平均值不等式

(本讲适合高中) “n个正数的算术平均不小于它们的几何平均。”这就是著名的平均值不等式定理。这个定理是高中数学课的一个重要内容,但是在数学课程中并没有讲述如何证明这个定理,也没有灵活运用这个定理解题的例子。然而,用巧用活这个定理确能解决不少看起来相当困难的题目。     

谈谈如何“用活”平均值不等式

平均值不等式是“不等式”一章的重要公式，它是证明不等式的有力工具，而要学好平均值不等式显然应重在“用活”。     

一个平均值不等式

利用指数平均与对数平均的基本性质,证明了指数平均与对数平均的几何平均与Seiffert平均的大小关系,得到的结果改进了一些已知的不等式.     

不等式的证明技巧——妙用“1”构造平均值不等式

不等式是高中数学的重要内容之一,利用平均值不等式证明不等式是重中之重,综观近几年全国及各省市的高考试题与竞赛试题,笔者发现平均值不等式中与“1”有关的证明题目出现的频率较高,为此,笔者就平均值不等式证明中“1”的妙用进行初步的探讨,主要有以下几种。     

平均值不等式的学习

平均值不等式定理 :若ａ,ｂ∈Ｒ+,则ａ +ｂ2 ≥ ａｂ ,当且仅当ａ=ｂ时 ,取等号 .若用它来求最值 ,需 ａ+ｂ2 、ａｂ之一为定值 .同时 ,利用平均值不等式求值域必须注意正值、定值、相等 3个条件 .一、当缺少正值条件时例 1　求函数 ｙ=ｘ +1ｘ 的值域 .分析　此时ｘ、1ｘ 不一定是正值 ,不能直接应用定理 ,应将其转化为正值 .解法 1　∵ｘ、1ｘ 同号 ,∴｜ｙ｜=｜ｘ｜+1｜ｘ｜ ≥ 2 ,当且仅当ｘ=1ｘ,即ｘ=± 1时 ,取等号 .∴值域为 { ｙ｜ｙ≥ 2或 ｙ≤-2 }解法 2　当ｘ>0时 ,ｙ=ｘ +1ｘ ≥ 2 ,当且仅当ｘ=1时取等号 ;当ｘ <0时 ,ｙ =ｘ +1…     

平均值不等式的应用

均值不等式是高中数学中的重点内容之一,由于它变化多端,因此也是高中教学中的难点之一。现举例说明怎样根据条件＂配、凑＂达到＂一正,二定,三相等＂的要求。     

关于平均值的不等式

本文给出不等式的一个初等证明。并证明了在L(a,b)和M_o(a,b)与M 1/3 (a,b)之间,在E(a,b)和M 2/3(a,b)之间不能再插入其他幂平均。     

初等数学中的平均值不等式

主要讨论调合平均值、几何平均值、算术平均值、平方根平均值、调合平方根平均值的意义、证明及平均值不等式的意义、证明和推广,使读者对平均值及不等关系有一个全面的理解和认识.     

初等数学中的平均值不等式

主要讨论调合平均值、几何平均值、算术平均值、平方根平均值、调合平方根平均值的意义、证明及平均值不等式的意义、证明和推广,使读者对平均值及不等关系有一个全面的理解和认识.     

平均值不等式及其应用

不等式涉及数量之间大小的比较,而通过比较常能显示出变量变化之间相互制约的关系,在分析学中,要研究和估计变量变化的性态时,总是要用简单熟知的变量与之比较,这样一来,它们之间可以用等号来联系的可能性是很小的,而不等关系的存在却反而是常见的,因此,从某种意义上说,不等式的探讨,在数学分析、泛函分析等数学分支中甚至比等式的推演更为重要。本文将刻划幂平均值的单调性的不等式,进而推出HO|der不等式和MinKoWski不等式等等,事关这些不等式在近代分析学中有着极其广泛的应用,成为论证命题的有力工具。     

正确运用平均值不等式

平均值不等式是一个重要的基本不等式,它在中学数学中有很重要应用,利用它不仅可以证明一些不等式,还可以求函数值域或最值．在运用这个不等式时,一定注意是否满足正数条件、定值条件(和或积为定值)、等号条件(不等式中等号是否成立),简单地说即所谓“一正、二定、三相等”,否则容易出错．下面就是学生在解题中容易出现的一些错误。     

关于平均值的一类不等式

众所周通,对任二正实数,总有(ab)~(1/2)≤(1/2)(a+b),这两者之间还存在别的平均? 杨镇抗等人在[1]、[2]、[3]中获得了不等式链:(ab)~(1/2)≤L(a,b)≤(1/?)(a+b),(ab)~(1/2)≤E(a,b)≤(1/2)(a+b),文家金在[4]中把它们推广为:(ab)~(1/2)≤…≤L_K(a,b)≤…≤L_1(a,b)≤E_1(a,b)≤…≤E_K(o,b)≤…≤(1/2)(a+b),林同坡在[5]中指出:当γ=1/3时,L(a,b)≤M_γ(a,b);当γ<1/3且a≠b时,此不等式不成立。王挽澜、陈计在[5]中将此不等式作了如下推广:设a,b,a′,b′∈R~+,且(a/b)≥1,(a′/b′)≥1,则。本文进一步加强和推广了上述几个结果。     

平均值不等式应用二例

式了宁1-一一甲-了~· 丁十丁十…十-二一 01“2 9.刀瓦石三不可,ol 自 .“ a, 件al, 02, 一 a。,分别称为正数爪,。:,一。。的调和平均,术平均和下次幂平均,依次记为H,G,等式1杯(下今。) 几何平均,算 A,M,.不 H《G《A《M,(仅当al=a:=…二a。时取等号)称为平均值不等式.灵活应用该不等式.可给一些问题带来方便. 例1.周长为ZP的△ABC以正三角形面积为最 ~~、.斌丁L.大·其值为污护·解:S名PS二斌歹孙而又历二石又硒而),二(P一a)(P一b)(P一c).由G(A粼(户一a)(户一6又歹而《沪一旦归p,b)州赶丝 ~3一夸.即刀岔食夸,。一双3__、0气,飞P…     

大小之间

每一种思想通常都是以前人的旧思想为基础。而一旦有一种新思想被提出来 ,马上就会出现另外一种和它抵触的思想 ,于是这两种对立的思想之间就会产生一种紧张状态 ,但这种紧张状态又会因为有人提出另外一种融合了两种思想长处的思想而消除。这是一个辩证过程。———黑格尔起西欧面积不大 ,国家却很多。其中有不少“袖珍国”充了数。如摩纳哥、圣马力诺、列支敦士登、安道尔等 ,其地方之小 ,即便是在我国省级地图上用放大镜也难找到。我想这些国家的人大约是不大爱挂世界地图的。面对无“一粒之地”的祖国 ,我不知他们有何感想。作为一个中国…     

平均值不等式应用研究初探

现阶段,随着我国教育事业的不断发展进步,在新课标改革的影响下,对于平均值不等式的学习,是中学生数学学习的重点和难点,是需要学生与教师高度重视的基本学科。平均值不等式在较多的领域都有一定的应用价值,无论是在数学中,还是在实际生活中都有重要的应用,所以就需要学生加强对平均值不等式应用的研究。只要学生正确的掌握平均值不等式的应用,不仅能提高学生的思维理解能力,还能够充分的提高学生的数学应用能力。本文将对平均值不等式应用研究初探作出简要的分析,旨在于更好的提高学生的平均值不等式应用能力,以及更好的提高数学思维能力。     

算术—几何平均值不等式

算术———几何平均值不等式是高中数学解题的重要工具 ,特别是二、三元均值不等式 ,无论是在高考 ,还是在竞赛中都有着广泛的用途 .突破均值不等式的变用、活用以及跨学科应用是本讲需要解决的核心问题 .一、基础知识1 .二元均值不等式及其变形ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ　 (ａ ,ｂ∈Ｒ) ,ａ ｂ≥ 2 ａｂ　 (ａ ,ｂ∈Ｒ ) ,ａｂ≤ ａ ｂ22 　 (ａ ,ｂ∈Ｒ) ,ａｂ≤ ａ2 ｂ22 　 (ａ ,ｂ∈Ｒ) .2 .三元均值不等式及其变形ａ3 ｂ3 ｃ3≥ 3ａｂｃ,ａ ｂ ｃ≥ 3 3ａｂｃ ,ａｂｃ≤ ａ3 ｂ3 ｃ33 ,ａｂｃ≤ ａ ｂ ｃ33(ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ) .3.ｎ元均…     

轮换平均值不等式及其应用

本文提出了轮换平均的概念,建立了关于轮换平均的一个不等式,该不等式是算术-几何平均值不等式的一个隔离.作为其应用,得到了一系列的新不等式,最后给出轮换平均值不等式的加权推广.1轮换平均的定义定义设ai>0,pi≥0,pn+i=pi(其中i=1,2,3,…,n,n∈N,n>1),Σpi=1,我们把i=1nn n n L=槡Σpiai·Σpi+1ai·…·Σpi+n-1aii=1i=1i=1称为关于a1,a2,…,an的轮换平均.nn n为方便,记1A=nΣai,G=i.显然,令p1=1,pi=0(其中i=2,3,…,n),则L=G;令pi=i=1槡∏ai=1     

关于平均值不等式的新应用

利用平均值不等式推得Holder不等式和在数学竞赛题中有广泛应用的＂分式和＂不等式.此外,通过平均值不等式建立了一个应用非常广泛的新不等式.