“等角对等弧”的推广

在《圆》的一章中,有如下的定理:“同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。”这条定理,人们常简化为“等角对等弧”。如果把它推广到不等的圆中,就可得到推论: 相等度数的弧所对的圆周角相等;在不等的圆中,相等的圆周角所对的弧的度数也相等。应用这条推论,在解决不等圆的有关问题中可以带来方便。例1 已知两圆相交于A、B两点,AC、AD分别为两圆过点A的切线,各交圆于C、D两点,求证∠ABC=∠ABD。证:∵∠CAD是两圆     

道是无“圆”却有“圆”

<正>平面几何中构造圆来解决有关角度相等的问题、动点的轨迹问题等是十分巧妙而且有效的解题方法.本文针对如何构造圆,构造圆后怎样解决相关问题予以举例说明.一、四点共圆1、对角互补的四边形四个顶在同一圆上如图1,四边形ABCD中,若∠A+∠C=180°(∠B+∠D=180°),那么A,B,C,D四点共圆.     

圆的问题专题训练

一、选择题1．下列说法中错误的是( )．A．直径是圆中最长的弦B．平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧C．不在同一直线上的三点确定一个圆D．在同圆或等圆中,能够重合的两条弧叫做等弧2．如图1．在△ABC中,∠ABC=30°,AB=10,那么以A为圆心,以6为半径的⊙A与直线BC的位置关系是( )．A．相交B．相切C．相离D．不能确定     

对一道中考几何题的思考和探讨

题目如图1,已知两个等圆⊙O1、⊙O2相交于A、B两点,一条直线经过点A,分别与两圆相交于点C、D,MC切⊙O1于点C,MD切⊙O2于点D.若∠BCD＝30°,则∠M＝____.     

将军饮马基本模型及其应用

<正>将军饮马问题是每年各地中考的热点之一,其基本模型特点是两定点一动点,动点在直线上运动.本文对利用将军饮马基本模型解决问题的策略进行探究,与大家分享.一、将军饮马基本模型如图1,直线l和l的同侧两点A,B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小.二、模型应用1.线段转移例1 (2019年成都中考题)如图2,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°.将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′,分别连结A′C     

九年级结课几何质量检测题

一、单项选择题(每小题3分,共30分)1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.则内切圆直径是().(A)a b-c(B)a b c(C)a b-c2(D)a b c22.正三角形的边心距、外接圆半径、高三线之比为().(A)1∶2∶3(B)1∶2∶3(C)1∶4∶9(D)1∶3∶23.已知⊙O的圆心在原点,半径为33,点A的坐标为(4,3).则点A与⊙O的位置关系为().(A)点A在圆上(B)点A在圆内(C)点A在圆外(D)点A为⊙O的圆心4.一个扇形的中心角为300°,半径为1cm.则这个扇形的周长为()cm.(A)2π(B)(2π 2)(C)5π6 2(D)5π3 25.一个点到圆的最大距离是9,最小距离是4.则圆的半径是().(A)2.…     

巧添辅助圆 妙解几何题

有些几何题,若仅根据所给条件进行求解或论证,往往很难达到目的,这时只要添加适当的辅助线,就会使问题化难为易.巧妙添加辅助圆,可以使直线与圆建立联系,通过圆的有关性质迅速找到解题途径.这样做不仅能使问题迎刃而解,而且有助于培养同学们的创新思维能力.现举例分析如下,供同学们参考.一、根据“到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”来添加辅助圆例1已知:在四边形A BC D中,A B∥D C,A B=A C=A D=5cm,CB=19姨cm.求D B的长.解析:由于B、C、D三点到点A的距离均等于5cm,则点B、C、D均在圆心为A、半径等于5cm的圆上.作出辅助圆(…     

巧作外接圆 妙解几何题

圆是一种基本图形,也是一种重要的辅助线.在一些有关三角形和多边形的问题中,若能作出三角形或多边形的外接圆,并恰当利用圆的性质,可使解题过程简化. 一、题目中有过同一点的三条线段相等的条件时,一般可作辅助圆例1如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=AC=AD=a,BC=b,求BD的长.分析:题目中有过A点的三条线段AB、AC、AD相等的条件,可考虑过B、C、D三点作辅助圆.解:以A为圆心,a为半径作圆,延长BA交⊙A于E,连结DE.∵AB=AC=AD=a,∴B、C、D均在⊙A上.∵AB∥CD,∴DE=BC.∴DE=BC=b.又∵BE是⊙A的直径,∴由勾股定理,得…     

辅助圆——一种求解线段最值的方法

<正>《初中数学教与学》2015年第10期陈林香老师《求解线段最值问题的常用方法》中,提供了运用构造三角形求线段最值问题的方法,笔者也提供一种构造辅助圆求解线段最值的方法,供参考.模型如图1(1)与图1(2),求点A到圆上各点的最大距离与最小距离.如图1(1),点A到⊙O的最大距离为AC,最小距离为AB.如图1(2),点A到⊙O的最大距离为AC,     

圆

近几年中考试题所反映出的圆的考点主要有:1.准确理解和圆有关的概念及性质,辨别一类与圆有关的概念型试题.例如:(1)下列命题正确的是.A.平分弦的直径一定垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧B.相等的圆周角所对的弧相等C.等弧所对的圆周角相等D.任意三点可以确定一个圆分析:本题主要考查三个方面的知识:第一,被平分的弦不能是直径,否则两条直径一定互相平分,但不一定垂直,故A不正确.第二,圆周角定理的推论1:同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等,当缺乏前提条件时,命题不成立,故仍不正确,而C符合推论1.第三,定理:不在同一直线上的三点确…     

求解一道几何竞赛题的心路历程

问题（第十届西部数学奥林匹克试题）如图1，AB是圆O的直径，C、D是圆周上异于A、B且在AB同侧的两点．分别过点C、D作圆的切线，它们相交于点E，线段AD与BC交于点F，直线EF与AB相交于点M．求证：E、C、M、D四点共圆．     

集锦 第41届IMO两赛题的证明与评注

第 41届 IMO试题已刊载在《中等数学》2 0 0 0年第 4期上 ,笔者对其中的第 1,2两题给出证明与评注 ,供参考 .1　圆 Γ1 和圆 Γ2 相交于点 M和 N.设 l是圆Γ1 和圆Γ2 的两条公切线中距离 M较近的那条公切线 .l与圆 Γ1 相切于点 A,与圆Γ2 相切于点 B.设经过点 M且与 l平行的直线与圆 Γ1 还相交于点 C,与圆 Γ2 还相交于点 D.直线 CA和 DB相交于点 E,直线 AN和 CD相交于点 P,直线 BN和 CD相交于点 Q.证明 :EP=EQ.图 1证明　连结MA,MB,ME,延长 NM交 AB于F.∵ l是⊙Γ1 ,⊙Γ2 的公切线 ,又CD∥l,∴∠ EAB =∠ C=∠ MAB…     

一道课本习题的教学探讨

<正>苏科版教材九年级上册《圆》中,有这样一道练习题:如图1,BD、CE是△ABC的高,M为BC中点.试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上.     

把握核心知识 彰显教育价值——道课本例题引发的探究与思考

正椭圆是圆锥曲线的核心内容之一,椭圆的方程、几何性质等核心知识与圆有很多相似之处.最近,笔者遇到了一次学生的追问,引发了一场意外的探究,感触颇深.现整理出来,与同行们交流探讨.1问题再现人教A版选修2-1第41页例2及题后思考:题目如图1,在圆x~2+y~2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?     

对一道竞赛预选题的探究

<正>图1题目如图1,在一条直线l的一侧画一个半圆Γ,分别过半圆Γ上两点C,D作Γ的切线与l交于点B,A且使Γ的圆心在线段AB上,AC与BD交于点E,过E作EF⊥l于点F.求证:EF平分∠CFD.这是第35届国际数学奥林匹克的一道预选题.笔者通过探究,发现了几个结论,现介绍如下.一、对预选题的探究在预选题中,A,B是半圆的两切线与直线l的交点,有     

挖掘题目中的隐含条件

我省91年中考数学卷里的一道选择题: 下列命题中,真命题是: (A)等弧所对的圆周角相等; (B)长度相等的弧所对的圆周角相等; (C)相等的圆周角所对的弧相等; (D)同圆中,同一条弦所对的圆周角相等。此题的得分率竟是8.9％。因(D)中有个前提在同圆中,许多同学都选(D),而忽视了(A)中的“等弧”隐含着条件“在同圆或等     

中考创新题训练（圆）

1.如果两圆的公切线共有3条,那么这两个圆的位置关系是().A.外离B.相交C.内切D.外切2.如图1,在00的内接四边形ABCD中,AB是直径,乙BCD二1300,过D点的切线PD与直线AB交于尸点,则乙AD尸的度数为(). A .400 B.450 C.500 D.650 3.如图2,两圆轮叠放在墙旁,若两圆轮的半径分别为R和;(R>r),则它们与墙的切点A、B间的距离为(). A .R十r B.R七尸C.、仄于D.2丫坂于优曲。匕。AB 4.已知圆锥的侧面展开图的面积是30竹,母线长是10,则圆锥的底面圆的半径为().A.2 B.6 C.3 D.4 5.如图3,弦AB的长等于00的半径,点C在五~蔽云上,则乙C的度数是…     

两圆位置关系中出现的两线平行及其应用

两圆位置关系中,在一定的条件下图形中常常会出现两线平行的情况.解题时,如果抓住了两线平行,那么也就找到了解题的钥匙.1两圆相交出现的两线平行性质1:如图1,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,经过点A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D;经过点B的直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点     

读者来信

贵刊1991年第3期《三角综合问题琐议》一文中例8:“已知圆○及圆外一点P,从P点引圆的割线PAB,证明不管PAB的位置如何,tg1/2∠AOP·tg1/2∠BOP是定值”。该题的解是臆断点P、A、O、B四点不在同一条线段上,忽视了题中的“不管PAB的位置如何”的条件,即忽视了点P、A、O、B四点共线时该结论不成立的情况。事实上,根据“不管割线PAB的位置     

九年级第一学期期中几何质量检测题

一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列命题正确的是().(A)三角形的外心在三角形的外部(B)圆的直径是它的对称轴(C)圆周角等于圆心角的一半(D)圆内接平行四边形是矩形2.下列命题正确的是().(A)三点确定一个圆(B)任意三角形有且只有一个外接圆(C)经过圆心且平分弦的直线,垂直于这条弦(D)直角所对的弦是直径3.已知圆内接四边形ABCD中,AB的度数∶BC的度数∶CD的度数∶DA的度数为1∶2∶3∶4.则∠A∶∠B∶∠C∶∠D等于().(A)1∶2∶3∶4(B)4∶3∶2∶1(C)4∶3∶1∶2(D)5∶7∶5∶3图14.如图1,⊙O的两条割线ABC、AED分别与圆交于点B、C…