非负数

师：我们学过下面三类数：１．偶次幂：ａ２，２ａ＋１２，ａ－２４，－ａ＋１６等等；２．算术根：ａ≥０，２ａ＋１≥０等等；３．绝对值：｜ａ｜，｜２ａ＋１｜，｜ａ＋２ｂ－１｜等等。这三类数有没有共同特点呢请同学们思考、讨论。在学生的讨论过程中，教师可适当参与、启发师：将讨论结果进行小结，并指出用得最多的是当中三个数，板书ａ２≥０，≥０ａ≥０，｜ａ｜≥０。其中，ａ代表数或代数式。当ａ＝０时，它们的值为零；当ａ≠０时，它们的值大于零。我们把这样的数叫做非负数。师：我们来确…     

这筐水果共有多少个

题目：筐里装有许多水果，已知有１７个不是苹果，有２１个不是梨子，苹果和梨子共２４个，问这筐水果共有多少个？分析与解答：根据题意，可列出如下关系式苹果数＋其它水果数＝２１＋）梨子数＋其它水果数＝１７２４＋其它水果数×２＝３８从上式中不难看出，其它水果数的２倍正好是（３８－２４）个，所以其它水果是（３８－２４）÷２＝７（个），这筐水果共有２４＋７＝３１（个）。答：这筐水果共有３１个。也可以这样思考：这筐水果中有１７个不是苹果，有２１个不是梨子，这说明苹果比梨子多２１－１７＝４（个），由此可求得：梨子…     

《整式的乘除》中隐含的思想方法

《整式的乘除》一章中隐含有一些重要的数学思想方法，活用它可给解题带来很大的帮助．一、字母表示数的思想方法同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则，都是从一些具体的数开始，然后用字母表示数而得出一般性的结论．这种用字母表示数的思想方法，在解题时可起到化繁为简的作用．例１计算：２００１２０００２２００１１９９９２＋２００１２００１２－２的结果是．解：设２００１２０００＝x，那么原式＝x２（x－１）２＋（x＋１）２－２＝x２（x２－２x＋１）＋（x２＋２x＋１）－２＝１２．二、整体思维的思想方法乘法公式中的字母…     

用分组法解一类竞赛题

新颖别致的融思考性、趣味性、技巧性于一炉的竞赛题，解题策略很多。分组法是其中的一种。例１１＋２－３－４＋５＋６－７－８＋９＋１０－１１－１２＋…＋１９９７＋１９９８－１９９９－２０００＋２００１＋２００２等于多少？分析与解：除首尾两项之外，其余各项依次每四项分为一组，每组的计算结果都为０：２－３－４＋５＝０，６－７－８＋９＝０，……１９９４－１９９５－１９９６＋１９９７＝０，１９９８－１９９９－２０００＋２００１＝０，整个算式的计算结果等于首、尾两数之和。即原式＝１＋（２－３－４＋５）＋（６－７…     

有理数运算技巧十招

有理数运算若能根据算式的特征,注意采取运算技巧,则不但能化繁为简、避难就易,而且妙趣横生、新颖别致。一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。例１计算：（－８）＋１０＋２＋（－１）。解：原式＝（－８－１）＋（１０＋２）＝－９＋１２＝３。二、凑整将相加和可得整数的数凑整。例２计算：２２５－１３－５．８＋３３５＋２４－３．２－１。解：原式＝（２２５＋３３５）＋（２４－１３－１）＋（－５．８－３．２）＝６＋１０－９＝７。三、对消将相加得零的数（如互为相反数）对消。例３计算：１２－（－１３）＋（－…     

对偶数a＋b,a—b的构造与应用

数的性质是从运算中表现出来的．由于对立或者统一的缘故，使一些成对的数在某种运算中相遇后，表现出许多奇异的性质来，我们把具有这样性质的数对称为对偶数．比如：ａ＋ｂ与ａ－ｂ就是一对典型的对偶数．本文试图对构造对偶数（式）解题作肤浅的探讨．先看下面的例子：例１　求证（ａ＋ｂ）２≤２（ａ２＋ｂ２）．证明　（ａ＋ｂ）２≤（ａ＋ｂ）２＋（ａ－ｂ）２＝２（ａ２＋ｂ２）．这里构造了（ａ－ｂ）２，思路顺畅，方法简单．例２　求（ｘ＋２）２ｎ＋１展开式中ｘ的整数次幂项系数之和．解　构造对偶数（２－ｘ）２ｎ＋１，由二项…     

有理数简捷运算八法

进行有理数运算时，如能根据运算法则和定律，灵活地采用归、凑、拆、合、转、变、消、略等八法．则可使运算简捷、准确．一、归将同类数（如正数或负数）归类计算．例1计算：（－13）＋（＋28）＋（－47）＋（＋50）．解原式＝（28＋50）＋（－13－47）＝78－60＝18．二、凑将相加后可得整数的数凑整．三、拆将一个数拆成几个数进行运算．例3计算：125×（－32）×（－25）．解原式＝（125×8）×（－4）×（－25）解原式四、合根据“凑整”的特点，把两个或两个以上的数合并起来．例5计算：3．875×26．32－17．865×3．875－3．875×（－…     

大胆猜想探求最佳形式

高级中学课本《代数》下册必修第３２页的习题９是：已知：ａ＞ｂ＞ｃ，求证：＋＋＞０．此题的习惯证法都是证明它的等价形式＋＞．由于ａ＞ｂ＞ｃ，所以ａ－ｃ＞ａ－ｂ＞０，所以＞，而＞０，从而问题得证．如果就题论题，此问题确实得到了比较好的解决．然而，蕴含在此问题中的规律性知识却被丢弃了．分析一下＋＞，ａ－ｂ＞０，ｂ－ｃ＞０，而ａ－ｃ＝ａ－ｂ＋ｂ－ｃ，即两个分母的和，这是巧合吗能否将ａ－ｂ，ｂ－ｃ换成一般正数ｘ，ｙ呢不妨试一试．于是，我们有猜想１若ｘ，ｙ∈Ｒ＋，则≥显然，≥≥（ｘ＋ｙ２≥ｘｙｘ２＋ｙ…     

介绍两种加法计算的方法

如何在加法计算中有效地提高自己的计算能力，这里告诉你两种方法：一、凑整法。二、找基准数法。什么是凑整法呢？我们先来看例题。例１４９９９９５＋５９９９８＋３９９６＋８０８＋６９＝经过观察，我们可以看出这题有一个明显的特点，即每一个加数与整十、整百、整千、整万都相差不大，我们可以先把这些数分别演变成这样的算式，即：将４９９９９５改为５０００００－５，５９９９８改为６００００－２，３９９６改为４０００－４，８０８改为８００＋８，６９改为７０－１，然后再列式计算。原式＝５０００００＋６００００＋４０００…     

"乘法分配律的应用"教学片段及其评析

九年义务教育五年制小学数学教材第七册“乘法分配律的应用”例６的一个教学片段为：师：以下各小题的空格里可以填哪些数？你的根据是什么？①（８０＋８）×１２５＝□×１２５＋□×１２５②（□＋□）×３７＝３５×３７＋６５×３７③１０２＝□＋□④４３＝□＋□生１：①题是利用乘法的分配律把两个数的和同一个数相乘，改写成这两个数分别同这个数相乘，再把两个积相加。②题是把这个规律反过来用，这样计算时会来得简便，而③④题则是用口算（把这个数改写成整十数与某数相加或整百数与某数相加的形式）进行改写的。师（指生１）：…     

你会解答吗?

初一年级A、B的大小．3．求1＋2＋3＋4－5－6＋7＋8－9－10＋11＋12－13－14＋15＋…＋1992－1993－1994＋1995的值．4.一列火车通过1400米长的铁桥，从火车开始上桥到这列火车完全通过桥用了80秒钟，整列火车在桥上的时间是60秒钟，求火车的速度和长度．初二年级1．已知求证：x＝y－z2若x、y、z都是实数，且满足关系式：则x（y＋z）＋y（z＋x）－z（x＋y）＝．3．如图1，在ABC中，AB＝AC，D为ABC内一点，且DB＜DC．求证：＜ADB＜＞ADC．4．如图2，∠ABD＝∠AED＝锐角，且∠ADB＝90°求证：AB＝AE．你会解答吗?@边冼…     

你会解答吗?

初一年级1.已知：求A＋B2　求1＋2－3－4＋5＋6—7－8＋9＋…＋1990－199171992＋1993＋1994的值．3.已知：3a·5b·7c·19d＝1995，a、b、c、d是自然数，求（a＋b－c－d）1995的值．初二年级4．已知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1995，试求（ac＋bd）2＋（ad－bc）2的值．一次不等式（组）你会解答吗?@杨燕$浙江绍兴钱清中学     

巧变形 妙判根

一、变成完全平方式的形式例１已知关于x的一元二次方程（k２－k－２）x２－（５k－１）x＋６＝０（k≠２，k≠－１）．求证：这个方程一定有两个实数根．证明：∵k≠２，k≠－１，∴k２－k－２≠０．∵Δ＝〔－（５k－１）〕２－４·６（k２－k－２）＝k２＋１４k＋４９＝（k＋７）２≥０．∴该方程一定有两个实数根．二、变成完全平方式加一个非负数的形式例２已知：a、b、c是实数，且a＝b＋c＋１．试证：两个方程x２＋x＋b＝０和x２＋ax＋c＝０至少有一个方程有两个不相等的实数根．证明：两个方程的判别式分别为Δ１＝１－４b，Δ２＝a…     

求函数最值的两种基本方法

求函数最值的两种基本方法□甘肃省体育运动学校王迎席数形结合法数形结合法借助函数的几何意义求函数域，发挥代换法和图象法两方面的技巧，既可化难为易，又形象直观。例１．求ｕ＝ｘ２＋ｙ２＋（ｘ－１＋２＋（ｙ－１）２的最小值．解：联系到直角坐标系上两点间距离公...     

谈一道课本习题的教学价值

１问题提出高级中学课本《代数》下册（必修）第３２页的习题９是：已知ａ＞ｂ＞ｃ，求证：１／ａ－ｂ＋１／ｂ－ｃ＋１／ｃ－ａ＞０。     

一道例题的教学与反思

数学复习课上有这样一道例题： 设k为实数，求直线L1：kx-y＋2（k＋1）=0与12：x＋ky＋2（k-1）=0的交点P的轨迹的普通方程。     

“乘法的意义”教学设想

小学数学第八册“乘法的意义”的教学，过去是严格按照被乘数和乘数的位置列式。教育部制定的《数学课程标准》规定：“关于乘法：３个５，可以写作３×５，也可以写作５×３。３×５读作３乘５，３和５都是乘数（也可以叫因数）。”即不再强调乘数与被乘数之别，也不再读“乘以”。一、教学时，出示下图，让学生从不同的角度观察、思考，数一数、算一算，一共有多少个圆片，这样便有：横看：４＋４＋４＝１２（个）４×３＝１２（个）竖看：３＋３＋３＋３＝１２（个）３×４＝１２（个）接着让学生观察，计算教材上的鸡蛋图，得到：横看：…     

『两位数减一位数(退位)』教学片段与评析

九年义务教育五年制小学数学第二册教材 (人教版 )“两位数减一位数 (退位 )”的一个片段为： ●复习 　　(1)12－ 7 15－ 8 13－ 6 (复习“ 20以内的减法”的口算 ) 　　(2)20＋ 4 50＋ 3 7＋ 60 (复习“整十数加一位数”的口算 ) 　　(3)30＋ (11－ 4) 40＋ (15－ 8) (复习先减后加的运算顺序 ) 　　●新授 　　师：通过以上练习，老师知道同学们对 20以内的减法和整十数加一位数的加法学得不错。现在老师想知道同学们动手摆小棒的本领，请大家在桌面上摆上 23根小棒，并说说你是怎样摆的。 (为了显示自己的本领，全体同学都在摆弄小棒 ) …     

一个代数不等式的推广

宋庆先生在《一个新发现的代数不等式》（见数学通讯１９９９年第６期）一文中得到如下定理及推论： 定理　若ｘ，ｙ，ｚ是正数，则 ｘｎ（ｘ－ ｙ）＋ ｙｎ（ｙ－ｚ）＋ ｚｎ（ｚ－ｘ） ≥（１）其中ｎ≥０；当ｎ≤０时；不等式（１）反向，等号当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ或ｎ＝０时成立 推论若ｘ，ｙ，ｚ是正数，则 ｘｎ（ｙ＋ｚ－２ｘ）＋ｙｎ（ｚ＋ｘ－２ｙ）＋ｚｎ（ｘ＋ｙ－２ｚ）≤（２）其中ｎ≥０；当ｎ≤０时，不等式（２）反面，等号当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ或ｎ＝０时成立。 本文目的是将不等式（１）与（２）进行推广，得到相应的两个不等…     

在新课改中学会反思——新课改经典案例评析

【案例１】老师，你的条件弄错了一位数学老师，在讲二年级数学课《乘法的初步认识》时设计了下面一个问题：师：请将“７＋７＋７＋７＋４”改为乘法算式。生１：７×４＋４①生２：７×５－３②生３：不对。这两个都不是完全乘法算式。生４：８×４③生５：老师，你的条件弄错了。如果是“改变为简便算式”就好了。师：还是同学们聪明。【评点】这个案例给我们三点启示。启示一：问题的设计要富有挑战性。“７＋７＋７＋７＋４”是一个设计奇妙的问题，妙就妙在第五项的“＋４”。这一项的确算作神来之笔，学生的思维空间由此得以拓宽，而…