波利亚的合情推理理论与数学教学

数学,我们通常看到的是一门演绎科学,是条理清楚的逻辑推理体系,然而数学的创造过程与其他实验科学的创造过程一样,经历了“观察——(归纳、类比等)提出猜想——检验、修正猜想,增强信念——证明”的道路,在证明之前,必须猜测所证定理的内容,在搞清楚证明细节之前,必须猜想出证明的主导思想。这是数学的另一个侧面。为了开阔思路,能够提出猜想、发现定理,为了找到问题的解法或证法,我们应该学会运用合情     

再看6174

<正>引言:数学是科学与艺术的结合.科学求真,艺术求美,所以数学既求真又求美[1].张奠宙先生将数学美分为:对称美、和谐美、简洁美、奇异美等[2].在数字世界里,6 147就尽现数字奇异美,奇异中蕴含着奥妙与魅力,奇异中也隐藏着真理与规律.查阅文献,关于6 174的文章不算少.大多数只是简单介绍它的神奇之处,也有少量揭秘,即给出了数学证明的,包括用高等数学的变换观点证明(如文[3])和计算机证明(如文[4]),但     

浅析数学创造的美学动力

一、数学问题的提出离不开数学美 科学研究始于问题,这是科学认识论的一个重要观点。数学研究作为一种科学认识活动,也是从问题开始入手的,而大量的数学活动的事实表明,数学问题的提出往往受到了数学美的驱动。 1.提出问题的一个主要动力——怀疑精神包含着创造者对美的追求     

反例的思维过程及构造策略

著名科学、哲学家波普(Kal Raimund Popper)曾说,知识成长的逻辑是“在猜想和反驳中成长着的。”对一个错误认识的反驳不仅是可能的,而且有一个十分有效的标准和方法——反例,反例方法是证伪、纠错和发现正确认识的极富说服力的思想方法,是一项积极的创造性思维活动。在数学推理中,构造反例与提出证明具有同等重要的作用,正如美国数学家盖尔鲍姆(B.R.Gelbaum)所说:“冒着过于简单化的风险,我们可以说(撇开定义、陈述及艰苦的工作不谈)数学是由两大类——证明和反例组成,而数学的发现也是朝着     

中学数学教学中的创造美

美学告诉我们:人类最珍贵的特性是实践中自由的创造;劳动本身如果表现为生动的形象,同样也是美的——这就是美的根源。从数的发现(自然数——有理数——无理数——虚数),式的发现(代数式——方程(等式)——不等式),运算的发现(加减——乘除——乘方、开方——微积分),空间的发现(一维空间——二维空间——三维空间——n维空间),无不反映了科学技术的发展,也凝聚了数学家们长期艰苦卓绝的创造性劳动。正因为他们的创造,才使得数学更加和谐、更加完美。他们创造了数学美,同时也创造了他们自身的美。学数学本身是一种艰苦的创造者劳动。一个善于学习的人,一个酷爱数学科学的人,一定是一个善于思索、勇于独创的人。因为只有在创造性的劳动中,人们才有可能领略探索真理的甘苦,才能享受攀登高峰的喜悦。实际上,学生无论是弄清一个概念、掌握一个公式,或者解决一个问题,都孕育着再发现     

浅谈数学美

爱美之心,人皆有之.几何图形的对称是一美,代数的对等是一美,数学科学的本质在于求真,也是一美,数学科学的精神、思想、方法更是一美,而且数学科学的美,用罗素(英国哲学家数学家)的话来说,“数学不但拥有真理,而且也具有至高的美,像维纳斯石膏像一样,无色无声,是一种冷而严肃的     

分析题目结构特征,选择高效证明方法

数学是一门思维的科学,而证明则是数学的标志性思维方式,体现了思维的特征.通过证明方法的学习,养成言之有理、论证有据的习惯,从而有助于发展数学思维能力,形成理性思维和科学精神.数学证明的基本方法包括直接证明方法(如分析法、综合法、数学归纳法)和间接证明方法(反证法).     

开发校本课程 感受数学之美

数学作为启迪思维、培养能力的一门科学,除了具有严密的逻辑性、高度的抽象性、应用的广泛性之外,还具有其本身特有的美——数学美.数学的美,是精神和思维的美,它同艺术美一样感人至深.但是由于受到课堂40分钟教学时间的限制,许多数学史、思想方法、生活中数学的美在课堂上无法与学生共享.基于我校尚美育人办学理念的内涵,深入挖掘校本课程资源,开发了《尚美数学》校本课程.     

STEAM让科学课堂神奇好玩

最近在教育领域出镜率较高的一个词——STEAM,到底什么是STEAM 呢,总感觉很陌生,甚至觉得高大上,离我们一线教师很远.STEAM 教育理念最早是美国政府提出的教育倡议,为加强美国K12关于科学、技术、工程、艺术以及数学的教育.STEAM 的原身是STEM 理念,即科学(Science)、技术(Technology)、工程(Engineering)、数学(Mathematics)的首字母.鼓励孩子在科学、技术、工程和数学领域的发展和提高,培养孩子的综合素养,从而提升其全球竞争力.     

作差——证明P(n)的一种方法

数学归纳法是证明命题 P(n)的一种重要方法,它以独特规范的证题特点而深为学生所喜爱.下面给出证明 P(n)的另一种方法——作差法,它与数学归纳法有异曲同工之效,且在证明步骤和形式上也颇为相似.     

对一道试题的分析

波利亚提出数学既是欧几里得式的严谨科学,又有另外一个侧面,即在创造中的数学,却是一门实验性的归纳科学,这两个侧面都想数学本身一样古老……,数学家创造性工作的结果是论证推理,即证明,但是这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的.因此,数学在培养学生逻辑推理能力方面     

浅谈数学美的鉴赏

数学教学不仅是一门科学,也是一门艺术,而对科学美的鉴赏则是教学艺术的一个突出特点．因此,数学教师必须对数学美有深刻的理解,在数学教学中,要遵循美的规律和法则,结合数学教材,揭示数学知识的内涵美以及数学表达的形式美,培养学生认识和鉴赏数学美的能力,进而培养学生学习数学和应用数学的能力．数学的三大特征——高度的抽象性、严谨的系统性和广泛的应用性,与美学的简单性、和谐性及统一性,有着相近的含义．大自然的美具体、鲜明,艺术的美华丽,精彩,但数学美不同于这类美,数学家庞加莱对数学美的性质作了具体说明：“我…     

用数学之美 育学习数学的兴趣

爱因斯坦说:“兴趣是最好的老师”。古今中外的任何一个成功者无不对自己的事业有着挚烈的兴趣。兴趣是成功的起点和动力。而美能使人兴趣盎然,诱发强烈地求之渴望,爱美是人们从事某种活动的向心力。数学美,是一种科学美,它有着丰富多采的美的因素,集中表现为数学的简洁美、相似美、对称美、和谐美(或统一美)与奇异美等五个方面。它是客观世界的统一性与多样性的真实、概括和抽象的反映。一些学生对数学感到枯燥乏味,激发不起学习的兴趣,其原因之一是教师没有充分发掘蕴含于数学中的美的因素,因而学生没有享受到数学美给他们带来的欢乐。因此,在教学中注意让学生从多方面、多层     

数学教学与“以美启真”

美育是中学教育的基本内容之一,如何在数学教学中实施美育是数学教学研究的一个重要课题。认识数学的美与开发数学的智是密切相关、互相促进的.美的认识越自觉,数学思维能力就越增强,从而教的效果与学的质量就能得到更快地提高。什么是美?简单地说,就是自然界的客观真理与人的主观感受的和谐统一.“真是美的内容的主要构成基础,美是对真的包容与质的升华。”数学美是一种科学美,它体现在具有数学倾向的美的因素、美的形式、美的内容、美的方法等各个方面。例如黄金数(5~(1/2)-1)/2≈0.618,就是数学美的内容中的一个因素。这是因为它的几何结构具有美的形式,把这种分割应用于建筑、音乐、美术之中就能产生调和的比例、动听的     

高观点下的数学归纳法

<正>数学归纳法(Mathematical Induction)是一种数学证明方法,通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立.除了自然数以外,广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构,例如:集合论中的树.这种广义的数学归纳法应用于数理逻辑和计算机科学领域,称作结构归纳法.虽然数学归纳法名字中有"归纳",但是数学归纳法并不是不严谨的归纳推理法,它是属于严谨     

数学复习课“量与计量”教学谈

一、数学思维演绎——理性思辨,奠基科学精神数学课自然是姓“数”的,她必然要以其独特的理性之光来培养学生良好的科学精神。其实不管是复习课的整理阶段还是应用提高阶段都是体现数学之美的重要课程资源。如在“量的计量”的复习过程中,学生整理出长度、面积、体积 (容积)、质量、时间等“量”及其计量单位     

优化解题方法 凸显数学美感

<正>高斯曾经说过:"数学是科学的皇后."用皇后来形容数学,一则是显示数学地位的重要性,二则是体现数学的完美性.在数学中,一个优美的图形、一个对称的式子,都能够给我们以美的享受.当我们从多角度审视,多层面分析,用一题多解的方法去处理一个数学问题后,这种"殊途同归"会让我们为数学内     

重视反例教学,培养学生的创造力

所谓反例就是符合某个命题的条件,但不符合该命题结论的例子。构造反例是数学的重要思维方式,如同数学家B·R·盖尔鲍姆所指出的:“数学是由两大类——证明和反例组成,而数学的发现也是朝着两个主要的目标——提出证明和构造反例。……一个数学问题用一个反例予以解决,给人的刺激犹如一出好的戏剧。”可以说反例与证明同样重要,它是一个问题的两个侧面。     

数学美与数学教学

数学美是关于数学审美活动的一门科学,而数学教育与数学审美有着极其密切的联系。对数学美进行分析(对称美、和谐美、简单美、奇异美等)固然有意义,但同时,数学教学并不满足于数学美的论述,如何在数学教学过程中展现数学美,使学生能够感受美和欣赏数学美,把数学的美育功能真正落实在数学教学中,显得尤为重要。一、数学美意义的阐述美,作为现实事物和现象、物质产品和精神产品,艺术作品等属性的总和,具有匀称性、比例性、和谐、色彩变幻、鲜明性和新颖性,作为精神产品的数学就具有上述美的特征。我们知道,数学的世界,是一个充满了美的世界:数…     

以数学美促进学生数学素质的提高

美是自然界的客观真理与人的主观感受的和谐统一,而作为科学语言的数学具有一般语言文学和艺术所共有的美的特点,即数学在其内容结构和方法都具有自身的某种美,即所谓数学美。其中,概念的简单性、统一性,结构系统的协调性、对称性,命题和模型的概括性、典型性和普遍性,以及数学中的奇异性等都是美的内容。因此数学美是一种科学美,它集中体现于数学本身的简洁美、对称美、相似美、和谐美(即统一美)。通过对数学美的追求与揭示,不仅可提高审美情趣和修养,还可大大提高学生的数学素质。下面谈谈教学中如何以数学美促进学生数学素质的提高。