围内规定新运算"△",其规则是:a△b=2a-b,不等式x△k≥1的解集见数轴,则k的值是___.解析:按运算规则得不等式为2x-k≥1,其解集为x≥k+1.由数轴知解集是x≥-1.根据解集的对2应关系得方程k+1=-1,∴k=-3.2     

利用“λ”法求双曲线标准方程

上海市高中二年级数学第一学期(试验本)课本第115页有这样一道例题:已知双曲线过点P(4,3),它的一条渐近线的方程为y=1/2x,求双曲线的标准方程．传统的解法:∵双曲线的一条渐近线方程为y=1/2x,∴当x=4时,渐近线上对应点的纵坐标为1/2×4=2,小于点P的纵坐标3(如图1),所以双曲线的焦点在y轴上．于是,设双曲线的方     

构造辅助圆处理解几问题的若干途径

对有些解几问题,构造辅助圆来处理,实用简便,且富有成效,本文举例说明构造辅助圆解题的若干途径。一、依据“平分”构造辅助圆例1 在椭圆x/16+y/4=1内有一点P(1,1),求经过这点且在这点被平分的弦所在直线的方程和弦长。解:设过点P且被平分的弦为AB,依此构造以P为圆心,AB为直径的圆,其方程为 (x-1)~2+(y一1)~2=R~2. 设A(1+Rcosθ,l+Rsinθ),则点B的坐标为(1-Rcosθ,1-Rsinθ)。     

“k·PA+PB”型几何最值问题的解题策略

<正>"k·PA+PB"型的动点几何最值问题是近几年全国各地中考试题中的热点,也是难点.本文选取几例中考题,谈谈此类问题的解题思路,希望能给大家一点启发.一、构造二次函数模型求解例1(2018年重庆中考题)抛物线■与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)如图1,连结CD,求线段CD的长;(2)如图2,点P是直线AC上方抛物线上     

构造数学模型巧解方程(组)

构造数学模型解题 ,就是根据题目的特征 ,构造相应的数学模型 ,把陌生的问题转化为熟悉的问题 ,把复杂的问题转化为简单的问题的一种化归方法 .通过构造数学模型解题不仅构思巧妙 ,见解独到 ,而且极富思维的创造性 .本文结合非常规方程 (组 )问题的求解 ,介绍构造数学模型解题的几种方法 .1　构造方程模型根据方程 (组 )中所给的数量关系 ,构造一个新的方程 ,通过对新方程的求解而达到解题的目的 .例 1　解方程组x + y + 9x + 4y =1 0(x2 + 9) (y2 + 4 ) =2 4xy解 :原方程组可化为(x + 9x) + (y + 4y) =1 0(x + 9x) (y + 4y) =2 4于是 x + 9…     

变“数”为“形”巧解题

<正>面对一个比较复杂、抽象的代数问题,如果我们能构造几何模型,变"数"为"形",用图形的办法,把它描述刻画出来,会使这个对象简明、形象,更容易理解,有助于探索解决问题的思路,以下举几例说明.一、变多元等式问题为两条曲线的位置关系例1(2014年浙江高考题)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,求a的最大值.解由已知,存在实数a,b,c,满足方程