一道方程题的研讨

高中代数(甲)第二册第239页第22(2)题是在复数C中解方程 x-y/1+xy=1/3 ① x+y/1-xy=3 ②本文将指出学生作业和《教学参考书》上的两个问题。同时补充一个比例解法。误解一:①、②相乘再化简得 (x~2-1)(y~2+1)=0 ③     

对《教参》一道数学题解答的异议

统编初中《代数》第三册习题十第16(2)题:解方程x~(1/3) (x~2)~(1/3)=2,《教学参考书》的答案是:x_1■—8,x_2=2。表面看来,答案是正确的。但从教材的有关规定和参考书对其他习题的处理方法来看,解答存不在妥之处。教材在第三章指出:我们规定在本章内根式内的字母所取的值凡不作特殊的说明的都必须使被开方式取正值。参考书对教材中习题的解答,也是遵循这条规定的。如,((-5)~4a~4b~2)~(1/3)=(25a~2|b|)~(1/3);(a~4b=)~(1/3)a|(|a|·b)~(1/3)。同时,在介绍根式运算公式(a~(1/n))~m=(a~m)~(1/n)(a≥0),指出了这个公式的前提条件是a≥0。     

对一道分式方程的解后再思考

1.题目 初中《代数》第三册78页第1(6)题是:解方程((x~2-1)/x)~2 7/2(x~2-1)/x 3=0。(1) 解:设(x~2-1)/x=y,于是原方程变形为y~2     

活用化简技巧 妙解课本习题

不少同学对于二次根式的化简感到棘手难解,本文以课本习题为例,针对题目的特征,选用恰当的化简技巧,供参考. 一、变换已知,以简驭繁例1 已知x=1/2(7~(1/2)+5~(1/2)),y=1/2(7~(1/2)-5~(1/2)),求x~2-xy=y~2的值.(P_(216)第7题)     

对一道习题的解的看法

科学出版社出版的《中学数学习题集》第三册第279页56题,是一个椭圆上求过短轴顶点的弦长最大值问题。该题对于应用二次函数特征求解析几何中的某些最值问题,无疑是有帮助的,但后面给出的解法却有不妥之处。原题及解法如下: 过点B(0,-b)作椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的弦,求这些弦的最大值。解:设M(x,y)是椭圆上的任一点,则|BM|~2=x~2+(y+b)~2=x~2+y~2+2by+b~2①     

妙技巧巧化简

对于二次根式的化简不少同学感到棘手难解,本文以课本题为例,针对题目的特征,选用恰当的化简技巧,供同学们参考。 1.变换已知,以简驭繁 例1 已知x=1/2(7~(1/2) 5~(1/2)),y=1/2(7~(1/2)-5~(1/2))求x~2-xy y~2的值(P200第7题) 解:∵x-y=5~(1/2) x·y=1/2 ∴原式=(x-y)~2 xy     

关于一个三元对称不等式的几点思考

文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4     

解根式方程的一点注记

众所周知,在解根式方程时,为了去掉方程里含有未知数的根式,把根式方程化为有理方程,必须将方程的两边乘方相同的次数。如解方程(2x~2+7x)~(1/2)-x-2=0 解:移项,得(2x~2+7x)(1/2)=x+2两边平方,得2x~2+7x=x~2+4x+4,整理得     

注意隐晦条件

因忽略题中的隐晦条件而造成解题失误,是许多同学解题时易犯的一种错误。例 已知实数x,y满足等式x~2 4y~2-4x=0,求x~2-y~2的最大值和最小值。 有的同学求解如下: 解:∵ x~2 4y~2-4x=0, ∴ y~2=x-1/4x~2。 (1) ∴ x~2-y~2=x~2-(x-1/4x~2) =5/4x~2-x=5/4(x-2/5)~2-1/5 (2) 由(2)式可知,x~2-y~2没有最大值;当x=2/5时,x~2-y~2有最小值,其最小值为-1/5。     

挖掘几何背景巧解题

题 若实数x,y满足x~2 y~2-2x 4y=0,则x-2y的最大值是()(A)5~(1/2)(B)9(C)5 25~(1/2) (D)10分析 方程x~2 y~2-2x 4y=0,即(x-1)~2 (y 2)~2=5,所表示的曲线是一个圆,圆心为P(1,-2),半径为5~(1/2)(如图1),这个圆的一个特点是通     

两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,就已经知道了两数和的平方公式 (x y)~2=x~2 2xy y~2(1)、这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们介绍它的部分应用。 一、推证公式问题 以下乘法公式 (x-y)~2=x~2-2xy y~2 (x y)(x-y)=x~2-y~2 (x y)~3=x~3 3x~2y 3xy~2 y~3 (x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 (x-y)(x~2 xy y~2)=x~3-y~3 (x y)(x~2-xy y~2)=X~3 y~3等都可运用公式(1)来推导 例1、求证:(x y)(x-y)=x~2=y~2 证:令a=(x y)/2,b=(x-y)/2, 则两数x、y的平方差,x~2-y~2=(a b)~2-(a-b)~2运用公式(1)有x~2-y~2=4ab据假设条件,得x~2-y~2=4(x y)/2·(x-y)/2,即x~2-y~2=(x y)(x-y) 例2、求证:(x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 证:将上式右端进行配方变换即得证 x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 =x~3-2x~2y xy~2-x~2y 2xy~2-y~3 =x(x-y)~2-y(x-y)~2 =(x-y)~3 类似地,乘法公式都可用公式(1)来推导,此外,还可推证一些多项因式的乘法     

一个不等式在解几中的应用

高中《代数》(下册)第15页习题十五第6题为:“已知 ad≠bc,求证(ac bd)~2<(a~2 b~2)(C~2 d~2)”(柯西不等式)一般地,易证下列不等式成立:(a~2一b~2)(x~2-y~2)≤(ax十by)~2≤(a~2 b~2)(x~2 y~2)(其中a,b,x,y∈R)当且仅当bx=-ay时,左边取等号;当且仅当bx=ay时,右边取等号.本文拟介绍该不等式在解几中的一些应用,供参考.设直线l‘:Ax By=0,椭圆(X~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1及椭圆上一点P_0(x_0,y_0).则(Ax_0 By_0)~2=     

巧解题目六例

解数学题,虽然掌握定理、公式、法则等是关键,但是由于习题的类型较多,特点不一,技巧也不可忽视,运用技巧不仅可以提高解题速度,而且还由于简单明了,从而可以避免和减少运算的错误。现举几例分析如下。例1 已知x>0,y>0,且x~(1/2)(x~(1/2) y~(1/2))=3y~(1/2)(x~(1/2) 5y~(1/2))。求(2x x~(1/2)y~(1/2) 3y)/(x x~(1/2)y~(1/2)-y)的值。解这类题,是目前初中学生的难点。他们往往不从已知条件去分析,乱碰乱撞。事实上,此题没有给出字母的值,所以不能直接求值,只能根据条件解出x y的明确关系,把所求值式中换成同一个字母。     

巧用换元法 减少计算量

化简方程((x c)~2 y~2)~(1/2) ((x-c)~2 y~2)~(1/2)=2a得出椭圆的标准方程,教材中使用的方法计量大,学生感到困难,不易掌握,若用换元法进行计算,则十分简捷, 设υ=x~2 y~2 c~2,代入上述方程得 (υ 2cx)~(1/2) (υ-2cx)~(1/2)=2a. 将这个方程两边平方,得 υ (υ~2-4c~2x~2)~(1/2)=2a~2,即(υ~2-4c~2x~2)~(1/2)=2a~2-υ.两边再平方,得υ~2-4C~2x~2=4a~4-4a~υ υ~2,     

每期一题

题:过点A(O,(10)~(1/2))向圆x~2+y~2=5引两条切线,求它们的方程。(统编数学高中第二册121页笫6题。解法一利用过圆上一点的切线方程如图,设过点A(0,(10)~(1/2))的直线一与圆x~2+y~2=5相切于F_1(x_1,y_1),根据过圆上一点求切线方程的公式(请参看统编数学高中第二册121页第5题),得圆的切线方程为x_1x+y_1y=5 ①     

一道课本习题的推广命题

正人教版高中数学选修4-4第26页习题2.1第3题是:已知:M是正三角形ABC的外接圆上的一点,求证:|MA|~2+|MB|~2+|MC|~2为定值.笔者在研究此题的过程中,得到了下面一个有趣的推广命题.命题△ABC是椭圆(或圆)C:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a0,b0)的内接三角形,且△ABC的重心是坐标原点O,M是坐标平面内的任意一点,则|MA|~2+|MB|~2+|MC|~2-3|OM|~2为     

引导思维 发现规律——对一道解析几何习题的处理

高中数学课本第二册第141页第3题:求与双曲线x~2/9=y~2/16=1有共同的渐近线,且经过点A(-3,2 3~(1/2))的双曲线方程。不少学生是这样解的:     

因式分解的特殊方法

关于因式分解的常用方法,中学课本中已作了介绍。本文要探讨的是根据题目的特征,运用比较特殊的方法,进行因式分解的问题。例1 在复域内分解: (x+1)(x+2)(x+3)(x+6)-3x~2 解原式=(x~2+7x+6)(x~2+5x+6)-3x~2推敲上式的特征,可知若令y=x~2+6x+6,原式就化为: (y+x)(y-x)-3x~2 =y~2-4x~2=(y+2x)(y-2x) =(x~2+8x+6)(x~+4x+6) =(x+4-10~(1/2))(x+4+10~(1/2)) (x+2-(2~(1/2))i)(x+2-(2~(1/2))i) 例2分解:(ab+1)(a+1)(b+1)+ab 解原式即(ab+1)[ab+1+a+b]+ab,若令(ab+1)=A,可得: 原式=A(A+a+b)+ab =A~2+(a+b)A+ab=(A+a)(A+b)     

复习不等式的几点意见

一、从反面来巩固正面知识进行新课,宜从正面入手。因为学生接受知识往往先入为主,正面未巩固,即渗入反面,可能引起思维混乱,以致喧宾夺主。但复习课是在学生已有一定的基础上来进行的,除去从正面系统概括所学过的知识以外,列出一些易犯的错误,让学生自己指点出来,以加深印象,对正面知识却可起巩固作用。这里根据平常教学不等式时,从测验与作业中归纳了一些较普遍性的错误,并作了粗线的分析,提供同志们组织复习时参考。 1.由于数的概念与绝对值概念不清所引起的错误。例如已知x,y为非0的实数,试比较(x/y~2) (y/x~2)与1/x 1/y的大小。学生作出了如下的论断: 因为(x/y~2 y/x~2)-(1/x 1/y)=(x~3 y~3-xy~2-x~2y)/(x~2y~2) =((x y)(x~2-xy y~2)-xy(x y))/(x~2y~2) =((x y)(x-y)~2)/(x~2y~2)=(x~2-y~2)(x-y)/(x~2y~2)。分母x~2y~2>0,分子(x~2-y~2)与(x-y)同符号,其积     

一道竞赛试题的推广

题 (1993年全国高中数学联赛试题)设实数x、y满足4x~2-5xy4y~2=5,设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/(S_(min))=____·(答:8/5) 贵刊文[1]推广为:设实数x、y满足ax~2-(a 1)xy ay~2=a 1,(其中a>1或a<-(1/3),a≠-1),设s=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S-(min))=2a/(a 1) 本文将在文[1]的基础上作一点改进,给出更为一般的推广命题的两种解法. 命题 实数x、y满足Ax~2 Bxy cy~2=D(其中B~2<4AC,D>0),设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S_(min))=(A C)/D.(1)×S-(2)×D得(AS-D)x~2 BSxy (CS-D)y~2=0. 由题设知y≠0,∴(AS-D)(x/y)~2 BS(x/y) (CS-D)=0,∵x/y∈R,∴△=(BS)~2-4(AS-D)(CS-D)≥0. 即(B~2-4AC)S~2 4D(A C)S-4D~2≥0.又因B~2-4Ac<0,若记S_1相似文献