谈谈初中反证法教学

初中数学教材首次出现反证法是初二几何课本第一册,用反证法证明“两直线平行,同位角相等”．但不要求学生掌握,掌握反证法是初三的教学要求．不少初中学生对学习反证法感到格外吃力,除了在证明过程中与所要用到的数学基础知识不牢固等因素外,还有一些阻力是来自学生心理上的障碍,比如,看到图形上两条直线画得不平行,即使已知条件中明明写着它们是平行的,推证过程中也往往不自觉地排除这一条件而用到其它条件,还有多数学生对反证法的逻辑依据不理解,对反证法的‘可靠性”表示怀疑用反证法证题时,导出了矛盾还不知道已证明了原结…     

中学数学中宜用反证法的题型初探

本文对中学数学中宜用反证法证明的五类命题进行了简要概括,并介绍了现行教材中一些宜用反证法证明的定理、例题和习题.     

关于用反证法证题的探讨

在初中教材里,对于一个几何命题,当用直接证法比较困难时,可以采用间接证法,它是证明原命题的逆否命题成立从而推出原命题成立的证法,当我们由已知命题的条件去求证结论不易着手时,而改证它的逆否命题,反证法证题的思路实际是: 公理或定义 或与公理、定义抵触 证明的定理 或与证明的定理不容 题设条件 或与题设条件冲突 否定结论 或与假设相违背,或自相矛盾 因此结论不能否定,所以结论一定成立。 反证法证题的一般过程可概括为: 否定结论ABC(而C不合理)结论成立。 然而,命题结论的相反情况可有一种或多种,据此反证法可分为归谬法和穷举法。下面,就初中课本几何二册七章六节“圆内接四边形”的习题举例说明如下:     

反证法及其应用例说

反证法的概念是在初中《平几》第二册中介绍的。由于当时学生的认识能力有限,再加之以后的习题配备不足,致使一些学生直到高中毕业对反证法仍有许多疑惑不解的问题。比如,用反证法证明命题可靠吗?学习反证法有没有必要?在什么情况下使用反证法证明较合适?等等。为此,笔者试谈以下几个问题。一、反证法的逻辑依据及证明步骤法国数学家阿达玛把反证法精辟地概括为“这种证法在于表明:若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾。”具体地讲,反证法是通过肯定命题的条件p,并否定命题的结论q,即     

反证法证题摭谈

人教版初中数学新课标第二十四章第一节介绍了一种用间接法证明几何问题的方法即反证法。所谓反证法不是直接从题设推出结论。而从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明命题成立的一种证明方法,它在数学中占举足轻重的地位。笔者在多年数学实践中发现,反证法学生不易掌握,往往出现不会判别题型,或者证题步骤不全,或者不会从反面假设等问题。为便于同学们熟悉并掌握它。现将散见于题中的常见习题,用反证法证明。     

反证法证题摭谈

人教版初中数学新课标第二十四章第一节介绍了一种用间接法证明几何问题的方法即反证法。所谓反证法不是直接从题设推出结论。而从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明命题成立的一种证明方法,它在数学中占举足轻重的地位。笔者在多年数学实践中发现,反证法学生不易掌握,往往出现不会判别题型,或者证题步骤不全,或者不会从反面假设等问题。为便于同学们熟悉并掌握它。现将散见于题中的常见习题,用反证法证明。     

关于数学分析中宜用反证法证明的问题

数学分析中宜于用反证法证明总的原则是：对于所要论证的论题（若A则B），没有直接证明的正面根据，此时运用反证法证明，只要证明其反论题（若A则不B）的谬误即可。运用反证法证明的习题类型及规律是：1．证明“函数某个特定常数”；2．在已知极限存在或易证出极限存在的前提下，证明“极限等于零”或“极限等于某个特定常数”；3．证明有关“不存在”的题目；4．证明“至少有一点”的题目，对于题设中函数不具连续条件者，有时宜于用实数理论找点再用反证法证明为所求；5．证明集合个数为“有限个”；6．证明“函数有界性”；7．证明“最多只有”的题目；8．证明“唯一性”。     

初中平面几何中的反证法教学

一、教学要求 反证法是数学上用于推理证明的一种方法。反证法在高中立体几何、代数中都用得较多。在初中三年级平面几何中初次讲授反证法时,鉴于教材内容少、难度大,只能要求学生掌握反证法的简单原理和证明步骤。 1.反证法的简单原理 反证法就是利用形式逻辑中排中律原理,否定两个对立的判断A和(?)(非A)中的一个判断而间接得出另一个判断必然成立的方法。 2.反证法的步骤 用反证法证明命题“若A则B”成立,其步骤为: 第一步:先假设B不成立(即(?)成立)。 第二步:从第一步的假设出发经过正确的推理而导致矛盾(即得出荒谬结论);找出这种矛盾的原因是第一步的假设不能成立。     

对新教材中加强反证法教学的几点看法

在数学问题中 ,有相当数量的问题直接证明难以入手 .因而 ,常采用间接法进行证明 .反证法就是一种重要的间接证明方法 .在初中几何第三册第七章中通过证明“过同一直线上的三点不能作圆”正式提出反证法 ,它属选学内容 .在教学中提出“使学生理解反证法的基本思路和一般步骤”为教学目的 .从学生学习的情况看 ,基本上能理解反证法的基本思路及一般步骤 .其存在的问题主要有以下四个方面 :第一 ,反证法的理论依据 ;第二 ,什么样的命题可用反证法证明 ;而其难点又在 :第三 ,反证法中的“反设” ;第四 ,反证法中的“归谬” .因此 ,在高中继续学…     

小议中小学数学教学衔接

学生进入初一后,普遍感到数学难学。许多学生说:在小学数学成绩一直良好,常得高分满分。进入初一后,成绩明显下降,失去了往日的“辉煌”。这说明初中、小学教学接轨未能很好地解决。作为中小学数学教师有责任进行探讨,解决此问题。1.初—(上)教学内容是《代数》第一册(上)(新教材),此教材与小学高年级数学教材相比,小学内容少,较通俗易懂,难度不大,直观性强,大多是研究常数问题。而《代数》第一册内容较多、较深,有许多抽象的概念、法则,公式体例上增加“读一读”、“想一想”等栏目,仅习题方面,小学题量小,题型单一;初中习题分A组和B组,还…     

反证法的逻辑根据及其应用

反证法作为一种重要的数学方法,一般的教材都会把这个方法的步骤叙述清楚．例如,苏教版教材选修2—2…“间接证明”一节中指出：反证法的证明过程可以概括为“否定一推理一否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程．教材接着给出了用反证法证明“若P则q”形式的命题为真的过程的框图和三个步骤．文[2]中给出了反证法的几种常见推理格式：     

中国、美国、德国初中数学教材中“勾股定理”比较研究

对中国、美国、德国三套初中数学教材中勾股定理内容进行比较研究,研究发现：(1)在内容选择上,三种版本数学教材虽然标题或名称不同,但都包括勾股定理,勾股定理的逆定理基本知识点,在章节引入上,三种数学教材都使用了数学史素材,但是美国和德国初中数学教材内容广度更广,德国初中数学教材内容深度更深.美国版教材和德国版教材都注重突出勾股定理的距离意义.(2)在习题情境上,三种数学教材纯数学情境所占比例最多,都注重问题情景和数学活动,提供大量的生活情境,强调数学与现实生活的关系.(3)在习题难度上,从“综合难度”上看,德国数学教材习题难度最大,其次是人教版数学教材,最后是美国数学教材;从“习题背景”上看,德国数学教材大于人教版数学教材大于美国数学教材;从“推理水平”上看,人教版数学教材大于德国数学教材大于美国数学教材;从“习题运算”和“知识含量”上看,德国和美国数学教材都大于人教版数学教材.     

也谈三角形中的线共点问题及其解析证明

文[1]对于三角形中的线共点问题给予了解析证明,读后颇受启发。但因[1]中所述三线共点和三点共线的充要条件的两定理(Ceva定理、Menelaus定理)其条件的必要性正是初中平几教材中的两习题,该文对这两定理的条件必要性的证明都采用反证法并运用条件的充分性而获证,而条件充分性的证明,又都超出了初中知识范围。从指导教学出发,这对引导初中学生运用解析几何     

反证思维在初中科学教学中的应用

在数学解题中经常使用反证法,牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一。”当论题从正面不容易或不能得到证明时,就需要运用反证法,正所谓“正难则反”。这种反证的思想方法在初中科学教学中也屡见不鲜,只是没有被专门系统地提出而已。     

反证法在立体几何中的应用

反证法是证明立体几何命题常用的一种重要证题方法,它在立体几何的教学过程中,占有相当重要的地位。 一、反证法及证明的几种方法。 反证法以排中律为依据,不直接证明“A是B”,而是从反面证明“A不是B”不对,从而肯定“A是B”是对的。在引用反证法的证明中常有以下几种方法。     

用反证法巧解电学题

反证法(又称归谬法)是一种常用的论证方式,它首先假设某命题不成立,然后推理出明显矛盾的结果.反证法在数学中经常运用,当论题从正面不容易或不能得到证明时,就需要运用反证法.其实在物理习题中有许多地方也可以用到反证法,下面我们用实例来说明反证法在解电学题中的应用.     

析初中数学教材中的例题与习题的重要性

教材是我们一线教师进行课程教学的蓝本,在初中数学课本教材中,例题与习题都是经过精挑细选的典型案例,具有较强的导向与示范作用,但是在我们的实践课堂教学中,部分数学教师在自身的备课过程中,并不注重课本例题与习题的探究与运用,自认为课本题简单不加以重视,比较随意的将部分习题让学生自由处理,不注重典型案例的引申与指导,甚至于部分初中数学教师非常大胆的丢弃课本教材中的例题与习题,自身去补充自认为所谓的“难题”进行讲解,不去对照教学大纲进行辨析试题的可用度,盲目的去追求所谓的“价值试题”,实践证明,这种策略是大错特错的,不仅加重学生的学业负担,某种程度上打击了学生学习的自信心,严重影响了学生数学学习能力提升的效率;本文笔者根据自身教学实践,着重探讨初中数学课本教材中例题与习题合理运用的重要性和实效性,以飨读者．     

数学分析教学中的“反证法”探析

“反证法”是一种简明实用、间接的数学证明方法,也是一种重要的数学思想方法。介绍了“反证法”的逻辑依据和步骤,并列举了数学分析中宜于用“反证法”证明的问题,同时指出了使用“反证法”应注意的几个问题。     

提高学生立体几何证题能力的尝试

学生在学习高中数学“空间图形”这章时普遍感到困难:一是立体图形画不清楚;二是不知从何下手证明。为了提高学生的证题能力,我采用了以下的做法。一、关于活用反证法在部编教材中,常用反证法证明的有以下几种类型的问题: (1)证线线平行、线面平行、面面平行; (2)证两条直线是异面直线:如第14页第     

初中数学教材习题综合难度的国际比较研究--以中国、美国、新加坡教材中“三角形有关的角”为例

数学教材中的习题在数学教学中发挥着重要的作用,习题的难度在一定程度上反映了教材的难度,本文利用一个综合难度模型,选取中国、美国、新加坡三套初中数学教材中“三角形有关的角”的内容,从习题的背景、数学认知、运算、推理、知识综合五个因素进行分析,为我国初中数学教材编写提供参考。