旋转90°,解题有捷径

学习了旋转,解决几何问题又多了一些方法,我们可以借助旋转知识巧妙地解决一些几何问题.下面将通过例析旋转解决与正方形有关的问题,供同学们作参考.例1如图1,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,满足PA=√6、PB=2、PC=1,求∠BPC的度数.     

初中数学常见几种几何模型分析

<正>几何模型比典型的几何习题架构更小,整合几何知识点,便于同学们解答几何问题．希望同学们通过本篇论文的学习,能够养成利用数学建模求解几何问题的思维与习惯．一、半角模型例1如图1,∠AOB=2∠2,AO=BO,连接BF,将△BOF绕点O旋转到△AOF′的位置,连接EF′,EF,求证:△FEO≌△F′EF.     

旋转变换在解题中的运用

<正>旋转是平面几何三大基本变换之一,它在中考命题和解题中有着广泛的应用.本文利用旋转来解决与等腰三角形有关的求角度、求线段长度、求最值等问题,供读者参考.一、 求角度例1 如图1,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为△ABC内一点,连结AD,DC,BD.若CD=1,AD=2,BD=3,求∠ADC的度数.解析 如图1,将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AEB,连结ED,则得等腰Rt△AED.     

利用图形的旋转变换解题

生活中常常会有这样的一些复合图形,它们可以通过图形的旋转变换及其组合得到.下面举例说明之.一、通过旋转变换计算角度例1△ABC和△DCE都是等边三角形,则在图1中,△ACE绕着点逆时针旋转度可得到△.解C,60,BCD.图1图2例2如图2,绕着中心最少旋转能与自身重合.解90°(注意:一些同学会误认为是45°,该图案中一大一小的两个图形是不能重合的).二、通过旋转变换计算面积例3如图3,在四边形ABCD中,∠ADC=∠B=90°,DE⊥AB,垂足为E,且DE=EB=5,请用旋转图形的方法求四边形ABCD的面积.图3图4解把△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DE′C…     

用共底或等高三角形面积比的性质解有关面积问题

几何面积计算题是数学竞赛中的热点问题之一 .由于初一年级同学掌握的几何知识较少 ,解这类问题的难度较大 .下面我们先给出关于等高三角形或共底三角形面积比的两个性质 ,我们将看到 ,恰当地运用这两个性质建立方程或方程组 ,这类问题也不难解决 .性质 1　如图 1,△ ABD、△ ACD与△ ABC存在公共高 AH ,则由S△ =12 ×底×高 ,有S△ AB D∶ S△ ACD =BD∶ CD;S△ AB D∶ S△ AB C=BD∶ BC;S△ AC D∶ S△ A BC =CD∶ BC.这个性质可简述为等高三角形面积比等于底边的比 .图 1图 2性质 2　如图 2 ,在△ ABC中 ,点 D为 …     

形数结合求函数解析式

近几年来中考题中常有形数结合求二次函数解析式的综合题,解这类题需综合应用几何与代数的知识.利用形数结合的方法,可以沟通代数、几何间的联系.拓宽知识面,增强分析问题和综合运用知识的能力,所以应引起同学们的重视.今举例如下.例1 如图1,在△ABC 中,∠A=60°,     

解相似三角形问题时构建“共顶点旋转”模型

<正>在解答初中几何问题时,需要同学们快速识别模型,然后利用模型常用的解题思路进行解题．初中阶段解相似三角形时,构建“共顶点旋转”是重点使用的模型．一、模型的介绍如图1,△ABC和△ADE有共同的顶点A,点D在AB上,点E在AC上,将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度后,连接BD,CE,得到△ABD∽△ACE．此类共顶点旋转模型,还可以看作一个三角形绕着一顶点旋转后的缩放,在作辅助线时,只要找到对应点然后连线就可以,如图1中就是B连D,C连E.     

“旋”而未定 “转”而得解——以“巧用旋转，探究线段数量关系”专题复习课为例

<正>图形的旋转是重要的图形变换,由于旋转不改变图形的形状和大小,只是位置关系发生变化,旋转转移了边和角,使图中的条件重新组合,构造了新的图形,在新的图形中发现新的数量关系,位置关系,从而使复杂的问题变得简单了,有些百思不解的题目也可能豁然开朗了!一、认知模型问题1 在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上且(1)如图1,若∠BAC=90°,求证:BD2+CE2=DE2.(2)如图2,若∠BAC=60°,     

“平移与旋转”探索与思考题

1.如图1,在直角△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,BC=1,把该三角形的斜边AB放在定直线l上,按顺时针方向在l上转动.求:图1(1)顶点C运动到C″的位置时,点C经过的路线长;(2)画出点A运动到A″的位置时,所经过的路线长;(3)按照以上旋转规律,△ABC至少经过几次旋转可看成由一次平移得到?2.如图2,△ABC中,∠BAC=120°,以BC为边向外作等边图2△DBC,现以D点为旋转中心,把△ADC绕D点逆时针旋转60°到△EDB的位置:(1)画出旋转后的图形.(2)此时,A,B,E三点是什么位置关系?为什么?(3)若AB=1,AC=3,你可以求出图中哪些线段的长?(答案见下期)“平…     

从一道中考题的剖析谈研究线段之间数量关系的方法

<正>近几年的北京中考,几何综合题经常涉及线段之间数量关系的问题.研究线段之间的数量关系是初中几何教学中的一个重要知识,可以说贯穿整个初中几何教学.但是对于大多数学生来说,这类题仍有一定的难度.为此,教师可以引导学生归纳出解决此类问题的方法,并强化学生对研究方法的理解和应用.下文以2017年北京市中考第28题为例,进行深入挖掘,以期对读者有一定的启发.1 试题呈现如图1,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点     

图形未确定 分类须谨慎

<正>本文对近年来江西省中考试卷中的几何填空压轴题进行归纳分析,以期发现某些共性,供读者参考.例1(2012年)如图1,正方形ABCD与正△AEF的顶点A重合,将△AEF绕顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小可以是____.解分两种情况讨论:(1)当正三角形△AEF在正方形ABCD的内部时,如图1.因为正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,所以AB=AD,AE=AF.     

变换图形解题

平移法和旋转法是平面几何中解题的两种有效方法.通过图形变换,借助图形各元素之间的新旧位置关系探索解题的方法,在解决平面几何问题时有广泛的应用.例1已知,如图1,△ABC中,AC=AB,∠BAC=90°,P为△ABC内一点,PA=1,PB=3,PC=7姨.求∠APC的度数.分析:从PB=3,PC=7姨来看,如果还有一条线段为2姨,则可构成直角三角形,这样只要把PA逆时针方向旋转90°,(也可以顺时针方向旋转90°)构成一个等腰直角三角形,问题可以解决.解:过A点作DA⊥AP,(逆时针方向旋转)且DA=AP=1,连结CD、PD∵△DAP为等腰直角三角形,∴PD=2姨,∠DPA=45°.∵…     

以美启真:光辉照亮解题道路

本文由一次八年级期中考试的几何题说起,为同学们点拨"对称美"在几何思路获取上的作用.问题如图1所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D为△ABC内部一点,且AB=AC=BD,∠ABD=30°,求证:AD=CD.BADC图1BADCE图2思路探究理解题意后,在形内不添辅助线难有头绪,看不到"光明".     

巧旋转,妙解题

在几何的学习中,旋转变换在帮助我们认识图形的性质方面起到了很好的作用,也使我们觉得几何学习很有趣,其实在解题中,如果应用好旋转的知识,也能使问题的求解变得直观、明了.1.等腰直角三角形中的旋转例1等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,点D和E在AB边上,AD=3,BE=4,∠DCE=45°,则DE=____或____.解析因为不知斜边AB的长度,因而无法确定点D和点E哪个点更靠近点A,所以分情况讨论.(1)如果点D比点E更靠近点A(如图1).将△ADC     

勾股定理在证明中的应用

勾股定理是几何中一个极为重要的定理 ,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系 .灵活应用它 ,不仅可以证明一些与线段平方有关的等量问题 ,而且可以证明一些与线段和差有关的不等问题 .例 1　如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,Ｄ是ＡＣ边的中点 .求证 :ＡＢ2 +3ＢＣ2 =4ＢＤ2 .证明　在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∵　ＡＢ2 =ＡＣ2 +ＢＣ2 ,　　ＡＣ =2ＣＤ ,∴　ＡＢ2 =4ＣＤ2 +ＢＣ2 .在Ｒｔ△ＢＣＤ中 ,∵　ＣＤ2 =ＢＤ2 -ＢＣ2 ,∴　ＡＢ2 =4(ＢＤ2 -ＢＣ2 ) +ＢＣ2 .∴　ＡＢ2 +3ＢＣ2 =4ＢＤ2 .图 1图 2　　例 2　如图 2 ,在△ＡＢＣ中 ,∠ＡＣ…     

巧用圆的特性求解综合题

<正>圆,是到定点等于定长的点的轨迹.圆的这一特性,使得圆在求解很多看似与圆毫无关系的综合题中起到了巧妙的作用.一、解决丢解问题例1 如图1(1),在Rt△ABC中,∠C=90°.将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C,旋转角为α,在旋转过程中,点B′可以恰好落在AB的中点处,如图1(2).(1)求∠A的度数;(2)当点C到AA′的距离等于AC的一半时,求α的度数.分析与解 (1)∵△ABC绕点C逆时针旋转得到△A     

用旋转法解几何题

旋转是《新课程标准》新增的内容.将已知图形绕某个定点旋转一个角度来解决问题的方法,称为旋转法.旋转图形具有形状和大小不变的特性,而且能使已知和未知条件集中到某一个图形中,从而可简捷解决一些几何问题,如求角度、线段长度,证明垂直、相等和不等的关系等.应用旋转法应注意(1)确定旋转中心;(2)确定旋转图形;(3)确定旋转角度(解题中有时并不要求知道具体的角度数)和方向.1.求角度、线段长度例1如图1,D是正三角形ABC内一点,且有AD=姨3,BD=1,CD=2,求∠ADC的度数和△ABC的边长.解:将△BAD绕B点旋转至△BCD'处(顺时针旋转60°),易…     

巧解几何中与角有关的问题

学习了初中《几何》第二册“三角形内角和定理及推论”后 ,如何熟练准确地解决有关“角”的计算与论证问题 ,是许多初中学生 ,特别是初二学生深感困惑和棘手的问题 .因此 ,在初中几何教学中 ,如何使学生能顺利解决这一困难 ,提高解决这类问题的能力显得尤为重要 .在我多年的教学实践中 ,有如下体会 ,现就一些具体问题举例说明 .一、利用代数法列方程解题例 1　如图 1,在△ A BC中 ,∠ BAC =3∠ A BC =4∠ C,BD⊥ A C于 D ,求∠ A BD的度数 .图 1分析 :要求∠ A BD ,我们可以把它看作△ A BD的内角 ,利用∠ ABD =90°-∠ D AB或…     

巧旋转，妙解题（二）

六、证线段的等量关系例6如图6,点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,且∠EAF=45°,求证:EF=BE DF.分析:由正方形考虑将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置,从而把BE、DF拼接在△AFG中,只要证EF=GF即可.证明:将△ABE绕点A逆时针旋转90°至则GD=BE,GA=AE,∠GAE=90°,∠G     

一类动点路径模型及其应用

<正>1 引例在△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,点P从B运动到A点,以CP为边旋转后再放缩得CQ,求点Q运动路径长.(1)如图1,将CP绕C点顺时针旋转90°得CQ.解析将CB顺时针旋转90°得CH,可证△CBP≌△CHQ,BP=HQ,∠CBP=∠CHQ,故可知Q点运动路径为线段,且Q点路径长等于P点路径长10.(2)如图2,将CP绕C点顺时针旋转60°得CQ.解析将CB顺时针旋转60°得CH,可证