活用知识多角度解题

中学数学教材知识的编排是按章节分类的 ,知识点之间缺乏相互联系 .活用所学知识 ,把章节之间的知识相互渗透 ,多角度解答数学问题 ,是学好初中数学的关键 .1　利用三角形面积证明几何题例 :求证等腰三角形底边上任一点与两腰的距离的和等于腰上的高 .已知 :如图 1△ABC中 ,AB =AC ,DE⊥AB ,DF⊥BC ,CG⊥AB .求证 :DE +DF =CG图 1分析 :连结AD ,易知S△ABD =12 AB·DE ,S△ADC =12 AC·DF ,S△ABC=12 AB·CG ,AB·DE +AC·DF =AB·CG ,而AB =AC ,故DE +DF =CG .2　利用辅助圆解答几何题例 :如图 2等腰△ABC…     

不作辅助线，用锐角三角函数证明更方便

例 （2004年云南）如图4,已知△ABC中,AB=AC,D为BC上任一点,且DE⊥AB,DF⊥AC,CG⊥AB,垂足分别为E、F、G．求证：DE＋DF=CG．     

利用线段的拆分与合并解几何题

正在几何证明题中,有一类问题是要证明线段的和、差、倍、分关系,如何构造线段的和、差、倍、分,便成为解决此类问题的关键.这里通过两例,进行分析.例1如图1,在ΔABC中,AB=AC,点D为BC边上一点,过点D作DF⊥AB于点F,DE⊥AC于点E,过点C作CG⊥AB于点G.求证:DF+DE=CG.A C G F E BD图1%分析一要证明DF+DE=CG,就是要     

"极端化原则"的应用

在数学学习中,用极端化原则求特殊值,是常见的一种思考方法,这种方法直观、便捷,深受学生的喜爱. 一、问题探究 例1 △ABC中,AB=AC,D是BC上的任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,CG⊥AB于点G.     

等腰三角形中的一个“定值”

定理:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和,等于其腰上的高.定理的证明可转化为下列问题:如图1,已知在△ABC中,AB=AC,D是底边BC上的任意一点,DE⊥AB于E点,DF⊥DC于F点,BG是腰AC的高.求证:BG=DE+DF.     

鉴赏中考试卷中的改编题

素材如图1,D是△ABC中AB边上的中点,△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形,连结DE、DF．求证：DE=DF．DE⊥DF．     

从一个假命题说起

1 一个假命题命题:任一个三角形是等腰三角形.已知:△ABC(如图1).求证:△ABC 为等腰三角形.证明:如图2,作 AB 的中垂线 MD 交∠ACB 的平分线于 D 点,分别作 DE⊥BC,垂足为 E,DF⊥AC,垂足为 F,连结 BD、AD,则易知:DE=DF,BD=AD.     

巧用角平分线性质证明

角平分线是指把一个角分成两个相等的角的射线.关于角平分线具有如下重要的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.对于一些含角平分线条件的证明问题,巧用这个性质,能简化解题过程,达到事半功倍的效果例1如图,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,垂足为E、F,求证:EB=FC.证明:∵AD平分∠BAC,又DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE=DF.在△BDE和△CDF中,∵∠DEB=90°,∠DFC=90°,DE=DF,BD=CD,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC例2如图,△ABC中,O为∠A、∠B平分线的交点,OD⊥BC于D,OE⊥…     

借题发挥——由一道习题引发的探究

<正>本文介绍由一道例题引发的一节探究活动课.这节课的课堂教学收到了较好的效果,在此与读者分享.题目已知:如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证:DE=DF.     

利用三角形全等证明有关问题

利用三角形全等可证明线段相等,以及证明与线段相等有关的线段和、差、倍、分等问题;还可证明两角相等,以及证明与两角相等有关的线段平行、线段垂直等问题.例1如图,∠BAC=90°,AB=AC,F是BC上一点,BD⊥AF于D,E为AF延长线上一点,CE⊥AE,求证:DE=AE-CE.证明:∵CE⊥AE,BD⊥AF于D,∴∠AEC=∠BDA=90°.∴∠1=90°-∠3=∠2.在△AEC和△BDA中,∵∠1=∠2,∠AEC=∠BDA,AC=AB,∴△AEC≌△BDA.∴CE=AD.∵DE=AE-AD,∴DE=AE-CE.例2如图,在△ABC中,D是AB的中点,DE∥BC交AC于E,F是BC上的点,BF=DE,求证:DF∥AC.证…     

鉴赏中考试卷中的改编题

<正>素材如图1,D是△ABC中AB边上的中点,ACE和BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形,连结DE、DF.求证:DE=DF,DE⊥DF.A B FC D E图1%解析本题是初中数学中的一道典型题目,证明的方法也很多,这里只展示其中的一种方法:     

双等腰直角三角形三例

1．基本图形如图1,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°．D为AC边的中点．从D作DE⊥DF交AB于点E,交BC于点F．     

面积法在几何证题中的应用

面积法是最古老、最引人入胜的方法之一 ,它具有直观性、通用性和简洁性。其基本方法是 :首先根据几何的量与有关的图形的内在联系 ,用相应的面积公式表示有关的几何量 ,从而把几何量之间的关系转变成为面积之间的代数关系 ,然后经过面积割补原理或代数运算给出命题的证明。例 1　已知 :如图 ,在△ABC中 ,AB =AC ,D是BC上的任意一点 ,DE⊥AB于E ,DF⊥AC于F ,BH⊥AC于H 求证 :DE +DF =BH 分析 :此题用一般的方法去证明 ,第一思维困难 ,第二涉及的知识较多 ,过程复杂 (要作辅助线 ,还要证明全等三角形 )。但是用面积法则比较简单…     

从游戏中得到的解题方法

在八年级数学寒假作业里有这样一道几何题:如图1,在△ABC中,AB=AC,D在AC上,DE⊥BC于E,F在AB的延长线上,且BF=CD,DF交BC于点G.求证:EG=CE+BG.     

两个有趣的几何性质

定理 1:若△DEF是△ABC的垂足三角形,则△DEF的三边长分别为acosA、bcosB、CcosC.(如图1) 证明:因为BE⊥AC,CF⊥AB,所以∠BEC=∠CFB=90°,所以B、C、E、F四点共圆.所以∠AEF=∠ABC,又因为∠EAF=∠BAC.所以B△AEF∽△ABC,所以EF/BC=AE/AB,在Rt△ABE中,cosA=AE/AB,所以EF/BC=cosA,所以,EF=acosA,同理可得DF=bcosB,DE=ccosC     

巧用三角函数证明几何题

平面几何的证明一般都是根据几何公理、定理进行逻辑推理论证 ,似乎与所学的锐角三角函数没有关系。事实上 ,借助于锐角三角函数证明几何题 ,则出奇制胜 ,巧妙之处 ,令人拍手叫绝。现举例如下 :一、求证线段及线段的乘方间的关系图 1例 1.已知 :如图 1,∠BAC=90°,AD⊥ BC,DE⊥ AB,DF⊥AC,垂足分别为 D、E、F,求证 :AB3AC3=BECF(教材第二册 5.4 B组第 3题 )证明 :设∠ C =α,则∠ BDE=∠DAE=α在 Rt△ABC中 ,tgα=ABAC,∴ AB3AC3=tg3α;在 Rt△ BED中 ,BE=DEtgα;在 Rt△ CFD中 ,FC=DFctgα;在 Rt△ AED中 ,tgα…     

活用课本习题养培多向思维

几何证明题是培养学生数学思维能力的重要渠道之一.在一个问题中,数学思维的起点(即平常所说的解题“突破口”)往往不止一个,如果能抓住这些“突破口”,寻找“一题多解和一题多变”的“途径”,就能变一道题为一组题,使我们学会举一反三、触类旁通,快速提高学习效率.几何教科书中就不乏这样的例子和素材,现就人教版《几何》第二册P70例5加以说明.例:求证等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,DB=DC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:DE=DF.分析1对于DE=DF,可根据全等三角形的对应边相等来证明.证法1…     

在再思考中创新思维

题：如图1，△ABC中．BH⊥AC于H；DB⊥AB、EB⊥BC，且BD=AB、BE=BC，延长HB交DE于M，求证：M为DE的中点．     

数学奥林匹克问题

本期问题 初327 如图1,在△ABC中,AB〉AC,Go与边BC及AC、AB的延长线分别交于点D、E、F,M是边BC的中点,AH⊥BC于点H,AO分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：四边形MLHK内接于圆．     

例谈几何变式训练

重视双基教学是我国数学教学的优良传统,通过变式训练发展双基,提高学生的能力是数学教学中行之有效的方法.掌握一些编写变式训练题的常用方法,对于提高课堂教学效益,培养学生的解题能力是非常必要的.1变式训练的方法图1例题已知:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE=CF,D是AB的中点.求证:(1)DE=DF;(2)DE⊥DF.1.1变为逆命题将原命题的题设和结论(或部分题设和结论)置换,研究原命题的逆命题或偏逆命题是研究数学命题的常用方法.变式1已知:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB的中点,DE⊥DF.求证:(1)DE=DF;(2)AE=CF.变式…