例谈初中数学分解因式的方法

因式分解是初中数学教学的重点,亦是难点,正确选择分解因式的方法是学好因式分解的关键.提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的四种基本方法.因此,分解因式时,要对多项式的特点进行认真分析.提公因式法的关键是确定多项式中各项的公因式;运用公式法要掌握每个公式的特点;十字相乘法适用于二次三项式或可化为二次三项式的多项式;分组分解法则适宜对四项式或四项以上的多项式.例1把12x~y~2-16x~2yz分解因式时,应提公因式为()A.2x~1y B.4x~3y~2 C.4x~2yz D.4x~2y分析用提公因式法分解因式,准确地确定公因式是首要一环,公因式的系数是原多项式各项系数的最大公约数,所以应排除A;公因式里的字母是原多项式中每项都有的,所以应排除C;公因式里字母的次数应取原多项式中这个字母的最低次数,所以应排除B.综上所述,本例应选D.例2把6a~2(x-y)2-3a(x-y)~3因式分解分析把(x-y)视为一个字母,再考虑系数和字母a.     

因式分解的方法与技巧

一、因式分解的基本方法1.提公因式法法则 :若多项式各项含有公因式 ,可把这个公因式提出来 ,作为多项式的一个因式 ;用这个公因式去除多项式 ,把所得商作为另一个因式。例如 :ax2 2 ax- a=a( x2 2 x- 1)。注 :( 1)提公因式的关键在于准确地确定公因式。即 :取各项系数的最大公约数和指数最低的相同字母或多项式 (包括指数 )的积作为公因式。( 2 )提公因式法可归纳为“一提取、二求商、三化积”。2 .运用公式法因式分解时所用到的公式 :a2 - b2 =( a b) ( a- b) ;a2 ± 2 ab b2 =( a± b) 2 ;a3± b3=( a± b) ( a2 ab b2 )。说明 :公式…     

提公因式的几个盲点

在一个多项式中，当多项式的各项存在着公因式时。把多项式中的公因式提到括号外，这种因式分解的方法，叫做提公因式法．它是因式分解中最基本、最重要的方法之一，同学们要注意在学习中克服以下几个盲点。     

因式分解的十二种方法

因式分解的方法多种多样 ,现总结如下 :一、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式 ,那么就可以把这个公因式提出来 ,从而将多项式化成两个因式乘积的形式 .例 1　分解因式 :x3-2x2 -2x .解　原式 =x(x2 -2x -1 ) .二、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系 ,如果把乘法公式逆用 ,那么就可以把某些多项式分解因式 .例 2　分解因式 :a2 + 4ab + 4b2 .解　原式 =(a + 2b) 2 .三、分组分解法要把多项式am+an+bm +bn分解因式 ,可以先把它前两项分成一组 ,并提出公因式a ;后两项分成一组 ,并提出公因式b ,从而得到a(m +n) +b(m+n)…     

因式分解

基础篇 课时一提取公因式法 诊断练习 一、填空题: 1.(x+2)(x-3)=x2-x-6是表示 与相乘,结果是,属于 运算. 2.x2-x-6=(x+2)(x-3)是把多项式 化为 与 的积的形式,属于. 3.多项式 3ab2+6a2b-15a2b2中各项的公因式是     

怎样运用提公因式法分解因式

提公因式法分解因式是因式分解的基础．把一个多项式分解因式,首先应考虑提取公因式．那么,怎样运用提公因式法分解因式呢？一、正确地确定多项式中各项的公因式是运用提公因式法分解因式的关键例１试确定下列各组整式的公团式：分析一组含积形式的整式,它们的公因式应符合三个条件：一是所含的公因式是每个整式共有的;二是相同字母（或因式）的指数是它在各整式中的指数最小者;三是系数为各整式的系数的最大公约数．题（１）的公因式为２ａｂ２．题（２）系数为,因为１是的２倍,故公因式为对于题（３）,因为－８（ｂ－ａ）＝８（ａ…     

因式分解中的数学思想

数学思想是数学解题的灵魂.在因式分解过程中蕴含着许多数学思想,如果能灵活地运用这些数学思想,往往能更好地解决因式分解问题.一、整体思想用整体思想分解因式,就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解.例1把多项式(x2-1)2+6(1-x2)+9分解因式.分析:把(x2-1)看成一个整体,利用完全平方公式进行分解,最后再利用平方差公式分解.解:(x2-1)2+6(1-x2)+9=(x2-1)2-6(x2-1)+9=[(x2-1)-3]2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2.例2把多项式(a+b)2-4(a+b-1)分解因式.分析:此多项式既无公因式可提,又无公式可套用,似乎无从入手.若视a+b为一个整体,局部…     

分组分解法的基本思路

分组分解法是因式分解的重要方法之一 ,分组的目的是通过适当的分组 ,使每组都能利用提公因式法或公式法分解因式 .要想利用分组分解法顺利地进行因式分解 ,关键是掌握分组的基本思路 .一、根据相同字母分组例 1　分解因式 :ｘ2 -ｘｙ +ｘｚ -ｙｚ =. (2 0 0 1年河北省中考题 )分析　多项式的第 1、2项都有字母ｘ,第 3、4项都有字母ｚ,因此可把它们分别分为一组 .　解　原式 =(ｘ2 -ｘｙ) +(ｘｚ-ｙｚ)=ｘ(ｘ-ｙ) +ｚ(ｘ-ｙ)=(ｘ -ｙ) (ｘ +ｚ) .二、根据系数的关系分组例 2　分解因式 :ｘ3 +3ｘ2 - 4ｘ - 12 =. (2 0 0 1年北京市昌平区中考…     

多项式a~3+b~3+c~3-3abc的分解及其应用

我们记P(a、b、c)=a~3+b~3+c~3-3abc这个多项式的因式分解公式为: P(a、b、c)=a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b +c)(a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca), 这个公式在因式分解中,在多项式的恒等变换中以及在解方程中都有一定的应用。     

因式分解需要注意的几个问题

因式分解是一个重要的知识,不仅在分式、解方程中经常用到,而且在列方程解应用题中也很常用。下面我们来讨论因式分解需要注意的几个问题。首先因式分解的首选方法是提公因式法。在对一个多项式进行因式分解时首先要考虑多项式是否有公因式,如果有要将公因式提出。例1　把8y4-2y2分解因式分析:不少同学会想到直接使用平方差公式,但是却发现多项式不符合平方差公式的特点。如果先提出公因式2y2问题便容易了。解:原式=2y2(4y2-1)=2y2(2y+1)(2y-1)其次要注意因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止。在分解的过程中一定要注意是否分解…     

北师大版八年级(下) 第2章 分解因式

一、精心选一选(每小题3分,共24分)1.下列变形,属于因式分解的是( ).A.2xy(x+3x~2y)=2x~2y+6x~3y~2B.(x-4)~2=x~2-8x-16C.5a~2-10a=5a(a-2)D.ax~2+bx+c=x(ax+b)+c2.把多项式-5ab+10abx-25aby 因式分解的结果是( ).A.-ab(5+10x-25y) B.-5ab(1-2x+5y)C.-5ab(2x-5y) D.-5ab(1-2x-5y)3.多项式-4xy~2+12x~2y~2-16x~3y~2z 的公因式是( ).     

提取公因式的几点注意

提取公因式是多项式因式分解的一种最基本的方法. 对一个多项式分解因式时,只要它存在公因式就首先把公因式提出来,然后再考虑其他方法.初学因式分解一定要先观察多项式各项有无公因式. 提取公因式时要注意以下几点:     

“因式分解”与“分式”教学浅谈

因式分解是一种很重要的恒等变形,在代数式化简、求值、分式的四则运算中经常用到因式分解,在解方程和解方程组中,因式分解法也是一种重要的方法。因此,熟练地掌握和灵活地运用因式分解的各种方法是进一步学好数学的前提。多项式因式分解的常用方法有:提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等。分解步骤可归纳为:一提(提公因式)、二套(套用公式)、三叉(十字相乘)、四分组、五其他。例1.分解因式(1)3x2-6x-9;(2)(a2 1)2-4a2;(3)m-m3-mn2 2m2n;(4)x2 5xy 6y2 x 3y。说明:(1)因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式,其分解过程…     

分组分解法的几种策略

分组分解法是因式分解的一种重要方法,这种方法的关键在于“预见”,即预见到通过分组或能提公因式,或能运用公式,或能出现x2 (a b)x ab型的多项式,从而完成因式分解,下面通过典型例题加以说明,     

提取公因式常见错误分析

提公因式法是因式分解的一种方法 .在运用此方法分解因式时 ,应避免出现以下几种错误 .一、提后丢项例 1　分解因式 :9ａ2 ｂ + 6ａｂ2 - 3ａｂ .错解　原式 =3ａｂ(3ａ + 2ｂ) .分析　多项式中各项的公因式正好为某一项时 ,提取公因式后该项应为“1” ,而不能消失 .上述解法犯了“丢项”的错误 .正解　原式 =3ａｂ(3ａ + 2ｂ - 1) .二、提而不并例 2　分解因式 :ａ(ａ +ｂ) (ａ -ｂ) -ａ(ａ +ｂ) 2 .错解　原式　　　 =ａ(ａ +ｂ) [(ａ -ｂ) - (ａ +ｂ) ].分析　提取公因式后 ,剩下的另一个因式若有同类项一定要合并 .上述解法没有合并同类…     

从“山重水复”到“柳暗花明”

在讲解“利用平方差公式因式分解”这课时,我首先给出了多项式a~2-b~2,让学生分解。问题一提出,不少学生就忙于找公因式,力图用已学过的方法进行分解,但是这个多项式无公因式可提。“怎样分解呢?”大家感到无计可施。这时我启发学生,我们过去遇到过这样的式子吗?学生的思维进入了回忆。不一会就有一半左右的学生举手作答,在     

活用公式 巧妙分解

运用公式法分解因式是因式分解的一种基本方法,这种方法就是利用平方差公式a~2-b~2=(a+b)(a-b)和完全平方公式a~2±2ab+b~2=(a±b)~2分解因式。但在许多情况下,对于给定的多项式,往往无法直接运用公式分解,必须根据多项式的特征,灵活运用公式才能分解。现就怎样活用公式分解因式举例进行说明。     

“主元法”在解题中的妙用

<正>所谓主元法,是在解决多元问题时,以其中一个变元为"主元",而将其他变元视为常量的解题策略.本文利用"主元法"解决因式分解、不定方程(组)、高次方程和最值等问题,希望对读者有所帮助.一、因式分解例1因式分解:(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.分析此代数式为三次多项式,很难直接因式分解.若选取其中一个字母为主元,把代数式整理成关于主元的降幂排列,再尝试利用提取公因式法、公式法、十字相乘法等进行分解.     

一个公式的巧用

公式(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca)=a~3+b~3+c~3-3abc(以下记为公式)有不少应用。而公式本身的证明并不困难,运用整式乘法或因式分解就可予以证明,这是初中一年级学生就能接受的。如果在初中代数教学中,讲解整式乘法时就把它提出来,到因式分解时再次熟悉,后继内容的教学中不断应用,这对学生掌握知识,发展智能会有裨益的。一、公式的征明: 证一:将左边按a的降幂排列左边=[a+(b+c)][a~2-(b+c)a+(b~2+c~2-bc)] =a~3-(b+c)a~2+(b~2+c~2-bc)a+(b+a)a~2-(b+c)~2a+(b+c)(b~2-a~2-bc) =a~3+(b~2+c~2-bc-b~2-2bc-c~2)a+b~2+c~3 =a~3+b~3+c~2-3abc。证二、用因式分解右边=(a+b)~3-3ab(a+b)+c~3-3abc =(a+b)~3+c~3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)~3-3c(a+b)(a+b+c)     

因式分解的其它方法

因式分解是初中数学教材的重要内容之一．课本上已介绍了因式分解的四种方法．为了进一步提高同学们因式分解的能力，现举例说明因式分解的其它几种常用方法，供同学们参考．一、观察法例1分解因式：分析用提取公因式法、公式法、分组分解法或十字相乘法分解因式都难以着手．注意到多项式各项系数及常数项之和IW5W3－9一0，因而有因式（X一I），再根据多项式的除法即可将多项式固式分解．解X’＋SX’＋3X－9一（X－I）（X‘＋6X＋9）一（—－1）（JW3）’．例2分解因式：X‘＋6X‘＋11X十巴解通过观察，易知1＋11一6＋6因而XWei为多…