双曲线方程中a^2、b^2、c^2的向量解释

在双曲线的标准方程a^2^-x^2-b^2^-y^2=1（a〉0,b〉0）中,a,b扮演着“举足轻重”的角色。本文试图从向量的数量积的视角给出a^2,b^2,c^2的一种几何解释,即它们都是一些特殊向量的数量积之和。     

椭圆标准方程中a^2与b^2的向量内积诠释

我们都知道,椭圆有许多优美的性质．对于以椭圆为代表的诸多圆锥曲线问题,通常都是采取由形到数的函数与方程患想,具有很强的综合性．下面笔者运用平面向量的内积对椭圆标准方程中a^2与b^2进行诠释,给出一组性质并予以证明．     

直线方程x0x／a^2—y0y／b^2=1几何意义

文 [1][2]研究了当点P(X0,Y0)分别在圆和椭园上及其内部、外部时，直线方程x0x/a^2 y0y/b^2＝1的几何意义，本文将探讨点P(x0,y0)分别在双曲线x^2/a^2-y^2/b^2＝1上及其内部，外部时，直线方程x0x/a^2-y0y/b^2＝1的几何意义，并给出了它的一些实际应用。     

从e^2m＋a^2=c^2看双曲线的三种定义

我们现在很清楚双曲线有两种定义，一是“平面上与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a（2a〈｜F1F2｜）的点的轨迹”；另一种是“在平面上到定点和到定直线距离之比为e（e〉1）的点的轨迹”．这两种定义通常把前者称为第一定义，后者称为第二定义．这两种定义分别联系了双曲线的不同的几何特征量．     

巧用a^2＋b^2＋c^2-ab-bc-ca的特点

代数式口a^2 b^2 c^2-ab-bc-ca是一个结构特殊的式子，如果能巧用它的特点，常常可以简捷地解答一些问题。     

a^2＋b^2=c^2变式的应用

由勾股定理的关系式：a^2＋b^2=c^2，可得到两个重要变式： a^2＋b^2=（a＋b）^2-2ab=c^2（1） a^2＋b^2=（a-b）^2＋2ab=c^2（2） 这两个变式在解题中有着极其广泛的应用，今分类举例说明如下：     

a^2＋b^2=c^2其变式的应用

由勾股定理:a2 b2=c2,可得到两个重要变式:a2 b2=(a b)2-2ab=c21a2 b2=(a-b)2 2ab=c22这两个变式在解题中有着极其广泛的应用,今分类举例说明如下.一、应用变式(a b)2-2ab=c2解题例1在Rt△ABC中,已知S△ABC=6,AC BC=7,求斜边AB及斜边AB上的高的长.解:设a、b、c分别为直角边、直     

对平面几何中求解a^2＋b^2=c^2问题的思考

勾股定理是平面几何中的一条基础定理,简单实用,但直接套用勾股定理的结论,解决实际应用问题的意义并不大．因为在大量的实际应用中,往往是将应用勾股定理的内涵因素隐含在其他问题的求解中．因此,如何从应用勾股定理所需的被隐性的条件分析中,通过由表及里的分析,找出应用勾股定理的条件,再用勾股定理求解,有着极其重要的实用意义．     

双曲线考点扫描

双曲线是圆锥曲线中的三种曲线之一,也是高考考查的重点,主要考查定义、标准方程、几何性质等基础知识,考查基本技能与基本方法的运用。     

应用代换法证明等积式b^2=ac

对于三条线段a、b、c在同一条直线上的等积式b^2=ac的证明．常常因为找不到平行线或相似三角形而使思路中断，这时候若能适当运用代换法，可使愚路延续，问题迎刃而解．     

一道等轴双曲线定值问题的探究

针对2023年江西省景德镇、上饶等地名校联考的一道等轴双曲线问题,先给出三种求解方法,再探究等轴双曲线背景下两条线段OP、OQ所成角∠POQ与■之间的关系,所成角∠POQ与■之间的关系等,最后证明相关结论.     

双曲线及其标准方程

双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，传统的处理方法是先学习椭圆，再学习双曲线，通过对比椭圆知识来学习，降低难度，便于学生学习掌握。     

学习双曲线需关注四方面

一、双曲线的定义双曲线的定义用代数式表示为||MF_1|-|MF_2||=2a(a>0),这里要注意2a<|F_1F_2|,这点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF_1|- |MF_2|=2a(a>0)时,曲线仅表示焦点F_2所对应的双曲线的一支;当     

直线方程x0x／a^2＋y0y／b^2=1的几何意义

文 [1]给出了直线方程ｘ0 ｘ ｙ0 ｙ =ｒ2 的三种几何意义 .笔者认为直线方程 ｘ0 ｘａ2 ｙ0 ｙｂ2 =1也有类似的几何意义 .先求经过椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的切线方程 .设切线的斜率为ｋ ,则其方程为ｙ - ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 )或ｙ=ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 .将ｙ的表达式代入椭圆方程 ,得ｘ2ａ2 [ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 ] 2ｂ2 =1.化简并整理为ｘ的二次方程就是(ｂ2 ａ2 ｋ2 )ｘ2 - 2ａ2 ｋ(ｋｘ0 - ｙ0 )ｘ ａ2 (ｋｘ0 -ｙ0 ) 2 -ａ2 ｂ2 =0 .　　由于点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是切点 ,所以ｘ0 是这个方程的二重实…     

椭圆、双曲线的折射光学特性

用几何方法和费马原理讨论了椭圆、双曲线的折射光学性质。     

椭圆与双曲线——奇妙的类比

学习了椭圆与双曲线的定义与性质之后,我们发现,两者在定义、标准方程的形式、几何性质及其研究的方法等方面都存在很多相似之处,椭圆的很多性质都可以类比到双曲线上。本文研究两种曲线的几个有趣的性质,从中领会类比的方法,感受两种曲线的和谐与统一。     

椭圆标准方程中a2与b2的向量内积诠释

我们都知道,椭圆具有许多优美的性质.对于以椭圆为代表的诸多圆锥曲线问题的解决,通常都是采取由形到数的函数与方程思想,具有很强的综合性.下面笔者运用平面向量的内积对椭圆标准方程中的a~2与b~2进行诠释.给出一组性质并予以证明.     

隐条件a^→＋b^→＋c^→=0^→的教学启示

就隐条件a^→ b^→ c^→=0^→的应用，分基本型、探究型、巧用型、综合分析型和巩固练习型五大类型进行了举例说明，旨在引起学生对a^→ b^→ c^→=0^→的重视及灵活应用，进而提高学生解决实际问题的综合能力．     

求双曲线标准方程的若干方法

求双曲线标准方程,一般是采用待定系数法,求出系数。但是,在不同的条件下,方程的求法也不相同。如果方程的形式设得合适,常常可简化解题过程,避免复杂的计算,提高解题的效率。