一个不等式的证明及应用

定理设n任N,n)2,。r,t,s>0,a气+a头+…+a二=A,a互a蚕十a妥a匀+…+‘试~B.则 月下~,~r十,十‘D乙一共=二),兰一亩=工乃一“矛刀一l(1)等号成立的充要条件是al~a二证明令氏-a下+‘A一可,i一1,2,…,二,则b,簇热簇…簇b,.(用视差法可证)又a’l簇姚落…(试,由排序原理知云。:。‘)习。:。‘+,,j一:,2,…,,一1.(z) i=l矛,1(k>,时,约定b一b卜.).(2)中各式相加得 (。一1)e)习(,一。:),‘一万a:+1.(3) ‘,l亩.1其中C表(z)左边.因a互蕊a笼蕊…镇a二,a二镇a岌…簇心,故艺。户一艺。:.。渗‘姚+。诚+…+a二a悦=B.(4)(4)代入(3)得C)典n—1,此即(l)式.…     

第28届IMO候选题及解答(2)

5.证明:若a.b,c是三.角形的三边,且25二a+b+e,则。I因为2(a十b+c夕黑D十C十一竺- a+C en~厂2、十~一一一-二一‘二‘耳—} a+D\3/8·n一’.厂二一~十二生一\a+l〕匕+Cn专1丫" 6.给定5个实数U。,明:总能找到5个实数V。足下列条件.U,,U:,U3,U;.121丁,V,,V:.V3,、厂‘i}街及+击〕脚 a竺粤{竺〕〔梦(a一卜b+c)听以「匀(l)得到 (1)U;一V:eN: (2)习(\厂、一\rj)“<4. o‘i相似文献   

2006年7-8月号“数学创新与实践竞争”参考答案

题1叮·052x装满的牙膏瓶的体积叭二下·22 x 20=80叮(cI记).每次挤出才禽的体积F，二粉二。.257T((.rT，)，可用8()cr二32川次).扩大川圣后每次挤出牙膏的体积vZ二邮(). 25叮酬络二·o石2火l二0·36二(。nl，)·可用一呈9卫二222(次).可少用320一222二98(次). 036叮题2依题意，得动二l M=丝奸l巨妇卫少l) (a+l)(方+l)瓜二一卜1竺+1_二(‘，+I)(b+l、故M=人一，Z)+‘，+动+I) (‘什l)又乙+l) a+乙+2 (‘z+l)(b+l) Zab+a十b 2+a+b (a+l)(b+l)(a+l)(b+l)砂缪题3〔l)小明应朝下一站走.(2。小明的速度至少应为3oo 3!箫娜krn/h.衡任编嘱/穆…     

新年趣题六则

计算(冬+冬+ 乙O‘’‘+…黑二 乙又)U注)(卜卜粤+李十 乙j+益)一(1+粤+粤+ 乙j”·月一熹 乙UU住)(粤+喜十 乙吞…+熹 乙UU乃计算卿+尚+工姑扁+ 1一,~、目,一‘~闷一.,一1+2月一3十4十二+1+2+3+…+2004、、2005、_1少入至及矛获评」’3.分解因式:犷+2003二3十2。。4二“一2004二一2帕4连·已知二一价·+卜0,求丁2。。忆声的值·解方程:兴+熹+熹+ 乙,不、住住产入O勺入乙…+升去琴一决一熹 乙沈一又乙了汁~乙夕乙以U46.计算:20042+2005又ZOD3一2005火20042矛元了二丽i灭获万丽6亏下云i丽反泛石11犷用.月卜巾闷卜月卜阅卜一阅卜阅.司.一…     

数学练习题(十二)解答

日T.设0《a,b,c(1,求证 a .b,c.,J_、,J,、,J、,J一丁-一丁一;尸一下-气二十下一一泞一二一下一一,十,丁-下一一,一下下,卞Li一a少LI一0少(i一‘少荟盏1。1十O十‘1十‘十al十“十口证设O‘a(b(‘(1,由于刁门+。+。)(z一。)(i一。)镇二工土兰土互立二里二兰上立上全曰-一2. J (1+a+乙)(1一a)(1一乙)(1. :、一1以{J Ll一a少气1一Uj尧;二~;兀不~厂. 1卞“勺卜U (1一a)(1一b)(1一e 一1一C1妥》、— 一1十a+b工一a1一+1一万+(1一“)(1一b)(1一c)(1a+b+e气万一一一不面一十气1一1~卜a十Oa)(1一乙)(1一c)(1.石一否一 一 一 a1+b+e 1+1十C+…     

多项式函数值的一个组合恒等式

设多项式f(x)~aoxn+a:xn一’+……+a。一:x+‘,炳=b+(j一l)d,d笋。,j任N。那么n+z阶范得蒙行列式(以下总假定n)2): l bn+1 b盖+-lb3嘴1场嘴lbl日‘ 一一 Db全b呈b牙…b盆+1Dj D一(b厂bi)(b厂bZ)……(b厂b卜i)(bi+1一b:)(b:+:一bj)·,·…(饥+i一bJ) D(j一l)!(n+l一j)!d。 D_,一丁丁甲不“L节厂‘ n IU一从而1嘛嘛︸嵘粼1 11饥嘴 2,盆山bb 1工门‘11bbao .D=八Ua…试一laob全 lb晋一1aob呈 1b犷,aob呈依次给第i(i一1,2,……n)行元素乘以a。卜。,全部加到第n+1行的对应元素上去bn+1b若+:按第n十1行-一一展开一一艺(一1)·‘;+j .f(bj)·…     

数学奥林匹克高中训练题(5,续)

三、因为 (一1)‘一‘·z‘2 .4‘+(一l)‘·2‘一1 (一1)‘一’·2‘=2,‘+‘+(一z)‘·z‘一z (一1)‘一12‘ (2‘+(一l)‘)·(z‘+‘+(一z)‘+,)五、如图,设在时刻t时质点坐标为(x,刃, 2‘2‘+12‘+(一1)‘2‘+‘+(一1)‘+‘)所以,所求的值为专浊菩一告.竺乳.厄耳台了一月砰兴不万{丁斌与歹而不摄兰丽不)l︸3t二。时质点在坐标原点0.由物理学公式得①②=vocosa .t,=妙oslna.,一冬g:,. ‘Xy矛!、|t一粤(2一1)一 j 四、用数学归纳法.当n一1时,命题显然成立. 当n~2时, (a,十b)(aZ+b) 一a:aZ+bZ+(a:+aZ)b )。2+护+2丫石石百b =aZ+bZ+Zab=…     

一个复数的广泛应用

我们知道具有如下性质:。一令卒,是,的一个立方根,它 ‘白,.’而‘1,:.:一3献*〔N)时,(1+侧下l)·是一个实数。例4.(代敬下册p221 10(3))·求证:(一喜一卜 乙喇万 ? 1.:。3=面性l;2 .w+初=一1 3 .w·石~1;4.、2一石,而性。 5.1+切+w“一0 6.1十而+而胜O 注意这些性质的应用,可以使我们的解题简捷,达到事半功倍的效果。‘”+(一冬一返 乙乙3的倍数时为一1。”当n是3的倍数时为2.当,,不是 1、厂不证:设功~一令+二二二 乙‘例1.(代数下册227页12(l))计算:(甲产了+i)5一1+丫尹万一i解:原式一一i(一+了~厄一;)5一1+、/了i二一i(一1+丫~丁一,6,(…     

关于不等式证明的一点注记

考虑不等式的证明题:设a、西任R+,a+石=1,求证 /1\/,1\~25 ‘a十立}(b+一宁一!夕竿。 、“’a八“‘b/2 4.学生在证明中,常用其中箫(燕)’=4等号也在a=b=于时达到,所以(二告)(”一))2{矗+毙x4+2 1__口+一丁中幼事名 “ 1__D+万乡乙, 25=万.而这只能得到(·+告)(”+去),4.如用式子(·+一;)(”+丢)=,6·“+真 ba+万+下如果注意到a+告一2,。+含=2,a+”=1~15ab 二、*_:一(a+b)二1,、~‘。。、、丫。。 升比息a口飞一一不一-二)一七匕川1甘到习〔明 性峙不可能同时满足,所以下界4不能达到,还可进一步改进.由于(a+告)(”+一会)二·。+矗+万+下如…     

关于勾股数组的一个命题

命题均可表为任一勾股数组(a,白,c)(a(b)(a。,a。+k,cn),其中a。二无(e矛。、:+e少。、,.2+…+C矛J十:·Zn一‘)c。=k(C绪n十;+C萝。、1·2+…+C矛J草亡.zn).(k,n任N)证明因a<白,可设b=a+k(k任N).因aZ+(a+k)“=cZ:·(,+窄)2=一工,一Zk训丝十无一(华)‘‘)(1十令-二~1。因(1+侧丁)““辛=(一1)么n十‘=一1,.(1一侧玄)2”+‘ 可令十侧2kc=(1+侧丁)2“+‘,+毕一哗一“一(l一训厄一户·1 K尤(n任N)。。日、。k。,月‘,二、。。_贝tJI苛a二丁比、上卞V乙)一’ q+(1一训丁)Zu宁‘一2〕C〔(1+侧丁)之”+1k一︷4 一(1一训丁):n+,展开整理即…     

Abel变换的应用

·习冈Abel变换为:名。‘b:=。产,+忿~1变换得.一I乙a*(。‘一。:十,)丫、一名b、:二。声 .~至。+习a‘(二:一x:+,)其中。:二名。、‘i~1,2…,”)._a味劣月一(x,一x:,:)=名(a一 口曰万问了正:刀。‘乙‘=。:乙:+。2乙2+…+aob。 ,,1·万曰 一 =a:a,+aZ(aZ一a,)+…+a.(口一a。一:) 二a,(a,一aZ)+口2(aZ一a3)+…+a一:(a,l 一口,)十a。气 .一l =。。a.+刀a‘(a,一a‘十:). 云口1 众所周知.人bel变换在高等数学中有其广泛的应用.其实.它在初等数学中也占有一席之地.请看下列几例. 例一设a:,aZ,…,a。:b:,bZ,…,b。是实数.证明使得对任何满足…     

代数与初等函数自测试题(三) 参考答案

,‘、3。\。,。、。_,。\,戈1)一一工一j拼笋U;戈‘少O。个必芬二0;,_、.J一。,,、_.1~n,_、八、气J夕C十4之之尧一0;又4尹己十一一‘,‘,L改.产尹户Uj。二、(i)侧;(2)x;(3)x;(1)(x+5)(x+7)<(x+6)“(2) 1~21十一一万‘夕一 X~X(3)(aZ+材Za+l)·(aZ一杯Za+1)((a孟+a+i)(aZ一a+i);(4)x“+3>3x。四、(‘’·>2;(2,·>音或X<一道(3)一1(了《9;(4)二>互土竺二 2(5)一9<叉<5。 五、一2簇二<2或6相似文献   

“整式乘除、平行线”单元自测题

第I部分一、坡空题(每小题1.5分,共21分)·(一了勺~ 一: .) ︷万︷一一,了‘.、2尹Ju)3」“场分)2·(一d Zb“丫~3了一5︸一︸J‘︸了、O‘/l、、、,l」2‘.长一汉(2‘:+一6)+一冬{2一名一。}一a之- 3一、一’一”4曰3一l一7·(之、汁一Zy)(了2一2了夕一于4y2)~8·(l一卜‘r之,1)(l一江、之少)(1十犷‘少了)一9.}2a2于b)10,(一2孑二一3少飞)·(2j2一3少协~1 1.25a’乙3令(一sa压b)~12·(一2a3b2)乙令(一3“2b3)3一13.(一42“sb日‘3)于(3abZc)舟一(一7a‘b‘e甘)一(2之3民)2·李二2·{2、(一,:·)J一艺、选择题(每小题1.5分,共12分)下列…     

一个无穷数列之和的简单求法

贵刊引乍节3!’注君沟造{睽率模型解题一例乡给出孙一:、一个习。:求无穷数列{、+(卜奋)·卡(3X5)(4x6…【(。一i)x(。+1)]”+l)! 1=2云(。+i)--*(,一参一)(卜封·带十一十(‘一斌一宁)二(‘一带)·了汁下十…之和. 对这一习题作者在文中认为‘这个数列构造较复杂,用初等方法难以理出头绪”.事实上并不是如此,下面本人刘一比给出简单的解答以飨读者. 解:设该无穷数列的第。项为a。,前。项之和为5.,一音(青一命),S一+一+…+一蚤[(1一去)+(一杏一封+…+(青一命)1一钟一命)s二1 ims.二喜. _~‘~乙- 几-,,甲目所有各项之和为5.则a。=丝X;亏)(2…     

柯西不等式的变形及应用

柯西不等式:设a‘,b‘任R(i二1,2,…,n)则(a;b: aZ吞: … a沪。)2簇(a资 a圣 …… a乙)·(峨 砖 ……十砚)等号当且仅当久=肋‘或b‘=触‘时成立,它是一个十分著名的不等式.应用它的变形证明不等式简单明了.本文将介绍它的变形在解题中应用. 令bl=b:=·一=b。=1,两边开平方得变形(1) 变形(1):a: a: ·一 a二((a圣 a圣 …… 。幼彭石.等号当且仅当。,二。2=‘””’=a。的成立. 例la,b,‘eR十,a b :=1.求证:了i3a l J 13吞 l J 13‘ i成4月 证明:因为a,b,。eR ,a b ‘二1,由变形(l) 所以J13a i Ji3,b i /13。 l((13。 i 13。 1 13: i)晋…     

数学问题与解答

又设AD=劣,B刀二夕,DC=a一夕,则1984年第3期问题解答n。,,,~二,1,口,L,,=J’l,=丈‘L,+刀l’,百L劣+,一。,+音‘二+a一,一“) 41.已知函数f(幻=a公十b,且加,十6醉=3,证明:对于任意:任〔一1,1],!f(:)}镇粼百. 1,。=甲二~(之汤+a一O一C) 艺、证明:~:·6b2一3,...(得)’·(、。)z=‘·代入前式得三竺互互=三(勘+a一b一c),化简为丫哥一i·一滤· 犷,rl二—Lp一劣) 肠①,(p表示△ABC的半周)召万乙=eo,夕,in夕,b=COS夕 另一方面,2(S。,,。+S。,。,)=犷:(c+工+夕)+犷2(b+劣+a一今)=,,(a+乙+e+器)=价i〔p+劣)…②,2S“eo=Zp犷…于是,(·。=…     

三角证明题的例

,上一no已知eo‘。+co。母一eos(二+日)=(a.阶锐角)求证:介·乙p一号325 inZ旦_2证明:因eo亏a+eo邓一eos(a+p)两边同除以。。S:7.cOS:粤,即得:,g号tg鲁一tgZ专tgZ号一合(1·tgZ韵=ZCoSCOS铲一(2一碧一1)(1+,92孕今 白,口尸一十一2 a一即2。。S碧一子一,。S:孚=合即(3 09晋tg粤)’一6 09晋tg鲁·,一卜号一t粼’3一2 一一/l、、o即= a+日/a一日c。“一豆一又。05一厄二一“053 tg号tg粤一l)’+(tg晋一tg粤)’ a+日COS一石,一 .a.日.Sin花厂.Sin不二卑旦几_粤 al‘ 1一介由此得到哈够二声:拳一。缪(一号一警一‘n誉二,·日、·a玄)‘s…     

第十三届“希望杯”全国数学邀请赛培训题 2.初中二年级

一、选择题(以下每道题的四个选择支中有且仅有一个是正确的.) 8得到(、:简丫吕六}上苦未佘一号卫 )·:弓产矛11·1断才已知,,〔(),且},z,In—z,z+些,那么,n的取值范围是( (八)ljl《 ((’、z,z·之 (D)一l )一1.(I玉),,,>1.一1或,,,一止L、几,),之()或,,,_少1.(八)夸.(l;)俘.(〔·)惚.(l))宪 9.设“二二而打一6了兀亏一1一沂,那么。是()2.如果‘,二1 99920()() 2000一云丽…’‘20()l2002那(A)无理数.((’)分数.(1玉)正整数.(D)负整数.么u,b.。的大小关系是() (八)u_)b>c.(B)〔)b>a. (C)b_、u>c.(D)。·>a>b. 3.代数式丫;:一1+了1一厂_…     

一个不等式的证明及应用

·习i-l 二 习a,艺b ‘.1‘一iO‘一— 丙.a. b‘·名产先着两个题目:,)已知:名二‘二。,。及为均为实数,‘一,,2,…, 一盔令今。.求习二‘(,一x’)的最大值.‘一12)i己知正数二、.、:满足艺a汁名b‘,一l,.j{ 戈甘.朴之.之戈_飞厂罗了,,r代万苏下~二二门~二于二于~二一乙万十U石U个“‘宁轰x十U十考=3。哈冲求二、夕、之. 为了求解这类题目,本文给出一个不等式: 定理设a. 认>。(i二1,2,…,的,则 . (艺二)’ 二1 二习。‘ 名6‘二l二1《习瓦编万嘴二乡》(习。‘)’·习曰方恶、、i一1名。.名b‘一1‘一I .(一 6,,艺。.军飞, ‘一l(一)根据…     

05年高考数学模拟试题(3)

一、选择题(A)1.(B)e.(C)ee.(D)e一‘..设复数z-1+i1一i+(1一艺)2,则(1+z)7 7.已知向量a一(Inx,一2),b一(1x任[e一‘,司,方程a·b一3m有解(关于,ln工),x的方展开式中的第五项是()程),则m的取值范围是()(A)一2 1.(B)35.(C)一211.(D)一351.,人~_/1、x_____:、.~、._、乙常越甲:l育},乙‘一邢一成寺比数夕U,荤 \乙/ ~1m多万双m ,1冬、一下丁。 ~甘 1__1一万乓m乓了·A)B)题乙:必x,lg(x+1),lg(x+3)成等差数列,则甲是乙的() (A)充分非必要条件. (B)必要非充分条件. (C)充要条件. (D)既非充分又非必要条件. 3.已知函数f(x)的反函数是 1m多…