二次方程根的讨论及应用

对于二次方程ax~2 bx c=0(a≠0),初中教材对其根的存在性作了比较全面的讨论,但对于其根的符号及分布,学生仍不太了解.为了加深理解和灵活运用二次方程的有关知识,提高分析问题和解决问题的能力.我们给出以下三个直观的命题,用来处理二次方程根的问题是非常有效的.     

二次方程根的分布范围的讨论

二次方程根的分布范围的研究是讨论二次方程的重要内容之一。要求出方程 ax~2+bx+c=0(a≠0)根落在某个区间内或外的充要条件,大多以二次函数的图象作为辅助工具,但能否从理论上作出严格的证明?本文将作一些探讨.下面的论证是以两条定理为基础的.     

用根序法判断函数单调性和极值

研究函数单调性和极值等,利用导数比使用不等式和方程等其它代数工具方便。一般地,在求出函数y=f(x)的导数f'(x)之后,可化为f'(x)=P·h(x)·(x-x1)P1(x-x2)P2·…(x-xn)Pn(其中P为常数,在f(x)的定义域内p·h(x)恒大于0或恒小于0,P1,P2…Pn均为整数的形式即可用数轴标根法(根序法),构造只含x轴、省略原点和y轴的简易直角坐标平面,借助表示导数f'(x)符号的蛇型曲线,简便求出函数f(x)的单调区间以及极值点。下面分别举例说明。设f'(x)=P·h(x)(x-x1)P1(x-x2)P2·…(x-xn)Pn类型Ⅰ:当ph(x)>0恒成立,P1,P2…Pn均为奇数时例1求函数f(x)=(x2-…     

利用二次方程根的判别式证明不等式

二次方程根的判别式反映了根的性质和系数之间的关系,它在不等式的证明中也有广泛的应用,现介绍如下。 我们知道,若二次方程ax~2+bx+c=O(a≠0)有两实数根△=b~2-4ac≥0,利用此性质,可证下件有关不等式。     

运用二阶导数讨论函数的极值

在高中数学选修部分,介绍了运用函数的一阶导数可以确定函数的极大(小)值。提出的基本方法是:     

分离参数法解二次方程根分布

解二次方程根分布问题的基本原则是数形结合,画出一个符合条件的二次函数图像,由图像看区间端点的函数值的符号,看对称轴的位置,判别式的正负,由这些不等关系构成关于参数的不等式组,解之即可得范围。若方程中的参数可以分离,利用参数分离法求解,简洁有趣。     

利用根的判别式求极值

在实际生活中，经常要遇到求极值的问题，此类问题有时可利用根的判别式来求解．一般说来，首先根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得△≥0，进而求出y的取值范围，并由此得出y的极值．现举例如下：     

二次方程根的讨论容易忽视的几个问题

对含有参数的一元二次方程,就根的情况进行讨论时,学生由于概念不清,思考不慎,常常顾此失彼,造成失误。除首项出现零,忽视△≥0等错误外,下面补充一些常犯的错误,以引起重视。 1 多余条件,不加删除     

二次方程根的讨论问题的常见类型与解法

在高考试题中常常会出现二次方程根的讨论问题，或可转化为二次方程根的讨论问题．有些同学由于对这类问题没有一个整体的把握，从而无从下手．其实，二次方程根的讨论问题是很成型的，本文就二次方程根的讨论问题的常见类型与求解方法归纳如下．     

一种二次方程根的分布讨论及简化策略

近日在阅读有关章时，发现中所给出的二次方程ax^2 bx c=0(a,b,C∈R，a≠0)在开区间(α，β)上有实根的充要条件还有欠缺．而产生错误的原因在于忽略了二次函数图象过开区间端点的情形，进行补救后不难得到：在(p，q)内有惟一实根(不含有两个相等的实根)的充要条件是     

利用二次函数的图象讨论二次方程实根的符号

张士春同志在《关于二次方程实根符号的讨论》一文中,根据二次方程的根的判别式以及韦达定理,对一元二次方程实根的符号和方程的系数之间的关系,进行了代数方法的讨论。作为教学研究,本文拟从数形结合这一角度,利用二次函数的图象——抛物线的位置,即它的对称轴、张口方向以及纵截距,对其相应的一元二次方程的实根符号的关系,进行讨论。     

函数极值的矩阵判别法

本文给出了利用矩阵判定函数极值的方法     

利用函数极值 解决实际问题

何时获得最大值既是二次函数极值问题的具体应用,更是中考的热点.在解题过程中,需将实际问题转化为数学问题,构建目标函数,通过二次函数的极值可使问题得以解决.现精选几例08年中考题,解析如下,供同学们参考.     

利用函数几何意义求函数极值

从函数几何意义入手，通过巧妙地构造几何图形，建立几何模型，可以简明扼要地求出函数极值．     

利用函数的极值求最值

在高中数学中，以下三种最值问题可用函数仍值法解：1．空间中异面直线的距离；2．圆锥曲线上的点已知直线距离的最大、小值；3．通过换元求解最值。     

利用函数讨论几何图形

几何与代数综合问题是中考一个重要的热门考点.用函数讨论几何图形是这类题中的一个重要类型.     

利用函数讨论几何图形

几何与代数综合问题是中考一个重要的热门考点，用函数讨论几何图形是这类题中的一个重要类型。     

多元函数极值判别法推广

利用代数中的正定阵对多元函数的极值的判别法作一些推广     

二次方程根的简单变换

国际数学大师陈省身称“方程是好的数学”,这充分说明方程在数学中的作用和地位.解方程的本质是揭示根与系数的关系.本文介绍一元二次方程根的常见、基本变换,看一看当方程的根作某种变换时,方程的系数会有怎样的相应变化.一、倍根变换例1以方程x2-2x-5=0的两根的10倍为两根,请写出新方程.解1设原方程的两根为x1,x2,则x1+x2=2,x1·x2=-5.记新方程两根为y1,y2,而y1=10x1,y2=10x2,所以y1+y2=10(x1+x2)=20,y1·y2=100(x1x2)=-500.因此,所求新方程为y2-20y-500=0.解2由y=10x,得x=1y0,以此代入原方程得(y10)2-2(y10)-5=0,即y2-20y-500=0.显然,解2…