谈圆面积公式的三个认识层次

圆面积公式有三个认识层次,这一点在教学中应该引起我们的重视。第一个认识层次是:“S=πr~2”来自于“S=(πr)r。”因为圆通过分割、拼摆可以转化为一个长方形,借助于求长方形面积的方法求得圆面积。πr虽然表示圆周长的一半,但它充当了转化后的长方形的长;r虽然表示圆的半径,但它充当了转化后的长方形的宽。这样认识圆面积公式有助于理解其推导过程,利于学生掌握和运用公式解决有关实际问题。第二个认识层次是:“S=πr~2”不仅反映了半径与圆面积的关系,同时还派生出圆的直径乃至圆的周长与圆面积的关系。于是这个基本公式又可引伸出“S=π(d/2)~2”和“S=π(C/2π)~2”,这样就为学生灵活运用公式去解决有关实际问题打下了基础。第三个认识层次是:在“S=πr~2”中,     

例析“假设法”解浮力题

【例1】（2004年北京市中考题）如图所示，一个半径为r，质量为m的半球，放在容器内，半球的底面与容器底部紧密接触，容器内装有密度为p的液体，液面高为H，己知球体体积公式是V=4πr^3／3，球表面积公式是S球=4πr^2，圆面积公式是S圆=πr^2，则由于液体重力产生的对半球表面向下的压力为_____.     

新法推导 圆面积计算公式

小学《数学》在圆面积计算公式的推导中,出现了"圆面积=?cr"的公式.再用2πr代替c,便得"S=πr~2"的计算公式.公式S=?cr表明,圆面积与一个以圆周长为底、半径为高的三角形等积.只要我们证明这样的三角形和圆等积,就能根据三角     

两个条件缺一不可

在判断两种相关联的量是否成正比例时,一要看一个量是否随另一个量的变化而变化;二要看这两个量的比值是否一定。两个条件缺一不可,否则判断必错无疑。例1圆的面积和它的半径成正比例吗?有些同学由于受圆的周长和它的半径成正比例的影响,马上联想到圆的半径越大,它的面积也越大。而不看这两个量的比值是否为定值,于是立即下结论:圆的面积和它的半径成正比例。事实上这个结论是错的。虽然面积随着它的半径的变化而变化,但还要看它的比值是否为定值。因为圆面积半径=πr2r=πr,当r变化时,πr也随着变化,所以πr不是一个定量。由此可知,圆的面…     

道而弗牵——妙

一位教师教学“求圆面积”,巩固阶段先让学生思考:半径是2分米的圆面积是多少?半径是4分米的圆面积是多少?能否根据半径为2分米的圆面积推算出来呢?一学生略加思索便回答:“面积为25.12平方分米”. 师:你是怎样计算的? 生:12.56×2=25.12 师:为什么? 生:半径扩大了2倍,圆面积也扩大了2倍. 此时,老师要求大家按“S=πr~2”的公式计算,检验一下这个同学的推算是否正确.通过计算,这个学生再次发表意见:我的推算错了,因为一个圆半径是另一个圆半径的2倍,它的面积不是另一个圆的2倍,而是4倍,所以应等于50.24.老师一方面表扬     

错在哪里

一、江苏淮阴县淮海中学宋丁全来稿题:在边长为1的正三角形内,有两个l圆相外切,而且它们分别和三角形的两条边相切,求两圆面积之和S的最值。解如图设⊙O_1、⊙O_2的半径分别为x、y(不妨设y≥x)则由题意可得 S=π(x~2+y~2) ① 3~(1/2)(x+y)+2((xy)~(1/2))=1 ②     

小学数学教学中的设疑诱导

设疑诱导是小学数学教学中培养学生自主学习的重要方法之一。设疑,就是提出问题;诱导,就是引导,让学生自己开动脑筋,解决学习上的疑难。一、从条件上设疑诱导在讲圆的面积时,我们可以这样设疑诱导:圆面积的基本公式是,S=πr2。当推出这个公式后,就可以提出以下问题:1.要求圆的面积必须知道什么条件?(半径)2.除了圆的半径外,还可能会出现哪些条件?(圆的直径或周长)3.如果知道圆的直径或周长,又该怎样推出这些公式?经过教师的启发诱导,学生就可以推导出公式:S=π(2d)2,S=π(2cπ)2或S=π(c÷π÷2)2。再通过实例引导学生运用这些公式。这样,…     

浅谈极限思想在高中数学解题中的运用

极限是学习高等数学的重要工具,高等数学里很多概念和方法都和极限有关。例如求圆面积和圆周长,在中学里已经知道,半径为1的圆面积等于π,圆周长等于2π,但这两个结果是怎么来的呢?人们最初只知道求多边形的面积和求直线的长度。要从这个基础出发来求得圆面积和圆周长,就要通过极限这一有用的工具才行。极限作为一种运算在高中数学中的要求较低,一般只要理解即可,然而极限作为一种思想,一种从有限认识无限的数学思想,若我们     

圆柱体表面积简解法的意义

圆柱体表面积等于圆柱的侧面积与两个底面积之和。用公式表示:S=27πrh 2πr~2。在实际计算中,有学生利用乘法分配律把公式变成S=2πr×(R r),计算很简便,但是这个式子的数学意义是什么呢? 我们知道,圆柱体的表面展开得到图①,式子S=2πr×(h r)里的2πr是圆柱体的底面周长,(h r)是圆柱体高与底面半径之和。根据圆面积公式的推导.我们又知道上下两个圆的面积可以转化为长方形面积,且上下两个长方形面积相等。即S_1=S_2,把下面长方形面积放到上面(见图②),那么圆柱体的表面积就转化为长方形ABCD的面积了。式子里     

关于球面距离的两点注记

1　为什么定义过球面上任意两点A,B的大圆劣弧的长度为A,B两点间的球面距离?图1课堂教学中,画出图1所示,作直观解释即可.以AB为弦作半径不等之两圆,半径O2A>半径O1A,则弧长AnB<弧长AmB,在球中以AB为弦的最大圆为球的大圆,故定义大圆劣弧长为AB两点的球面距离,符合距离的最短性.如果给出代数证明,显得严谨有力,有利于培养学生的逻辑思维能力.先考察函数f(x)=sinxx在x∈(0,π2)上的单调性.设0相似文献   

小学数学教学应力求精讲多练

精是少和好的结合.“精讲”就是在教学过程中要重点突出,抓住主要矛盾.要做到精讲,首先,教师必须熟悉教材的前后联系,明确教材的重点和难点,针对重点狠下功夫.如讲授面积这一章时,求各种图形的面积中,只有长方形的面积可以直接求出,其它图形的面积都要利用长方形面积的公式间接求出.如讲圆面积时,用教具通过演示,学生就可以看出,由圆面积转化成长方形面积后,长方形的长等于圆周长的一半,宽就是圆的半径.因为圆的周长=直径×π,那么半个圆周长就是半径×π,从而推导出求圆面积的公式:圆面积=半径×半径×π.     

“圆的周长和面积”综合练习课教法

圆的周长和面积一直是学生容易打混的概念。新课结束后,宜安排如下综合练习。一、熟悉公式的练习。教师出示: 圆周长____圆面积____; 圆直径____半径____; 扇形面积____。要学生填写计算公式。要求圆周长能填出C=2πr和C=πd;直径能填出d=C/π和d=2r;半径能填出r=C/(2π)和r=1/2d。     

发现知识探索规律的有力手段——谈类比在立体几何教学中的应用

数学教育家波利亚说:“类比就是一种相似。”把两个数学对象进行比较,找出它们相似的地方,从而推出这两个数学对象的其他一些属性,也有类似的地方。这种特殊的推理方法叫做类比。立体几何知识是平面几何知识的发展和推广,两者之间在知识内容、逻辑方法、解题技巧等方面都有许多类似的地方。教学时,在平面几何知识的基础上,利用类比去认识和推证空     

小发现 大方便

上小学时,我从老师那里学会了求圆面积,其公式是S=πr2,这里r是半径,π是圆周率(通常取3.14);我常想,求圆面积还有其他公式吗?我带着这个问题在实践中探索,结果发现了求圆面积的第二个公式:圆面积S≈d2÷1.274(方圆常数).     

圆面积公式S=πr~2与函数极限limx→0sinx/x=1等价

在高等数学中,重要极限lim x→0sinx/x=1在求函数极限时扮演着十分重要的角色,本文将对函数极限lim x→0sinx/x=1展开进一步的研究,讨论函数极限lim x→0sinx /x=1与圆面积公式S=πr²的等价性,同时给出圆面积公式其他的等价刻画.     

加强练习的整体性——扇形面积的教学

数学练习是学生掌握知识、形成技能、发展思维的必要途径,为了更好地发挥练习的作用,必须加强练习的整体性,要按认知结构从整体出发来设计和组织练习,要求学生掌握整体结构的内在联系并运用这个结构来解决问题。在进行扇形面积教学时,我从这几个方面组织学生进行练习: 学习扇形、计算扇形面积首先要学生明确扇形与圆的关系,扇形面积是圆面积的一部分,公式S扇=πr~2×π/360也能体现这一点,πr~2是圆面积,用πr~2×π/360     

促进化学思维训练的好题

一、选择题 1.直线y=x·tanα+2,∈(π/2,π)的倾斜角是( ). A.α B.α-π/2 C.-α D.π-α 2．若圆(x-3)1+(y+5)2=r2上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为1,则半径r的取值范围是( ).     

巧解球面压力题二例

例1 如图1所示,一个半径为r,质量为 m 的半球,放在容器内,半球的底面与容器底紧密接触,容器内装有密度为ρ的液体,液体高为 H,已知球体的体积公式是 V=4/3πr~3,球表面积公式是 S_球=4πr~2,圆的面积公式是 S_圆=πr~2,则     

巧解球面压力题二例

例1 如图1所示,一个半径为r,质量为 m 的半球,放在容器内,半球的底面与容器底紧密接触,容器内装有密度为ρ的液体,液体高为 H,已知球体的体积公式是 V=4/3πr~3,球表面积公式是 S_球=4πr~2,圆的面积公式是 S_圆=πr~2,则     

求解三角问题的常用数学思想

数学思想是研究和解决数学问题和有关实际问题的基本指导思想.求解数学问题时,若能正确地运用数学思想,则可提高解题效率.本文举例介绍在求解三角问题时的常用数学思想.一、函数思想例1已知x3+sinx-2a=0,x∈[-π2,π2],4y3+sinycosy+a=0,y∈[-π4,π4],求sin(x+2y)的值.分析:从已知条件所具有的特征出发,可构造一个新的函数f(x)=x3+sinx,利用该函数的单调性,找出x与2y的关系,从而获得解答.解:令函数f(x)=x3+sinx,由x3+sinx-2a=0,得2a=x3+sinx=f(x).又由4y3+sinycosy+a=0,得2a=-8y3-2sinycosy=(-2y)3+sin(-2y)=f(-2y),∴f(x)=f(-2y),∵x,-2y…