导数法证明不等式的函数构造

应用导数证明不等式是导数的一个重要应用,是不等式证明的一种新方法.导数法证明不等式就是根据原不等式的结构特点,构造适当的函数,进而通过求导考察函数的单调性或最值,再利用函数的单调性或最值来证明不等式.导数法证明不等式的关键是构造函数,本文举例说明构造函数的几种方法,供参考.1对于(或可化为)左右两边结构相同的不等式,构造函数f(x),使原不等式成为形如f(a)>f(b)的形式.例1证明2sin2cos2sin55555ππ π>ππ cos5π.分析题中2π/5、π/5不是特殊角,若用传统方法证明将会很困难,考虑到原不等式两边的结构相同,分别是x sin x cosx…     

用函数思想证明不等式

不等式的证明方法很多,有时使人觉得扑朔迷离,无从下手或证明太繁而通过联想构造函数,将常量作为变量的瞬时状态置于构造函数的定义域内,利用函数的性质证明不等式,却是十分巧妙有效的方法．本文介绍构造函数证明不等式的几种途径,读者可以体会到用函数思想证明不等式,思路清新、简捷明快．一、利用一次函数的保号性证明不等式例1 (第15届俄罗斯竞赛题)已知x,y,z ∈(0,1),求证:x(1-y) y(1-z) z(1-x) <1．     

例谈求参变量取值范围问题

函数是中学数学中永恒的主题,并且它与方程、不等式等内容的联系非常密切.本文针对一类含参变量方程和不等式问题进行探讨,通过利用函数的有关性质,使这些问题化难为易.一、构造函数法例1对于0≤x≤1,不等式(x-(1)log3a)2-6xlog3a x 1>0恒成立,求a的取值范围.解:构造函数(f x)[     

构造函数法证明不等式

不等式的证明是中学数学的重点和难点内容,教材中介绍了几种基本证明方法,应用这些方法确实能使很多问题得以解决.但在异彩多姿的不等式海洋中,时常会遇到结构独特的不等式,按常规证法不但过于繁琐,有时甚至难以奏效.根据不等式的结构特征,可以构造函数,利用函数的性质加以证明,下面介绍证明不等式的一种特殊方法——构造函数法.     

构造函数法证明不等式

不等式的证明是中学数学的重点和难点内容,教材中介绍了几种基本证明方法,应用这些方法确实能使很多问题得以解决.但在异彩多姿的不等式海洋中,时常会遇到结构独特的不等式,按常规证法不但过于繁琐,有时甚至难以奏效.根据不等式的结构特征,可以构造函数,利用函数的性质加以证明,下面介绍证明不等式的一种特殊方法——构造函数法.     

构造函数解不等式

抓住所解不等式的结构特征,适当构造函数,利用函数的性质和图象解不等式,往往会优化解题过程,甚至出奇制胜,给人耳目一新的感觉。一、构造函数利用函数的性质解不等式1.利用函数的定义域解不等式     

构造函数法证不等式的思考途径

构造函数法是证不等式的一种重要方法 ,本文谈谈构造函数法证不等式的几种思考途径 .途径一　利用函数的单调性构造一个函数 ,使原不等式 (或经等价变形后 )的左右两边是这个函数在某一个单调区间上的两个值 ,就可以利用函数的单调性证明不等式 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,求证 :ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7.证明　令 ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ ,取 0 <ｘ1<ｘ2 <1,则ｆ(ｘ2 ) - ｆ(ｘ1) =(ｘ2 -ｘ1) 1ｘ2 - 1ｘ1=(ｘ2 -ｘ1) 1- 1ｘ1ｘ2 <0 ,所以 ｆ(ｘ)在 (0 ,1)上为减函数 .又 0 <ａｂｃ≤ ａ ｂ ｃ33=12 7,∴ｆ(ａｂｃ) ≥ ｆ 12 …     

构造函数模型证明不等式

有些不等式的证明 ,如果采用常规方法 ,往往不易下手或比较冗繁 ,但若从函数思想考虑 ,按照函数的某些性质适当地构造函数模型 ,问题可能容易解决 .一、利用单调性构造函数模型证不等式构造一个函数 ,使原不等式 (或经等价变形后 )的左右两边是这个函数在其一个单调区间上的两个值 ,就可以利用函数的单调性证明不等式 .例 1　已知ｘ >0 ,求证 :ｘ 1ｘ-ｘ 1ｘ 1≤ 2 - 3.证明 :设ｕ =ｘ 1ｘ,则ｕ≥ 2 .又ｕ2 =ｘ 1ｘ 2 ,∴ ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ-ｘ 1ｘ 1=ｕ -ｕ2 - 1=1ｕ ｕ2 - 1.当ｕ≥ 2时 ,这是一个关于ｕ的减函数 ,故当ｕ…     

构造可导函数在解不等式中的巧妙应用

<正>构造函数法是一种常用的解题方法,比如函数与方程、不等式问题,小题中构造可导函数解不等式是常见题型,如果巧妙地构造函数,进而研究函数的性质,问题就会迎刃而解,下面就几种题型和大家一起交流一下。一、构造f(x)±g(x)型例1定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)满足f'(x)>1,且f(2)=3,则关于x的不等式f(x)相似文献   

构造函数证明不等式的几种类型

构造函数证明不等式是不等式证明的一种重要方法.它要求我们能敏锐地观察不等式的结构特征,联想一些特殊函数所蕴涵的不等关系,从而合理地选择恰当的函数模型.并能准确地运用它们的性质,将这些不等关系表示出来.1构造单调函数,利用函数值的不等关系例1求证:eπ>πe.证明:令f(x)     

演好用导数证不等式的前奏——构造辅助函数

用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时,构造辅助函数的几种常用途径.途径一构造差函数直接作差,即构造差函数,是构造辅助函数的最主要方法.例1求证:不等式x-x22<1n(1+x)0,所以y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为x>0,且f(x)在…     

巧构函数证明不等式

证明不等式的方法有很多,其中利用函数来证明是重要方法之一,这种方法的关键是构造适当的函数,再利用函数的性质来证明.而怎样构造适当的函数常常是因题而异的,本文就此归纳了构造函数的几种方法供大家参考.1.特征构造法由待证不等式的结构特征直接构造函数.     

构造函数证明不等式

在不等式的证明中,可根据不等式的结构特点,恰当地构造函数,将证明转化为函数问题来研究,常常会使问题的研究得到简化.一、构造一次函数例1｜a｜<1,｜b｜<1,｜c｜<1,求证:ab bc ca 1>0.分析直接来证明比较困难,观察到不等式的左边是a(或b或c)的一次二项式,可以构造一次函数来研     

构造函数证明不等式

从函数思想考虑,按照函数的某些性质,适当地构造函数模型,是不等式证明的重要方法.一、构造二次函数证明不等式二次函数、一元二次方程、二次不等式联系极为密切,对于某些条件二次不等式的证明,可以考虑构造相应的二次函数模型,然后利用二次函数的图象及性质,使不等式得以证明.例1:已知:α+β+γ=π,求证:x~2+y~2+z~2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ.证明:构造函数     

解不等式的九种非常规策略

中学课本里介绍不等式的解法都是常规策略 ,但对于一些结构比较特殊的不等式 ,用常规策略过于繁琐 ,甚至难以奏效 ,本文介绍解不等式的九种非常规策略 ,供参考 .一、构造函数策略某些不等式 ,若结合其特点 ,构造一个函数 ,利用函数的性质来解 ,将会使解题简捷明快。例 1　解不等式 8(ｘ 1) 3 10ｘ 1-ｘ3 - 5ｘ >0 .解 :将原不等式变形为8(ｘ 1) 3 10ｘ 1>ｘ3 5ｘ .令ｆ(ｘ) =ｘ3 5ｘ .则不等式为ｆ 2ｘ 1>ｆ(ｘ) .∵ｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增 ,∴不等式等价于 2ｘ 1>ｘ .解得 :- 1<ｘ<1或ｘ <- 2 .二、构造图像策略构造图像 ,具体直观 ,…     

函数思想在不等式中的应用

函数思想是中学数学思想的核心内容.正确理解并掌握函数思想对提高数学素养很有帮助,尤其是在不等式中往往用函数思想去理解,能起到高瞻远瞩,画龙点睛的作用.下面略举几例,抛砖引玉.一、构造函数证明不等式例1 已知△ABC 的三边长是 a、b、c,且m为正数,求证:a/(a m) b/(b m)>c/(c m).简析:观察求证式结构,构造函数 f(x)=     

构造函数解不等式

抓住所解不等式的结构特征,适当构造函数,利用函数的性质和图像解不等式,往往会优化解题过程,甚至出奇制胜,给人耳目一新的感觉. 一、利用函数的性质解不等式1.利用函数的定义域解不等式     

巧构函数求解不等式问题

<正>函数的单调性与不等式问题密切相关.用函数的单调性解不等式问题,首要任务是关注其代数式的结构.以单调增函数为例,其核心结构是:若α>β, 则f(α)>f(β);反之,若f(α)>f(β),则α>β.这个代数结构有两个显著特征:(1)条件与结论都是不等式;(2)不等式两边所含的字母或代数式的结构是一致的.因此,遇到具有上述两个特征的不等式问题,就可以构造函数,并利用其单调性解题.本文试举几例,以飨读者.     

巧用构造法证明不等式

一、构造函数,利用函数的性质证明． 根据不等式中式子的结构特点,恰当的构造一个函数,从利用函数的性质证得不等式,这种方法叫做构造函数法．     

演好用导数证不等式的前奏——构造辅助函数

用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时,构造辅助函数的几种常用途径.