巧思妙解的两个途径——一般化与特殊化

在数学解题中，怎样才能获得巧思妙解呢？笔者认为，根据认知的一个基本规律（由特殊到一般、再由一般到特殊），可以得出巧思妙解的两个基本途径：一般化与特殊化．     

巧在本质关系的揭示妙在深层结构的接近(上)

对巧思妙解的理解，我们倾向于“解法的实质性”，即与已有的解法相比，巧思妙解更反映问题的本质关系，或更接近问题的深层结构．这种“反映”与“接近”通常体现在两个维度上：     

一道数学竞赛题的“巧思妙解”

数学竞赛中的解题,常以“巧思妙解”而令人赞叹不已,而这些“巧思妙解”并不是凭空想象的,都来源于对数学知识和方法的深刻领会和灵活运用。下面来看一道1985年全国初中数学联赛题:     

判别式的整体结构:b2-4ac=(2ax+b)2(下)

在上面的内容中，我们已经看到了判别式法在例2、例3中的“巧思妙解”．下面，我们换一个角度，再以2004年的一道竞赛题的判别式处理来揭示：巧思妙解不是特殊技巧的神秘操作，其背后是对数学知识的深层认识，是题目结构特征的充分挖掘。     

巧思妙解与数学证明

对数学题巧思妙解的追求，体现了数学崇尚简捷的理念．“简捷的思路、简捷的方法、简捷的计算、简捷的证明以及简捷的陈述等伴随着机思、妙想、巧解、奇证，成为数学的组成部分，是数学领域中的七彩光环……”本从数学证明的角度，向读介绍巧思妙解的案例。     

判别式的整体结构:b2-4ac＝(2ax+b)2(上)

本通过对判别式和判别式法的漫谈，试图传递一个体验：巧思妙解源于对数学知识的深层认识和对题目结构的充分挖掘．     

三角形有向面积的应用

本文利用三角形面积的行列式公式,对一些赛题进行巧思妙解,以期对大家有所启迪．     

2004年高考全国卷（新课程）选择题解析

今年高考数学题，考生普遍反映不难，尤其是选择题大都思路清晰，可以用直接法求出．但考生如果掌握好解选择题的策略，可大大提高解题效率．下面就给出选择题的巧思妙解．     

二次函数论证题的巧思妙解

以二次函数为背景的高考综合题，已经从代数题的计算化、程序化层面上升为抽象论证能力的高档题，成为拉开考生思维档次的重要手段．本文从解题思路分析的角度，揭示巧思的来由、妙解的发现．     

构造直角三角形求正切值

有一类关于求正切三角函数值的中考几何题，由于锐角不在直角三角形中，因而不便于利用三角函数定义求解．为此，我们需要变换思路，通过作辅助线，构造直角三角形，结合几何中的有关性质去变形、变式巧思妙解．     

一堂作业讲评课引发的探究性学习

作业讲评课更具师生互动、探究特点，本文从一道作业题出发，引发学生巧思妙解，从多角寻找简捷解法，引申推广，求解问题，证明问题，充分发扬教学民主，培养创新意识与探究能力．激发学生探究性学习。     

有关氯元素的"奇思妙解"

在有关氯元素的题目中，有些题目涉及的反应较多，过程繁杂，若利用一般方法，很难求得正确结果，若我们转化思维方式，避开常规，另辟蹊径、巧思妙解，利用守恒关系，巧用特性，便会化难为易，准确快速求解．     

例谈乘法公式的运用

乘法公式是初中数学的重要内容，应用极为广泛，我们在运用乘法公式时，应注意分析题目的结构特征，灵活机动、巧思妙解。     

浅谈不等式解题教学的一个怪现象

在不等式解题教学研究的文章中，一些作者喜欢把一些通用的方法技巧化，简单的过程曲折化．一般的结论特殊化．读者(尤其是中学生)看了这类“化简驭繁、化难为易”的不等式的“巧思”、“妙解”之后，觉得不等式实在是神出鬼没．太难了．     

质量分数选择题的技巧解法

质量分数的选择题在中考化学试题中常有出现,这些题目如果用常规解法,有时容易算错,而且又费事费时．若通过巧思妙解,能收到事半功倍的效果．下面介绍几种技巧解法：     

构造一元三次方程解竞赛题

构造一元三次方程可巧思妙解部分竞赛题,今举数例说明如下.     

构造线性方程组解数学问题

本文通过构造三阶行列式,应用“三元齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零”的定理。对部分代数、几何、三角问题进行巧思妙解．     

巧思的探求 妙解的发现

数学竞赛中的解题,常以“巧思妙解”而令人赞叹与折服,同时也招来一些误解,认为那只是“技巧”与“凑巧”的表演。如果说,“妙手偶得”的一招一式确实存在的话,那么,我们说大多数“巧思妙解”都来源于本质地理解问题和艰难的长期探索,背后常有数学思想方法的灵魂和数学思维品质的底蕴。下面是一些初中生不难看懂的例子。     

构造三元齐次线性方程组解题

本介绍构造三元齐次线性方程组，应用其有非零解的充要条件是它的系数行列式为零的定理，对部分代数、几何、三角问题和名的牛顿“牛吃草”问题进行巧思妙解。     

巧用非负性

在中学阶段，非负性一直是一个热门考点，在考试和竞赛中会经常出现．其解题思路往往给人以巧、新、妙、趣的感觉，美不胜收．同时，也因为其解题需要巧思妙解，往往使同学们不得其解，惜失其分．其实，只要把握特征，巧用非负性，就很容易求解．下面，就让我们由浅入深，归纳例析一下有关非负性问题的基本特征、题型和解答思路．